Campi Conservativi sempre Sia una funzione scalare (x,y,z)

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1 Campi Conservativi sempre Sia una funzione scalare (x,y,z)
funzione del punto data da grad (x,y,z) non sempre sempre dove si parla di campi conservativi sempre è un campo conservativo quindi Es. sommando

2 Flusso di un vettore attraverso una superficie
Sia campo vettoriale superficie dello spazio per la quale è definito il campo Es. Se con indico la velocità di un fluido è con la sua densità

3 Divergenza di un vettore
Indichiamo divergenza di un vettore la seguente grandezza scalare funzione di (x,y,z) Teorema della divergeza Il flusso del vettore attraverso una superficie chiusa qualsiasi S

4 Campi solenoidali Sia campo vettoriale in una regione dello spazio
allora è solenoidale in quella regione Quindi è sempre nullo

5 Campi conservativi e solenoidali
è conservativo, ossia se , si ha secondo la definizione di divergenza, si ha Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio è sempre nullo in quella regione

6 Circuitazione di un vettore
Consideriamo un campo vettoriale proponiamoci di calcolare circuitazione l a . Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di O anche l . a Per definizione è la componente lungo del vettore che battezzo

7 Proprietà del rotore Ogni qual volta si ha
ricordando che per qualunque campo conservativo le tre componenti sono identicamente nulle. quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi deve essere conservativo. Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che una funzione

8 Teorema della rotazione o teorema di Stokes
La circuitazione del vettore lungo una linea chiusa notiamo subito che Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale

9 Campo vettoriale irrotazionale
Le due espressioni matematiche hanno lo stesso significato Campo irrotazionale Campo conservativo

10 Concetto di carica Elettroscopio a foglie

11 Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica
Legge di Coulomb q1 q2 Costante dielettrica del vuoto Introduciamo una nuova grandezza che prende il nome di Carica L’unità di carica si misura in Coulomb C = Coulomb

12 Il campo elettrico qo q4 q3 q2 q1 qn
Per ottenre quindi una definizione indipendente dalla carica considerate Intensità del Campo elettrico generato da una carica

13 Il potenziale elettrostatico
q4 q3 qo P1 P2 q2 q1 qn È l’integrale indefinito dl e poi moltiplcare questo lavoro per la carica stessa poiché supponiamo una carica unitaria si ottiene dw…. Ora cambiando il segno ad * e derivando rispetto a r abbiamo che esso è una funzione scalare la cui derivata rispetto a d r cambiata di segno rappresenta la intensità del campo. Potenziale elettrostatico

14 Energia potenziale È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel punto in cui il potenziale ha il valore Quindi il campo elettrico si misura in

15 Flusso del campo elettrico
Il flusso è indipendente dalla forma e dalle dimensioni della particolare superficie S che si considera. Sorgente interna alla superficie Ricordando come abbiamo calcolato il campo elettrico possiamo dire che le cariche elettriche sono le sorgenti (positive o negative) del campo elettrico E con zero ciò significa che il campo elettrico non è solenoidale in tutto lo spazio, consideriamo vari casi. Carica puntiforme concentrata nel punto O interna alla superficie chiusa. Nel caso in cui la carica è esterna alla superficie Il flusso dato da una sorgente esterna alla superficie è nullo Sorgente esterna alla superficie

16 Flusso del campo elettrico teorema di Gauss
Nel caso di più cariche Teorema di Gauss Se si ha una distribuzione continua Ricordando il teorema della divergenza Teorema di Gauss in forma differenziale

17 Equazioni fondamentali del campo elettrostatico
O anche Eqazione di Poisson Nei punti in cui Eqazione di Laplace

18 Equazioni dell’elettrostatica nei dielettrici
Introduciamo due vettori Analogo a Induzione dielettrica Nel mezzo abbiamo Intensità di polarizzazione Suscettività dielettrica Costante dielettrica relativa

19 Costante dielettrica relativa di alcune sostanze

20 Legge di Coulomb nei dielettrici
q1 q2 Costante dielettrica del mezzo

21 Corrente elettrica stazionaria
Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro. Intensità di corrente Densità di corrente

22 Conservazione della carica (equazione di continuità)
conduttore Intensità di corrente uscente entro la superficie del volumetto Densità di carica Per il teorema della divergenza Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce. Equazione di continuità della corrente elettrica Quindi Nel caso delle correnti stazionarie si ha Ossia è sempre solenoidale Quindi

23 La legge di Ohm La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il
potenziale e la corrente in un conduttore Legge di Ohm Resistenza del conduttore Resistività del materiale

24 La legge di Joule Quantità di carica Lavoro svolto dal campo
Possiamo anche scrivere nei conduttori metallici dove vale la legge di Ohm O anche scrivendo

25 Le leggi di Kirchhoff Nodo Maglia Il flusso totale di uscente da tale
superficie deve essere nullo. In ogni maglia la somma delle f.e.m. è sempre uguale alla somma delle c.d.t.