Grafi triangolati e triangolazioni di grafi

Presentazione sul tema: "Grafi triangolati e triangolazioni di grafi"— Transcript della presentazione:

1 Grafi triangolati e triangolazioni di grafi
M. Moscarini M. Mezzini

2 Definizioni

3 Definizioni Percorso in un grafo 3 2 4 1 5

4 Definizioni Percorso in un grafo 3 2 4 1 5

5 Definizioni Ciclo in un grafo 3 2 4 1 5

6 Definizioni Corda di un ciclo o di un percorso 3 2 4 1 5

7 Definizioni Grafo triangolato (o cordale) 3 2 4 1 5

8 Definizioni Triangolazione di un grafo 3 2 4 1 5

9 Definizioni Triangolazione di un grafo 3 2 4 1 5

10 Applicazioni dei grafi triangolati
Basi dati: progettazione delle basi di dati

11 Applicazioni dei grafi triangolati
Basi dati: progettazione delle basi di dati Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari

12 Applicazioni dei grafi triangolati
Basi dati: progettazione delle basi di dati Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari Statistica: calcolo di probabilità

13 Applicazioni dei grafi triangolati
Basi dati: progettazione delle basi di dati Calcolo numerico: calcolo delle soluzioni dei sistemi di equazioni lineari Statistica: calcolo di probabilità Intelligenza artificiale: machine learning

14 Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati Studenti Mat_Stud Nome Cognome Appello Codice_App Materia Data Prenotazione Codice_App Mat_Stud

15 Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati Ipergrafo associato allo schema Studenti Mat_Stud Nome Cognome Mat_Stud Nome Cognome Appello Codice_App Materia Data Codice_App Materia Data Prenotazione Codice_App Mat_Stud

16 Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati Ipergrafo associato allo schema Grafo associato allo schema Studenti Nome Mat_Stud Nome Cognome Mat_Stud Nome Cognome Appello Mat_ Stud Cogn ome Codice_App Materia Data Codice_App Materia Data Prenotazione Codice_ App Data Codice_App Mat_Stud Materia

17 Applicazioni dei grafi triangolati
Schema base di dati Ipergrafo associato allo schema Grafo associato allo schema Studenti Nome Mat_Stud Nome Cognome Mat_Stud Nome Cognome Appello Mat_ Stud Cogn ome Codice_App Materia Data Codice_App Materia Data Prenotazione Codice_ App Data Codice_App Mat_Stud Materia Lo schema è buono solo se il grafo associato è cordale

18 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità

19 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti

20 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti v s t

21 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti v s t Motivazioni: Collegato alla teoria dei grafi perfetti Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti

22 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Percorso senza corde per tre vertici in grafi bipartiti v s t Motivazioni: Collegato alla teoria dei grafi perfetti Collegato alla convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti Risultati: NP-Completo

23 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X). 5 6 3 4 X 2 1

24 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X). 5 6 3 4 X 2 1

25 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X). 5 6 3 4 CH(X) 2 1

26 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X). 5 6 3 4 CH(X) 2 1 Motivazioni: Collegato alla teoria delle basi di dati Collegato alla teoria della convessità

27 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Convessità dei percorsi senza corde in grafi bipartiti. Dato un insieme di vertici X trovare l’involucro convesso CH(X). 5 6 3 4 CH(X) 2 1 Motivazioni: Collegato alla teoria delle basi di dati Collegato alla teoria della convessità Risultati: Algoritmo polinomiale

28 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo

29 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo 3 2 4 1 5

30 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo 3 2 4 1 5

31 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo 3 2 4 1 5

32 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo 3 2 4 1 5 Motivazioni: Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari Teoria dei grafi

33 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Triangolazione minimale di un grafo 3 2 4 1 5 Motivazioni: Calcolo delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari Teoria dei grafi Risultati: Algoritmo semplice e veloce quando il grafo è denso Implementazione in C e confronto con gli algoritmi esistenti

34 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale

35 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5

36 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5

37 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5

38 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5

39 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5

40 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5 Motivazioni: Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale

41 Attività di ricerca nell’ambito della cordalità
Algoritmo dinamico per inserire o rimuovere archi da un grafo cordale 3 2 4 1 5 Motivazioni: Applicazioni in ambito dell’intelligenza artificiale Risultati: Algoritmo con O(1) per decidere se un arco può essere aggiunto od eliminato e O(n2) per modificare le strutture dati.

42 Attività di ricerca nell’ambito della protezione
dei dati statistici

43 Attività di ricerca nell’ambito della protezione dei dati statistici
4 x2 x3 x5 4 4 x1 x4 2

44 Attività di ricerca nell’ambito della protezione dei dati statistici
4 x2 =3 x3 =1 x5=1 4 4 x4 =2 x1 =0 2

45 Attività di ricerca nell’ambito della protezione dei dati statistici
4 x2 =2 x3 =2 x5=1 4 4 x4 =1 x1 =1 2

46 Attività di ricerca nell’ambito della protezione dei dati statistici
4 x2 =2 x3 =2 x5=1 4 4 x4 =1 x1 =1 2

47 Attività di ricerca nell’ambito della protezione dei dati statistici
4 x2 =2 x3 =2 x5=1 4 4 x4 =1 x1 =1 2 Motivazioni: Protezione della privacy Risultati: Diversi algoritmi lineari nelle dimensioni del grafo (ottimi)