PERMUTAZIONI Consideriamo i primi cinque numeri naturali 1,2,3,4,5

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1 PERMUTAZIONI Consideriamo i primi cinque numeri naturali 1,2,3,4,5
Su di essi è possibile fare delle permutazioni; ad esempio 2,1,3,4 è una possibile permutazione in cui è stata operata una inversione. Si dimostra che su un numero n di elementi è possibile operare n! permutazioni (n!=1*2*3*…*n ; es. 5!=1*2*3*4*5=120)

2 Inversioni Siano dati i primi 5 numeri naturali scritti in ordine crescente 1,2,3,4,5 Se consideriamo la sequenza 2,1,3,4,5 essa è stata ottenuta dalla precedente invertendo 2 con 1; si dice che presenta una inversione. Se consideriamo la sequenza 5,2,1,3,4 essa presenta una inversione di 5 con 2 una inversione di 5 con 1 una inversione di 5 con 3 una inversione di 5 con 4 una inversione di 2 con 1 Il totale delle inversioni è s=5

3 DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA

4 Si definisce determinante il numero associato che si ottiene nel seguente modo:
SI CONSIDERA LA PERMUTAZIONE PRINCIPALE DEI PRIMI INDICI DELLA MATRICE 1,2,3,…N SI CONSIDERA IL NUMERO S DELLE INVERSIONI DEI SECONDI INDICI RISPETTO ALLA PERMUTAZIONE PRINCIPALE SI FANNO TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI DEI TERMINI DELLA MATRICE PRESI COL SEGNO + O – A SECONDA CHE IL NUMERO S E’ PARI O DISPARI SI FA LA SOMMA DI TUTTI I POSSIBILI PRODOTTI IL NUMERO CHE SI OTTIENE E’ IL DETERMINANTE CERCATO

5 Calcolo del determinante del 3 ordine
1 2 -1 3 -4 Occorre sommare tutte le possibili 3!=6 permutazioni dei secondi indici rispetto alla permutazione principale a11a22a33a44=1*3*0 presa ogni permutazione col segno + 0 – a seconda che il numero delle inversioni sia pari o dispari.

6 =1*3*2+2*(-4)*0+(-1)*0*2-(-1)*3*0-1*2*(-4)-0*2*2=6
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 2 -1 3 -4 = Nel nostro caso si ha : Det=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32+ -a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33= =1*3*2+2*(-4)*0+(-1)*0*2-(-1)*3*0-1*2*(-4)-0*2*2=6