Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

Presentazione sul tema: "Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06"— Transcript della presentazione:

1 Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06
Moti stratificati (3/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

2 Stratificazione e diffusione turbolenta
Effetto della stratificazione (numero di Richardson) (definizione mediata) Coefficienti

3 Esercizi mix verticale: mezzo stratificato (cuneo salino)
scarico caldo Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale): scarico caldo

4 Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06
Moti stratificati (4/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

5 Onde interne onde di superfici isopicne (denistà costante)
stratificazione continua: “onde interne” stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie” Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)

6 Onde di interfaccia ipotesi: fluidi immiscibili
contorni superiori e inferiori rigidi moto piano moto inviscido (viscosità nulla, Re grande) moto irrotazionale in ogni strato onde di piccola ampiezza contorno rigido superiore interfaccia contorno rigido inferiore

7 Equazioni Potenziale di velocità f (moto irrotazionale)
Equazione di continuità strato superiore strato inferiore Equazione del moto (inviscido)

8 Condizioni al contorno
interfaccia: Condizione cinematica: in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2) Condizione dinamica: (le tensioni tangenziali sono nulle) Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo

9 Adimensionalizzazione e linearizzazione
ampiezza dell’onda lunghezza d’onda onde di piccola ampiezza Condizione cinematica semplificata:

10 Condizione all’interfaccia (linearizzata)
Equazione del moto semplificata (in ogni strato) Teorema di Bernoulli non stazionario costante lungo una linea di corrente Lungo l’interfaccia (linea di corrente)

11 Sistema da risolvere Equazioni Condizioni all’interfaccia (z=0)
Condizioni al contorno Struttura della soluzione (notazione complessa)

12 Soluzione per lo strato j=1,2
soluzione generale Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj all’interfaccia (z=0) al contorno (z= zc) sistema di 4 equazioni in 4 incognite  C1, C2, D1, D2

13 Soluzione potenziale:  velocità nei due strati:
posizione interfaccia: le intensità rimangono indeterminate

14 Relazione di dispersione
condizione dinamica all’interfaccia relazione tra frequenza e numero d’onda frequenza-periodo numero-lunghezza d’onda celerità di propagazione

15 Casi particolari: dominio non limitato
frequenza celerità la celerità dipende da k  lunghezze d’onda diverse si separano onde di superficie frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità

16 Casi particolari: acqua bassa
frequenza celerità la celerità non dipende da k  onde non dispersive onde di superficie frequenza celerità onde di Boussinesq frequenza celerità

17 Effetto della superficie libera
condizione in superficie libera relazione di dispersione onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate modo esterno - veloce (onda di superficie) modo interno - lento (interfaccia) moto barotropico moto baroclinico parallelo a inclinato rispetto a

18 Onde stazionarie effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze d’onda numeri d’onda possibili celerità periodo modo esterno modo interno (lento)

19 Onde di sessa (seiche) vento  eccita un’onda stazionaria con n=1
wind set-up: sollevamento equilibrio mentre soffia il vento spinte idrostatiche set-up superficie equilibrio tra le pressioni al fondo set-up interfaccia

20 Stratificazione continua
Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq continuità q.d.m. orizzontale 3 equazioni in 4 incognite la quarta equazione viene dall’incomprimibilità q.d.m. verticale incomprimibilità

21 Stratificazione continua: relazione di dispersione
modi orizzontali modi verticali equazioni + condizioni al contorno relazione di dispersione onde non possono esserci onde (frequenza di eccitazione maggiore dell’autofrequenza - Eigenfrequency)

22 Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06
Moti stratificati (5/5) Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06

23 Instabilità Analisi di stabilità idrodinamica:
soluzione in moto laminare delle equazioni perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e nello spazio) sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione  problema agli autovalori (eigenvalues) soluzione delle equazioni perturbate: disturbo che cresce nel tempo  instabilità assoluta disturbo che cresce nello spazio  instabilità convettiva disturbo che decade  stabilità Riferimenti bibliografici: Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11) Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004

24 Instabilità di Kelvin-Helmholtz

25 Lavoro delle forze di galleggiamento
particella 1 particella 2 lavoro totale

26 Variazione di energia cinetica
prima variazione di energia cinetica dopo velocità media

27 Instabilità: approccio euristico
instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido (senza viscosità)

28 Instabilità di Kelvin-Helmholtz
moto irrotazionale fluido ideale piccole perturbazioni …

29 Formulazione del problema
Equazioni Condizioni al contorno Condizione cinematica all’interfaccia (z=h) Condizione dinamica: (le tensioni tangenziali sono nulle) Teorema di Bernoulli non stazionario (z=h):

30 Soluzione del moto base
interfaccia costanti del trinomio di Bernoulli  Perturbazione della soluzione interfaccia Linearizzazione

31 Sistema per le perturbazioni (linearizzato)
Equazioni Condizioni al contorno Condizioni all’interfaccia (z=0) Struttura della soluzione (notazione complessa)

32 Relazione di dispersione
numero d’onda totale soluzione trovata con Maple

33 Coefficiente di amplificazione
stabilità neutrale >= curva marginale instabilità < r2=1000,r1=995

34 Casi particolari Onde di gravità sempre stabili Onde interne
instabili Instabilità dovuta alle tensioni sempre instabili

35 Effetto della tensione superficiale
z (condizione dinamica all’interfaccia) p1 x soluzione trovata con Maple esempio: onde generate sul mare velocità del vento minima, lunghezza d’onda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961) p2 curva marginale (DU)2crit kcrit