Moto rettilineo del punto materiale

Presentazione sul tema: "Moto rettilineo del punto materiale"— Transcript della presentazione:

1 Moto rettilineo del punto materiale
Punto geometrico dotato di massa Traiettoria Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale Moto rettilineo Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc. G.M. - Edile A 2002/03

2 Descrizione del moto rettilineo
Studio del moto di caduta di un grave lungo la verticale Sulla traiettoria definiamo l’asse di riferimento (origine e verso) Usiamo un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante di tempo e la posizione in cui si trova il punto materiale (t=0s inizio dell’osservazione) O G.M. - Edile A 2002/03

3 Grafico orario Asse delle ascisse = variabile indipendente (il tempo).
È necessaria una scala, per es. 1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione). Anche qui è utile una scala, per es cm=0,2 m I punti rappresentano le misure, la curva è l’interpolazione. La curva interpolante deve essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni intermedie. La legge di corrispondenza è una funzione seria, ad ogni istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si può trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). Per lo stesso motivo la funzione è continua G.M. - Edile A 2002/03

4 Legge oraria Il grafico orario può anche essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio conoscere la posizione del punto all’istante 0,2 s. Con il grafico orario Con la legge oraria G.M. - Edile A 2002/03

5 Grafico orario di un punto materiale fermo
Il grafico orario è una retta parallela all’asse delle ascisse (dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria corrispondente: x = xo (x=0,31 m) G.M. - Edile A 2002/03

6 Grafico orario di un moto a velocità costante
La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m= coefficiente angolare Il grafico orario è una retta Legge oraria corrispondente: G.M. - Edile A 2002/03

7 Moto di un’automobile su un tratto rettilineo
Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario e la velocità dell’automobile. G.M. - Edile A 2002/03

8 Spostamento e percorso effettuato
Grafico orario di un corpo lanciato verso l’alto. Legge oraria corrispondente x = xo + vot + 1/2aot2 xo= 7.2 m vo= 11.4 m ao= -5.0 m Consideriamo gli istanti xmassimo xfinale finale: tfinale xiniziale Iniziale: tiniziale Spostamento= Dx =xfinale-xiniziale Percorso effettuato: è la lunghezza del tratto effettivamente percorso Nel caso della figura d=(xmassimo-x1)+(xmassimo-x2) G.M. - Edile A 2002/03

9 Il segno dello spostamento
Spostamento Dx =xfinale-xiniziale con Dt > 0 Nel caso di un moto rettilineo non è necessario far ricorso alla rappresentazione vettoriale Il verso del moto viene rappresentato dal segno di Dx Se Dx >0 allora vuol dire che xfinale >xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione positiva dell’asse delle x Se Dx <0 allora vuol dire che xfinale <xiniziale: il moto è avvenuto nella direzione negativa dell’asse delle x xmassimo xfinale xiniziale G.M. - Edile A 2002/03

10 Velocità media Velocità scalare Velocità vettoriale Sempre positiva
Positiva -->x crescenti Negativa-->x decrescenti G.M. - Edile A 2002/03

11 Alla guida di un’automobile, dopo aver percorso una strada rettilinea per 8,4 km a 70 km/h, siete rimasti senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual è Qual è lo spostamento complessivo Il tempo complessivo impiegato La velocità media G.M. - Edile A 2002/03

12 Velocità media Abbiamo definito la velocità vettoriale media
G.M. - Edile A 2002/03

13 Descrizione del moto attraverso la velocità media
Supponiamo di far muovere tra t1 e t2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata Valutiamo la sua posizione all’istante t=2s. Posizione vera al tempo t=2s Posizione al tempo t=2s predetta con la velocità media Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t1 e t2. G.M. - Edile A 2002/03

14 Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli
Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea G.M. - Edile A 2002/03

15 La velocità istantanea
Procediamo nel seguente modo: Consideriamo l’istante t1 in cui vogliamo calcolare la velocità t1+Dt x(t1+Dt) Dt Dx 2 Consideriamo un intervallo di tempo Dt maggiore di zero. Calcoliamo la velocità media in Dt x(t1) t1 1 La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora l’intervallo di tempo Dt facendolo tendere a zero. Si definisce velocità istantanea all’istante t1 il seguente limite: Osserviamo che quando Dt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Dt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t1. G.M. - Edile A 2002/03

16 La velocità istantanea 2
Riassumendo: Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t1: Nel grafico essa è rappresentata dal coefficiente angolare della retta tangente al grafico all’istante t1. x(t1) t1 1 Il limite di: rapporto incrementale corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t1. G.M. - Edile A 2002/03

17 Velocità istantanea ad ogni istante di tempo
Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t2 o t3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. Positiva --> x(t) crescente x(t2) t2 x(t1) t1 x(t3) t3 Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo vx(t) Negativa --> x(t) decrescente Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) G.M. - Edile A 2002/03

18 Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea
Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: xmassimo xfinale Ma quando Dt tende a zero, avremo xiniziale Si ottiene quindi la seguente relazione La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea G.M. - Edile A 2002/03

19 Grafico della velocità istantanea
Nel moto che stavamo studiando: La pendenza del grafico orario non è costante Questo implica che la velocità non è costante Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce con il tempo. La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x. Quando x è massimo la velocità è nulla G.M. - Edile A 2002/03

20 Accelerazione media e istantanea
Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t1 e t2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea: L’accelerazione istantanea all’istante t1 è data da: Tenendo conto della definizione di derivata: G.M. - Edile A 2002/03

21 Grafico dell’accelerazione istantanea
Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo. L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. G.M. - Edile A 2002/03

22 Il segno dell’accelerazione
Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che: axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x: v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x: v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce. G.M. - Edile A 2002/03

23 Conclusioni Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo G.M. - Edile A 2002/03

24 (1) x=3t (2) x=-4t2-2 (3) x=2/t2 (4) x=-2
Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1) x=3t (2) x=-4t2-2 (3) x=2/t2 (4) x=-2 a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x? Applicazione a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti: G.M. - Edile A 2002/03

25 Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno?
Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applicazione Indichiamo con Dt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Dt. G.M. - Edile A 2002/03

26 La velocità vettoriale media complessiva è nulla.
Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per percorrere le due metà sono: Applicazione cont. Il tempo totale impiegato Dt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla. G.M. - Edile A 2002/03

27 x t Dt 2Dt Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie
Applicazione cont. x t Dt 2Dt G.M. - Edile A 2002/03

28 La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3t-4t2+t3, ove x è in metri e t in secondi. a) qual è la posizione per t=1,2,3 e 4 s? b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s? c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s? e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applicazione a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti: G.M. - Edile A 2002/03

29 d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s?
b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4s? Applicazione cont. c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2s e t=4s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3s? G.M. - Edile A 2002/03

30 e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d).
Applicazione cont. G.M. - Edile A 2002/03

31 Il problema del moto Conoscendo la legge oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni istante di tempo: Con una prima derivazione possiamo determinare la funzione velocità Con una seconda derivazione possiamo determinare la funzione accelerazione Il problema che ora ci poniamo è il seguente: Se conosciamo l’accelerazione ad ogni istante di tempo nell’intervallo di osservazione del moto, conosciamo cioè la funzione a(t), siamo in grado di determinare la legge oraria? determinare come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si tratta di risolvere la seguente equazione: G.M. - Edile A 2002/03

32 L’equazione differenziale
L’equazione precedente è un’equazione differenziale Contiene le derivate È del secondo ordine (contiene la derivata seconda) Cosa vuol dire risolvere una equazione differenziale come quella precedente? Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione nota dell’accelerazione a(t). G.M. - Edile A 2002/03

33 Soluzioni dell’equazione differenziale
Supponiamo di aver trovato una soluzione dell’equazione differenziale, di aver trovato cioè una funzione x1(t) la cui derivata seconda è proprio uguale alla funzione nota a(t). La funzione x(t)=k1+k2t+x1(t), con k1 e k2 due costanti reali qualsiasi, è anch’essa soluzione della stessa equazione differenziale. G.M. - Edile A 2002/03

34 Soluzione formale dell’equazione differenziale
Cominciamo con il risolvere un’equazione più semplice: Supporremo si conoscere la funzione velocità vx(t) e di voler determinare la legge oraria x(t) L’equazione differenziale in questo caso è del primo ordine. Fissato un generico istante di tempo t* si calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* Si ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo si ottiene così la legge oraria G.M. - Edile A 2002/03

35 Soluzione formale dell’equazione differenziale
Se conoscessimo la velocità media tra t=0 e t*, lo spostamento varrebbe: Purtroppo conosciamo la velocità in tutti gli istanti di tempo ma non quella media Possiamo fare delle ipotesi: La velocità media è uguale a quella a t=0 a quella a t*/2 G.M. - Edile A 2002/03

36 Risoluzione formale dell’equazione differenziale
Lo spostamento complessivo invece Noi però non conosciamo la velocità media vxm,i in ciascuno degli n intervalli di tempo, sappiamo solo che essa è compresa tra il valore minimo e quello massimo assunti dalla funzione vx(t) nell'intervallo tra ti-1 e ti Per fare una stima dello spostamento supporremo che la velocità media nell’i-esimo intervallo coincida con la velocità all’inizio dell’intervallo stesso: La stima dello spostamento nel grafico corrisponde all’area totale dei rettangoli di base Dt e altezza vx(ti-1). G.M. - Edile A 2002/03

37 Risoluzione formale dell’equazione differenziale
L’approssimazione vxm,i=vx(ti-1) è tanto migliore quanto più piccola è l’ampiezza degli intervalli Dt. Infatti al diminuire di Dt diminuisce la differenza tra il valore massimo e quello minimo della velocità in Dt. Otterremo una stima sempre più precisa dello spostamento man mano che Dt tende a zero, o, equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni, tende all’infinito. G.M. - Edile A 2002/03

38 Risoluzione formale dell’equazione differenziale
Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del punto materiale è uguale a: Questo limite si chiama integrale della funzione vx(t) tra t=0 e t, e si indica: Si tratta di un integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di integrazione (t=0 e t*) G.M. - Edile A 2002/03

39 Risoluzione formale dell’equazione differenziale
L’integrale definito corrisponde all’area sotto la curva tra t=0 e t*. Attenzione l’area deve essere presa con il segno Positiva nei tratti in cui la funzione è positiva Negativa nei tratti in cui la funzione è negativa Calcolando l’integrale per ogni istante t* si ottiene la legge oraria G.M. - Edile A 2002/03

40 La velocità media Siamo ora in grado di valutare la velocità media nell’intervallo tra t=0s e t*. Applicando la definizione: Da cui si ottiene: L’area del rettangolo di base Dt e altezza vm ha un’ area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, l’asse delle ascisse e gli estremi dell’intervallo t=0s e t* G.M. - Edile A 2002/03

41 Come si risolve l’integrale definito
L’integrale è l’operazione inversa della derivata Per calcolare l'integrale definito della funzione f(t), occorre ricercare una qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) tale che la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia proprio uguale alla funzione integranda: La funzione F(t) si chiama “primitiva” della funzione f(t) Il valore dell’integrale si ottiene calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore. In simboli: G.M. - Edile A 2002/03

42 Esempio Dalla definizione di velocità sappiamo che: Valutiamo
v(t) è la velocità all’istante t dt è un intervallo di tempo infinitesimo che comincia all’istante t dx è lo spostamento infinitesimo subito dal punto nell’intervallo infinitesimo dt questa uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in cui ho suddiviso l’intervallo di osservazione del moto L’uguaglianza continuerà a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti intervalli di tempo: 5=3+2 7=5+2 Totale =12 Valutiamo variabile di integrazione x funzione integranda f(x)=1 primitiva F(x)=x usualmente ti=0s x(0s)=xo G.M. - Edile A 2002/03

43 Proprietà degli integrali
L’integrale altro non è che una somma, con l’unica particolarità che è fatta su infiniti termini. Siccome in una somma il risultato non cambia cambiando l’ordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne deduciamo che l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma degli integrali Inoltre, così come in una somma, se tutti i termini hanno un fattore comune, questo può essere messo in evidenza, così nell’integrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di integrale. G.M. - Edile A 2002/03

44 Moto uniforme Valutiamo ora il secondo membro: Si ricava
È necessario specificare la funzione vx(t). Supponiamo che vx(t) sia costante, moto uniforme, e pari a vxo variabile di integrazione t funzione integranda f(t)=vxo primitiva F(t)= vxot Si ricava Questa relazione è valida comunque noi scegliamo l’istante tf in cui vogliamo smettere l’osservazione del moto. Si può sopprimere l’indice f Si ottiene così la legge oraria del moto uniforme: G.M. - Edile A 2002/03

45 Considerazioni La legge oraria trovata è soluzione dell’equazione differenziale: è come ce l’aspettavamo, la posizione varia linearmente con il tempo : , 2 4 6 8 1 5 t ( s ) x (m) xo tanq=vxo Osserviamo che per qualunque valore di xo, la funzione precedente è soluzione dell’equazione differenziale. Ci sono infinito alla uno soluzioni dell’eq. diff. Infatti l’equazione differenziale è del primo ordine. L’equazione differenziale non determina la costante xo, essa viene determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso xo è proprio la posizione iniziale, a t=0s). L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa anche le condizioni iniziali Il numero delle condizioni iniziali pari al grado dell’eq. diff. G.M. - Edile A 2002/03

46 Legge oraria del moto uniformemente accelerato
Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocità nel caso in cui l’accelerazione è costante: Per arrivare alla legge oraria dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. Sappiamo che la soluzione di tale eq. diff. è data da: G.M. - Edile A 2002/03

47 La legge oraria del moto uniformemente accelerato
È la soluzione della eq. diff. Come già osservato in precedenza, la legge oraria precedente, per qualunque valore delle costanti xo e vxo è soluzione dell’eq. diff. L’equazione differenziale non determina tali costanti: Esse vanno determinate utilizzando le condizioni iniziali: La posizione xo all’istante iniziale t=0 La velocità vox all’istante iniziale t=0 L’analisi ci dice che esiste una ed una sola soluzione dell’eq. diff. che soddisfa anche al problema delle condizioni inziali. Le due equazioni in testa alla pagina vanno interpretate come l’integrale generale dell’equazione differenziale del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. G.M. - Edile A 2002/03

48 Grafico orario del moto uniformemente accelerato
Il grafico orario del moto uniformemente accelerato è un arco di parabola. xo è la posizione all’istante t=0s (l’intercetta con l’asse delle ordinate). vxo è la velocità iniziale, ossia la pendenza del grafico all’istante iniziale. L’andamento della velocità in funzione del tempo è lineare. q xo G.M. - Edile A 2002/03

49 Moto uniforme ed uniformemente accelerato
Il moto uniformemente accelerato, contiene , come caso particolare il moto uniforme, quando cioè l’accelerazione axo è uguale a zero. G.M. - Edile A 2002/03

50 Moto di caduta dei gravi
Galilei ha determinato che in vicinanza della superficie terrestre, in assenza di aria Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g g non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc) g, all’interno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende dalla posizione del corpo. g, è quindi anche indipendente dal tempo (costante). Se il volume non è limitato g dipende dalla quota g dipende dalla latitudine, è più grande ai poli, ed è più piccola all’equatore Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s2 G.M. - Edile A 2002/03