Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica
Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Minimo monodimensionale
Guido Buzzi Ferraris Dipartimento di Chimica Materiali e Ingegneria Chimica Politecnico di Milano Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

In che cosa consiste il problema del minimo monodimensionale?
Si supponga di avere una funzione F(t) che dipenda da una sola variabile, t. La ricerca del minimo della funzione F(t) viene chiamato problema di minimo monodimensionale in quanto la funzione F dipende da una sola variabile, t. Esempio Trovare il valore di t, ts, che renda minima la seguente funzione: nell’intervallo tA = 0, tB = 4 Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il problema della ricerca del minimo monodimensionale è importante perché: 1. Esistono problemi reali di minimo di funzioni monodimensionali. 2. Un problema di minimo multidimensionale viene spesso risolto con una sequenza di minimi monodimensionali. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Si osservi che: Un problema di massimo di una funzione può sempre essere trasformato in un problema di minimo della stessa funzione con il segno cambiato. Wooka: Anche nella vita basta un segno per passare da una visione pessimistica ad una ottimistica e viceversa. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Due categorie di metodi
1. Metodi basati sul confronto 2. Metodi che approssimano la funzione con una più semplice Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Metodi di confronto I metodi di confronto sono l’equivalente per il problema del minimo monodimensionale del metodo del dimezzamento per il problema di azzeramento di una funzione. Nel caso dell’azzeramento di una funzione il metodo del dimezzamento richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza ossia di un intervallo per cui la funzione assume valori di segno opposto agli estremi. Nel caso della ricerca del minimo monodimensionale con un metodo di confronto l’intervallo di incertezza è un intervallo entro il quale la funzione obiettivo è unimodale. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Definizione: Funzione unimodale Una funzione viene detta unimodale in un intervallo tA tB se in tale intervallo esiste un solo punto di minimo, tM. Attenzione!!! Se una funzione ha dei tratti in cui è costante essa NON è unimodale. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Promemoria Quando si eseguono calcoli su calcolatore molte proprietà che sono vere in analisi classica (senza errori di arrotondamento) possono non essere più vere. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Può succedere che una funzione che per l’analisi classica è unimodale in un certo intervallo non lo sia più se si sta utilizzando un calcolatore. Ciò accade quando due punti sono troppo vicini fra loro e forniscono lo stesso valore della funzione a causa degli errori di arrotondamento. Intervallo di definizione La distanza minima al di sotto della quale la funzione cessa di essere numericamente unimodale viene detta intervallo di definizione e indicata con il simbolo d. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Come si fa a stimare l’intervallo di definizione? Si supponga che la funzione F(t) sia ben rappresentabile con una parabola nei pressi del minimo tM. Il termine diventa trascurabile rispetto a F” se: ossia se: con dove si è indicato con e la precisione con cui vengono eseguiti i calcoli. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

L’ordine di grandezza di d è perciò proporzionale alla radice quadrata di e. Mentre nel problema dell’azzeramento di una funzione la precisione finale della soluzione è spesso proporzionale a e nel caso del minimo di una funzione non si può andare oltre alla radice quadrata di e. Se e è uguale a (doppia precisione) la sua radice quadrata è uguale a 10-8. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Nel caso del metodo del dimezzamento nel problema dell’azzeramento di una funzione basta un punto, quello centrale, per poter prendere la decisione che permette di dimezzare l’intervallo di incertezza. Sapendo che una funzione è unimodale entro un certo intervallo quanti punti sono necessari per ridurre l’intervallo di incertezza nel caso dell’ottimo monodimensionale? Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Come si può osservare il punto migliore rimane interno al nuovo intervallo di incertezza. Un punto NON basta per prendere una decisione Se la funzione è unimodale possiamo eliminare l’intervallo tA t1 perché, essendo F(t2) < F(t1), il minimo si deve trovare fra t1 e tB Adesso con due punti POSSIAMO prendere una decisione NON è possibile sapere se il minimo si trova fra tA e t1 o fra t1 e tB Si conosce un intervallo di incertezza tA tB Nuovo intervallo di incertezza tA tA t1 t2 tB Si sposta il punto tA e lo si posiziona su t1 Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Perciò mentre per iniziare la ricerca servono due punti per prendere una decisione, nelle iterazioni successive ne basta uno solo dal momento che un punto si trova già all’interno dell’intervallo di incertezza. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Nasce il seguente problema Come conviene piazzare i primi due punti e i successivi affinché dopo un assegnato numero di iterazioni risulti minimo il massimo intervallo finale di incertezza? Il problema è veramente arduo da risolvere. Provare per credere. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Breve parentesi su problemi di logica Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Esiste una forma di ragionamento che utilizza un tipo di logica molto diffusa: quella che io chiamo logica da ingegnere. E’ una forma di logica di tutto rispetto che permette di costruire case, ponti, impianti chimici e così via. E’ una vera logica perché viene utilizzata per fare ragionamenti e non semplici deduzioni. La chiamo logica da ingegnere perché è tipica della mentalità dell’ingegnere: non far mai il passo più lungo della gamba; vai da una soluzione sicura ad un’altra poco diversa e anch’essa sicura; costruisci una casa dalle fondamenta e non dal tetto. Chi di voi è mai andato in campeggio? Fino agli anni settanta le tende erano costruite con la mentalità degli ingegneri: il telo era sorretto dai pali e il tutto era tenuto insieme da picchetti. Un genio si è invece chiesto: perché non costruisco prima il tetto e ci attacco sotto la tenda? E così sono nate le moderne tende che si costruiscono in meno di un minuto, si possono spostare dove si vuole anche già costruite e possono essere montate anche sulla sabbia dove solo campeggiatori tedeschi (sicuramente ingegneri) potevano costruire le tende tradizionali usando picchetti lunghi un metro. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Ma per essere dei geni o semplicemente per creare qualcosa di nuovo la logica da ingegnere è poco efficiente se non addirittura impotente ! Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Quesito In un torneo di tennis ad eliminazione diretta partecipano 113 persone. Quante partite saranno state giocate alla fine del torneo? Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Poiché 113 non è divisibile per 2 al primo turno un giocatore riposa e vengono fatte 112/2 = 56 partite. 56 Al secondo turno partecipano 57 giocatori. Poiché anche 57 non è divisibile per 2 al secondo turno un giocatore riposa e vengono fatte 56 / 2 = 28 partite. 28 Al terzo turno partecipano 29 giocatori. Poiché anche 29 non è divisibile per 2 al terzo turno un giocatore riposa e vengono fatte 28 / 2 = 14 partite. 14 Al quarto turno partecipano 15 giocatori. Poiché anche 15 non è divisibile per 2 al quarto turno un giocatore riposa e vengono fatte 14 / 2 = 7 partite. 7 Al quinto turno partecipano 8 giocatori e perciò verranno fatte 8 / 2 = 4 partite. 4 Al sesto turno partecipano 4 giocatori e perciò verranno fatte 4 / 2 = 2 partite. 2 Al settimo turno si gioca la finale ossia l’ultima partita. 1 Partite totali giocate = 112 Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il precedente ragionamento viene effettuato usando la logica tradizionale (logica da ingegnere) ossia un passo alla volta da una certezza ad un’altra certezza. ma E’ possibile utilizzare la logica laterale ossia cercare di saltare subito alla soluzione per una via più diretta. In un torneo di tennis a eliminazione diretta in cui ci sono 113 giocatori vi sarà un solo vincitore e 112 perdenti. Perciò si disputeranno 112 partite. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Ma professore è impossibile che in un torneo di tennis ci siano 113 partecipanti!! Ecco uno studente che aveva appreso a fondo la logica da ingegnere! Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Abbiamo visto che il problema di trovare la strategia di selezione dei punti tale da rendere minimo il massimo intervallo finale di incertezza non è di facile soluzione se si parte con la domanda apparentemente più logica: Come conviene piazzare i primi due punti e i successivi affinché dopo un assegnato numero di iterazioni risulti minimo il massimo intervallo finale di incertezza? E’ invece relativamente facile risolvere tale problema utilizzando la logica laterale e cioè cercando di vedere quali saranno le condizioni finali della sequenza. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Affrontiamo perciò il precedente problema con la logica laterale! Quale sarà la situazione finale? Alla fine per poter prendere l’ultima decisione dovremo utilizzare due prove. Quale è la scelta ottimale che rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza con due prove? Questo problema è facile da risolvere: le due prove devono essere simmetriche nell’interno dell’intervallo (perché altrimenti non minimizzerebbero il massimo intervallo di incertezza finale) e il più possibile vicine fra loro. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Date le due seguenti situazioni finali: L1 La minima distanza fra le due prove è d, intervallo di definizione. L2 d L2 risulta minore di L1 perché i suoi punti sono più vicini. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Perciò se il numero totale di prove richiesto è N le due ultime prove dovranno trovarsi a distanza d fra loro e essere centrate nel penultimo intervallo di ampiezza LN-1 in modo che l’intervallo finale avrà ampiezza LN. Di queste due prove una, t*, deve provenire da un’iterazione precedente e una sarà l’ultima prova tN. LN tN t* LN-1 d E’ facile vedere che: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

D’altra parte l’intervallo LN-1 è ricavato dall’intervallo LN-2 in uno dei seguenti modi. tN-2 tN d LN LN-1 tN-1 LN-2 Se la prova tN-1 è migliore della prova tN-2 si ha la situazione di destra e tN-1 è già pronto nella giusta posizione. In entrambi i casi: LN-2 = LN + LN-1 Se la prova tN-2 è migliore della prova tN-1 si ha la situazione di sinistra e tN-2 è già pronto nella giusta posizione. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Mettendo insieme le due precedenti relazioni: si ottiene: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

D’altra parte l’intervallo LN-2 è ricavato dall’intervallo LN-3 in uno di due possibili modi a seconda che sia migliore la prova di sinistra o di destra. Nel caso in cui la prova migliore sia quella di sinistra si ha la seguente situazione. LN tN tN-2 LN-1 d tN-1 LN-2 LN-3 E’ facile vedere che: e perciò: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Proseguendo nello stesso modo si ottiene la seguente formula generale: dove Fj è il j-esimo numero della serie di Fibonacci Si osservi che i numeri di Fibonacci sono legati dalla relazione: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Parentesi storica. Fibonacci (il cui vero nome era Leonardo Pisano essendo nato a Pisa nel 1175) ha trovato la famosa sequenza di numeri che prende il suo nome cercando di risolvere il seguente problema: Se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese una coppia di piccoli che dopo un mese mettono al mondo a loro volta una coppia di conigli quante coppie di conigli avremo dopo un anno se tutti i conigli rimangono in vita? Febbraio x Marzo x + Aprile x x + Maggio x x x Giugno x x x x x Gennaio x Si ottiene perciò la sequenza dei numeri di Fibonacci Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Se nella precedente formula: si pone j = N – 1 si ottiene: Da cui: Questa formula ci permette di calcolare il valore ottimale LN per ogni valore di N se è noto d e l’ampiezza dell’intervallo iniziale L1. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Esempio L’intervallo di incertezza iniziale sia tA = 0 tB = 18. Quale sarà il minimo del massimo intervallo finale usando 4 prove sapendo che d è uguale a 1? Utilizzando la formula precedente: Con N = 4 si ottiene: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Ma conoscendo LN si possono ricavare anche tutti gli altri intervalli intermedi usando la relazione generale: Con j = 2 si ottiene: Con j = 1 si ottiene: Perciò le prime due prove saranno poste a distanza 11 da entrambi gli estremi in modo da ottenere qualunque sia il risultato delle due prove un intervallo L2 = 11. Le prove sono già disposte in modo che le successive decisioni porteranno sempre ad un intervallo finale L4 = 4. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il metodo basato sulle precedenti formule per trovare i punti in cui effettuare le prove viene chiamato: Metodo di Fibonacci perché nel metodo compaiono i numeri di Fibonacci (non perché lo ha proposto lu)i. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Vantaggi del metodo di Fibonacci Svantaggi del metodo di Fibonacci
Garantisce la convergenza ad un minimo relativo. Rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza. Svantaggi del metodo di Fibonacci Ha sempre la stessa efficienza indipendentemente dalla funzione considerata. Mentre ciò è un pregio per funzioni molto complicate risulta viceversa uno svantaggio con funzioni molto semplici. In particolare quando l’intervallo di incertezza è molto piccolo spesso la funzione può essere ragionevolmente approssimata con una parabola. Richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza. Richiede la conoscenza dell’intervallo di definizione d. Se la ricerca viene interrotta non è più il metodo che rende minimo il massimo intervallo finale di incertezza. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Metodo della sezione aurea
Il metodo della sezione aurea appartiene alla famiglia di metodi di confronto. Esso si basa sull’idea di ridurre gli intervalli di incertezza con un rapporto di riduzione costante. Dal momento che deve essere anche valida la seguente relazione: è facile calcolare il valore del rapporto c. Da cui si ottiene: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il rapporto viene chiamato rapporto aureo. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il precedente rapporto viene chiamato “aureo” perché gli antichi gli attribuivano un potere quasi magico. Esso ha rivestito e riveste tuttora un ruolo importantissimo nei settori più disparati: geometria, fisica, nelle arti decorative, in pittura, in architettura, nella composizione musicale Per esempio in architettura: Tutti i templi Greci sono costruiti rispettando tale rapporto fra altezze e larghezze per ogni rettangolo rintracciabile nella struttura. Anche i palazzi moderni sfruttano spesso tale rapporto: il palazzo dell’ONU ne è un esempio. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Fino a non molto tempo fa anche le finestre delle case e i fogli di carta da lettera erano in un formato tale per cui il rapporto fra altezza e larghezza era aureo. Per quale motivo oggi ci appaiono allungati e ci danno quasi un senso di disagio, mentre fino a non molto tempo fa apparivano come la perfezione assoluta (tanto da meritare appunto il nome di rapporto aureo)? Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Perché ci stiamo abituando al nuovo standard UNI nato per evitare gli scarti. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il berlinese Wilhelm Ostwald (che secondo me era un fotografo stufo di dover scartare un sacco di carta per la stampa delle sue foto) ha proposto di utilizzare per la carta e per ogni forma rettangolare da utilizzare con diverse pezzature la seguente regola. Il rapporto fra altezza e larghezza deve restare costante anche tagliando il rettangolo a metà. Ciò si ottiene se altezza e larghezza stanno fra loro nel rapporto In questo modo da un foglio di un certo formato se ne possono ottenere due di formato la metà senza avere scarti cosa che invece si avrebbe usando un rapporto aureo! Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il metodo della sezione aurea è molto facile da applicare. Le prime due prove saranno messe a una distanza dagli estremi del primo intervallo. Esempio L’intervallo di incertezza iniziale sia tA = 0 tB = 18. Le prime due prove saranno poste a distanza 18/1.168 dagli estremi. Attenzione! Se con Fibonacci previsto per funzionare con 4 prove ci si fermava a 3 prove l’intervallo finale sarebbe stato 7 ossia peggiore di quello ottenuto con la sezione aurea! Che è un poco peggiore di quello trovato con il metodo di Fibonacci che era 4. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Vantaggi del metodo della sezione aurea
Garantisce la convergenza ad un minimo relativo. E’ sempre efficiente qualunque sia il momento in cui si interrompe la ricerca. Non richiede la conoscenza dell’intervallo di definizione, d . Svantaggi del metodo della sezione aurea Ha sempre la stessa efficienza indipendentemente dalla funzione considerata. Mentre ciò è un pregio per funzioni molto complicate risulta viceversa uno svantaggio con funzioni molto semplici. In particolare quando l’intervallo di incertezza è molto piccolo spesso la funzione può essere ragionevolmente approssimata con una parabola. Richiede la conoscenza di un intervallo di incertezza. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Metodi che approssimano la funzione con una più semplice
Questi metodi utilizzano alcuni punti della funzione già calcolati per effettuare un’interpolazione esatta. Viene poi usato il modello che interpola esattamente la funzione per stimare il valore di t per cui essa risulta minima. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Quando si effettua una interpolazione esatta il modello deve avere le seguenti caratteristiche Deve rappresentare al meglio la funzione che si desidera simulare. Deve essere facile risolvere il sistema che permette di determinare i parametri. Deve essere facile usare il modello per effettuare una previsione. In molti casi deve essere facile stimare con il modello le derivate prime e seconde. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Nel caso specifico in cui il modello che interpola esattamente la funzione viene utilizzato per stimare il valore t in cui la funzione è minima il modello deve possedere anche un’altra caratteristica: Il modello utilizzato deve essere tale da permettere di stimare facilmente il valore t in cui il modello stesso risulta minimo. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Il solo modello ragionevole è il seguente
Polinomio di secondo grado: che prevede il minimo nel punto: Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Vantaggi del metodo di approssimazione parabolica
La velocità di convergenza è molto buona (è quadratica). Svantaggi del metodo di approssimazione parabolica Il metodo può divergere. Non sempre la funzione è approssimabile con una parabola. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Un buon programma per la ricerca del minimo monodimensionale di una funzione deve contenere sempre diversi algoritmi. La scelta del metodo efficiente è ovvia perché non esistono alternative. Il metodo robusto verrà scelto fra il metodo di Fibonacci, quello della sezione aurea o un metodo ad hoc. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Un programma di ottimizzazione monodimensionale deve essere
1. Robusto: Deve riuscire a trovare con buona probabilità il minimo assoluto in una funzione con più minimi relativi Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione e/o le sue derivate abbiano discontinuità Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione non è mai approssimabile ad una parabola con derivata seconda positiva. Deve riuscire a risolvere problemi in cui la funzione non è definita in qualche intervallo. 2. Accurato: Deve riuscire a trovare la soluzione in modo preciso 3. Efficiente: Deve avere convergenza quadratica con funzioni che siano ben approssimabili con una parabola e buona velocità di convergenza in caso contrario. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Esempio Shacham ha proposto una serie di problemi particolarmente difficili. Per esempio il problema indicato con la sigla Oneeq21b ha delle discontinuità nella funzione che non risulta definita per valori negativi di t. Esso viene risolto con un programma particolarmente robusto della libreria BzzMath e ha il seguente grafico in cui appaiono quattro minimi relativi. Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Esempio Come ulteriore esempio particolarmente difficile si consideri la seguente funzione double BzzMinimumMonoTest4a(double t) { double f,g; g = ( t * ( t * ( t * ( t * ( t))))) + exp(-t); if(g < 0.) bzzUnfeasible = 1; return 0.; } f = sqrt(g); f += 10. * fabs(t - 6.); return f; La funzione ha 6 minimi relativi, è discontinua per t = 6 e non è definita se g è negativa Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Breve parentesi sull’argomento La logica da ingegnere è efficiente? Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Quesito Quanti chilometri ha percorso in totale la mosca quando i due ciclisti si incontrano? Si supponga che il tempo di inversione di marcia sia trascurabile. Una mosca parte contemporaneamente ai ciclisti dal naso del primo e vola verso il secondo ad una velocità di 70 km/h. Il primo ciclista viaggia ad una velocità costante di 35 km/h, mentre il secondo ciclista viaggia ad una velocità costante di 25 km/h. Due ciclisti partono contemporaneamente da due città che distano fra loro 120 km di percorso stradale. Non appena toccato il naso del secondo ciclista inverte immediatamente la rotta, torna verso il primo ciclista, tocca il suo naso e così via da un ciclista all’altro. La mosca non segue il percorso stradale, ma taglia direttamente da un ciclista all’altro in modo da evitare la curva della strada. La strada può essere assunta come un tratto di circonferenza avente raggio 150 km Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

Si sarebbe tentati di calcolare i vari percorsi della mosca che si muove avanti e indietro da un ciclista all’altro. Cosa possibile, ma poco furba! La risposta è invece banale se si usa la logica laterale. I ciclisti in un’ora percorrono = 60 km e perciò si incontrano dopo due ore dal momento che la distanza totale è di 120 km. La mosca viaggia a 70 km/h e perciò dopo due ore essa ha percorso un totale di 140 km. Viva la logica laterale! Guido Buzzi-Ferraris Metodi e Applicazioni numeriche nell’Ingegneria Chimica

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