Lezione 10 Misure d’impulso

Lezione 10 Misure d’impulso
Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce una misura dell’impulso delle particelle ( misura di b dalla misura del raggio di curvatura). B Rivelatori di Particelle

Magneti per esperimenti a targhetta fissa il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il magnete bipolare. All’uscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del pT limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio. L’apertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente)  non serve un magnete con una grande apertura. Rivelatori di Particelle

fascio targhetta Camere per trovare le tracce x y z Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico Rivelatori di Particelle

La forza di Lorentz è : Con |p| costante. La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare. Rivelatori di Particelle

Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate curvilineo: In questo sistema di riferimento l’equazione di Lorentz diventa: r ŷ x ŝ con x, y ed s sistema destrorso. r raggio di curvatura s coordinata curvilinea B diretto lungo l’asse y (By) a Rivelatori di Particelle

L’equazione di Lorentz : può essere semplificata osservando che |p| = costante e v= velocità   r = (p/qBy) Rivelatori di Particelle

La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:. 2sin(q/2)=L/r L r q B s Il raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L  l’angolo di deflessione q può essere approssimato a : x A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale: Dpx=2psinq/2~pq=LqBy Rivelatori di Particelle

Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora: Rivelatori di Particelle

La precisione della misura dell’impulso è influenzata da : Precisione dell’apparato tracciante Scattering multiplo Rivelatori di Particelle

Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sulla targhetta diretto lungo z  dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra nel magnete diretta lungo z. Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz. q q/2 x z Rivelatori di Particelle

Precisione dell’apparato tracciante. Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee  misura di q. Per determinare q devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni. Misure di posizione x q h Rivelatori di Particelle

Se ogni punto ha lo stesso errore s(x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà: Siccome q=x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete  E ricordando che: s(p) e’ dunque proporzionale a p2. s(q)=2s(x)/h Rivelatori di Particelle

A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni : Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui: Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a : (1) Rivelatori di Particelle

L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con la gap in aria  l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di q nel tracciatore. Se però vogliamo misurare l’impulso di m, i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno  alto scattering multiplo. Rivelatori di Particelle

Un m che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso DpTms, dovuto allo scattering multiplo DpTms = psinqrms~ pqrms ovvero DpTms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c] (b = 1) campo magnetico non uniforme: DpTms ferro p L x z Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e B lungo y, solo la componente x è quella che ci interessa Dpxms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di Rivelatori di Particelle

Sia l’angolo di deflessione q dovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali all’impulso p  la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente. Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) si considerano valori tipici di B = 1.8 T (saturazione del ferro)  L in metri Se L = 3 m  Rivelatori di Particelle

Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione  Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo.  per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri s(p)/p|ms = 0.08 % errore totale s(p)/p|traccia s(p)/p|ms s(p)/p % 30 20 10 100 200 300 p [Gev/c] Rivelatori di Particelle

Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso (per un magnete in aria è la misura della sagitta (s). La sagitta s è connessa al raggio di curvatura r ed all’angolo di deflessione q tramite : Poiché per particelle relativistiche q è piccolo  Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]  Rivelatori di Particelle

Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché: Assumendo risoluzioni s(x) uguali per le 3 camere  Per cui la risoluzione in impulso diventa: Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è: Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e s(x)=0.5 mm Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)  Rivelatori di Particelle

Magneti per esperimenti ad un Collider. A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti. Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti  servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto: Fascio 2 Punto d’interazione Magneti di compensazione Magnete bipolare B Fascio 1 Rivelatori di Particelle

Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo  impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o. B Punto d’interazione Fascio 1 Fascio 2 Rivelatori di Particelle

Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r. Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo. Cilindro esterno del toroide I B Punto di interazione Cilindro interno del toroide Rivelatori di Particelle

I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ). Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone  Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni. Punto d’interazione Giogo cilindrico B I Rivelatori di Particelle

In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici. Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle  Dove s(x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci. Per determinare l’impulso devo misurare anche pL (componente longitudinale dell’impulso)  Rivelatori di Particelle

Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sono r, f e z Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica la distanza PQ. Con r si denota la distanza dall’origine del punto Q, mentre f individua l’angolo che si forma fra il vettore r e l’asse x. Per passare dal sistema cilindrico a quello cartesiano avremo: x=rcosf y=rsinf z=z e per passare dal sistema cartesiano a quello cilindrico: r=(x2+y2) f=arctan (y/x) x y z P Q f Rivelatori di Particelle

Utile usare coordinate cilindriche  r f m- m- q m+ z m+ punto d’interazione proiezione rf proiezione rz Rivelatori di Particelle

Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza srf (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’: Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo: Rivelatori di Particelle

L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare q: Come nel caso del piano rf (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo. A questa s dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo Nel caso di una misura di 2 sole z Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà: q z pT r dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0 e b=1. A parte il (3)-1/2 è la formula usuale dello scattering multiplo. Rivelatori di Particelle

spiegazione di 1/(3)1/2….. L’angolo di scattering multiplo <q> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia Dr ( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l. Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori  possiamo ignorare lo scattering multiplo. l Dr q qpiano Rivelatori di Particelle

Concludendo: dalla notiamo che la precisione migliora aumentando BL2. Migliora solo come (N)1/2 aumentando N, dove N è il numero di misure Rivelatori di Particelle

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