Algoritmi e Strutture Dati

Presentazione sul tema: "Algoritmi e Strutture Dati"— Transcript della presentazione:

1 Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 4 - Strutture di dati elementari Alberto Montresor Università di Trento This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. © Alberto Montresor

2 Liste (List, Linked List)
Una sequenza di nodi, contenenti dati arbitrari e 1-2 puntatori all'elemento successivo e/o precedente Contiguità nella lista ⇒ contiguità nella memoria Costo operazioni Tutte le operazioni hanno costo O(1) Realizzazione possibili Bidirezionale / monodirezionale Con sentinella / senza sentinella Circolare / non circolare © Alberto Montresor

3 Linked List - Altri esempi
© Alberto Montresor

4 List - circolare, bidirezionale, con sentinella
Nota: List e Pos sono tipi equivalenti © Alberto Montresor

5 List (Java) - bidirezionale senza sentinella
class Pos { Pos succ; Pos pred; Object v; Pos(Object v) { succ = pred = null; this.v = v; } © Alberto Montresor

6 List (List (Java) - bidirezionale senza sentinella ) - senza sentinella
public class List { /** First element of the list */ private Pos head; /** Last element of the list */ private Pos tail; public List() { head = tail = null; } public Pos head() { return head; } public Pos tail() { return tail; } public Pos next(Pos pos) { return (pos != null ? pos.succ : null); } public Pos prev(Pos pos) { return (pos != null ? pos.pred : null); } public boolean finished(Pos pos) { return pos == null; } public boolean isEmpty() { return head == null; } public Object read(Pos p) { return p.v; } public void write(Pos p, Object v) { p.v = v; } © Alberto Montresor

7 List (Java) - bidirezionale senza sentinella sentinella
public Pos insert(Pos pos, Object v) { Pos t = new Pos(v); if (head == null) { // Insert in a emtpy list head = tail = t; } else if (pos == null) { // Insert at the end t.pred = tail; tail.succ = t; tail = t; } else { // Insert in front of an existing position t.pred = pos.pred; if (t.pred != null) t.pred.succ = t; else head = t; t.succ = pos; pos.pred = t; } return t; © Alberto Montresor

8 List (Java) - bidirezionale senza sentinella - senza sentinella
public void remove(Pos pos) { if (pos.pred == null) head = pos.succ; else pos.pred.succ = pos.succ; if (pos.succ == null) tail = pos.pred; pos.succ.pred = pos.pred; } © Alberto Montresor

9 Liste - Realizzazione con vettori
E’ possibile realizzare una lista con vettori Posizione ≡ indice nel vettore Le operazioni insert() e remove() hanno costo O(n) Tutte le altre operazioni hanno costo O(1) Problema Spesso non si conosce a priori quanta memoria serve per memorizzare la lista Se ne alloca una certa quantità, per poi accorgersi che non è sufficiente. Soluzione Si alloca un vettore di dimensione maggiore, si ricopia il contenuto del vecchio vettore nel nuovo e si rilascia il vecchio vettore Esempi: java.util.Vector (1.0), java.util.ArrayList (1.2) © Alberto Montresor

10 Vettori dinamici: espansione
private Object[] buffer = new Object[INITSIZE]; // Utilizzato in ArrayList() private void doubleStorage() { Object[] newb = new Object[2*buffer.length]; System.arraycopy(buffer,0, newb,0, buffer.length); buffer = newb; } // Utilizzabile in Vector() private void incrementStorage() { Object[] newb = new Object[buffer.length+INCREMENT]; © Alberto Montresor

11 Vettori dinamici: espansione
Domanda: Qual è il migliore fra i due? Dalla documentazione Java: “As elements are added to an ArrayList, its capacity grows automatically. The details of the growth policy are not specified beyond the fact that adding an element has constant amortized time cost.” Cosa significa? © Alberto Montresor

12 Vettori dinamici: contrazione
Domande: Quanto costa rimuovere un elemento da una lista? Quanto costa rimuovere un elemento da un vettore non ordinato, evitando di lasciare “buchi”? Contrazione Per ridurre lo spreco di memoria di memoria è opportuno contrarre il vettore quando il fattore di carico α = size / capacity diventa troppo piccolo size: numero di elementi attualmente presenti capacity: dimensione del vettore Contrazione → allocazione, copia, deallocazione Domanda: Come scegliere il fattore di carico? © Alberto Montresor

13 Vettori dinamici: contrazione
Prima strategia: Una strategia che sembra ovvia è dimezzare la memoria quando il fattore di carico α diventa ½ Questo ci assicura un fattore di carico α > ½ anche in presenza di cancellazioni Domanda: Dimostrare che questa strategia può portare ad un costo ammortizzato lineare © Alberto Montresor

14 Vettori dinamici: contrazione
Qual è il problema? Che non abbiamo un numero di inserimenti/rimozioni sufficienti per ripagare le espansioni/contrazioni. Dobbiamo lasciar decrescere il sistema ad un fattore inferiore a α = ¼ Dopo un'espansione, il fattore di carico diventa ½ Dopo una contrazione, il fattore di carico diventa ½ Analisi ammortizzata: usiamo una funzione di potenziale che vale 0 all’inizio e subito dopo una espansione o contrazione cresce fino a raggiungere il numero di elementi presenti nella tavola quando α aumenta fino ad 1 o diminuisce fino ad ¼ © Alberto Montresor

15 Vettori dinamici: contrazione
La funzione di potenziale: Alcuni casi esplicativi: α = ½ (subito dopo espansione/contrazione), Φ = 0 α = 1 (immediatamente prima di espansione), size=capacity quindi Φ = size α = ¼ (immediatamente prima di contrazione), capacity=4⋅size quindi Φ = size In altre parole: immediatamente prima di espansioni e contrazioni il potenziale è sufficiente per “pagare” il loro costo © Alberto Montresor

16 4 2 1 8 16 32 i size capacity 48 © Alberto Montresor

17 Vettori dinamici: contrazione
Se α ≥ 1/2 il costo ammortizzato di un inserimento senza espansione è: mentre con espansione è: Altri casi per α e contrazione per esercizio © Alberto Montresor

18 politica “last in, first out” (LIFO)
Stack Una pila (stack) è un insieme dinamico in cui l’elemento rimosso dall’operazione di cancellazione è predeterminato: “quello che per meno tempo è rimasto nell’insieme” politica “last in, first out” (LIFO) Operazioni previste (tutte realizzabili in O(1)) © Alberto Montresor

19 Nei linguaggi con procedure: gestione dei record di attivazione
Stack Possibili utilizzi Nei linguaggi con procedure: gestione dei record di attivazione Nei linguaggi stack-oriented: Le operazioni elementari prendono uno-due operandi dallo stack e inseriscono il risultato nello stack Es: Postscript, Java bytecode Possibili implementazioni Tramite liste bidirezionali puntatore all'elemento top Tramite vettore dimensione limitata, overhead più basso top © Alberto Montresor

20 Reverse Polish Notation (PNG), o notazione postfissa
Stack Reverse Polish Notation (PNG), o notazione postfissa Espressioni aritmetiche in cui gli operatori seguono gli operandi Definita dalla grammatica: <expr> ::= <numeral> | <expr> <expr> <operator> Esempi: (7 + 3) × 5 si traduce in × 7 + (3 × 5) si traduce in × + Valutazione PNG, stack based (esempio: Java bytecode) push push push op. ×: pop, pop, push 15 7 op. +: pop, pop, push 22 © Alberto Montresor

21 Stack - pseudocodice © Alberto Montresor

22 Stack: implementazione tramite vettori (Java)
public class VectorStack implements Stack { /** Vector containing the elements */ private Object[] A; /** Number of elements in the stack */ private int n; public VectorStack(int dim) { n = 0; A = new Object[dim]; } public boolean isEmpty() { return n==0; © Alberto Montresor

23 Stack: implementazione tramite vettori (Java)
public Object top() { if (n == 0) throw new IllegalStateException("Stack is empty"); return A[n-1]; } public Object pop() { return A[--n]; public void push(Object o) { if (n == A.length) throw new IllegalStateException("Stack is full"); A[n++] = o; © Alberto Montresor

24 politica “first in, first out” (FIFO)
Queue Una coda (queue) è un insieme dinamico in cui l’elemento rimosso dall’operazione di cancellazione è predeterminato: “quello che per più tempo è rimasto nell’insieme” politica “first in, first out” (FIFO) Operazioni previste (tutte realizzabili in O(1)) © Alberto Montresor

25 Possibili implementazioni Tramite liste monodirezionali
Queue Possibili utilizzi Nei sistemi operativi, i processi in attesa di utilizzare una risorsa vengono gestiti tramite una coda La politica FIFO è fair Possibili implementazioni Tramite liste monodirezionali puntatore head (inizio della coda), per estrazione puntatore tail (fine della coda), per inserimento Tramite array circolari dimensione limitata, overhead più basso head tail © Alberto Montresor

26 Coda: Realizzazione tramite vettore circolare
La “finestra” dell’array occupata dalla coda si sposta lungo l’array! Dettagli implementativi L'array circolare può essere implementato con un'operazione di modulo Bisogna prestare attenzione ai problemi di overflow (buffer pieno) head+n 3 6 54 43 head 54 6 head 3 43 head+n © Alberto Montresor

27 Coda: Realizzazione tramite vettore circolare
head+n 3 6 54 43 head+n head enqueue(12) 3 6 54 43 12 head head+n dequeue() → 3 6 54 43 12 head head+n enqueue (15, 17, 33) 33 6 54 43 12 15 17 head © Alberto Montresor

28 Coda - pseudocodice © Alberto Montresor

29 Queue: Implementazione tramite array circolari (Java)
public class VectorQueue implements Queue { /** Vector containing the elements */ private Object[] A; /** Number of elements in the queue */ private int n; /** Top element of the queue */ private int head; public VectorQueue(int dim) { n = 0; head = 0; A = new Object[dim]; } public boolean isEmpty() return n==0; © Alberto Montresor

30 Queue: Implementazione tramite array circolari (Java)
public Object top() { if (n == 0) throw new IllegalStateException("Queue is empty"); return A[head]; } public Object dequeue() { Object t = A[head]; head = (head+1) % A.length; n = n-1; return t; public void enqueue(Object v) if (n == A.length) throw new IllegalStateException("Queue is full"); A[(head+n) % A.length] = v; n = n+1; © Alberto Montresor