Metodi matematici dell’astronomia

Metodi matematici dell’astronomia
Che cosa sono i Metodi matematici dell’astronomia? In che cosa sono differenti da quelli della fisica? L’astronomia è una scienza che si basa sull’analisi quantitativa dei fenomeni su base fisico-matematica, ma che mutua alcune caratteristiche dalle Scienze naturali, quali l’accurata raccolta e analisi di “reperti” osservativi (tassonomia). Ciò implica la necessità di utilizzare metodi statistici di indagine. Inoltre l’astronomia-astrofisica moderna è carat- terizzata dal dover interpretare quantitativamente fenomeni complessi (sovrapporsi di processi fisici interconnessi e su un ampio intervallo di scale spazio-temporali) il che implica l’utilizzo di metodi matematici e, principalmente, numerici specifici.

L’astronomia è l’esempio massimo di scienza osservativa, che è diverso da sperimentale. Ciò significa che ci si limita a raccogliere dati (output) provenienti da sorgenti lontane. Se si osserva un fenomeno particolare (per es. l’esplosione di una SN): La SN 1987a prima dopo

• se ne possono raccogliere i dati e ipotizzare un’interpretazione che non può, ovviamente, essere confermata in laboratorio: • si può solo sperare che ci siano un numero sufficiente di altre esplosioni osservabili che forniscano i dati utili alle ipotesi interpretative teoriche. La possibilità di azione del ricercatore è solo quella di potenziare i mezzi di raccolta e analisi dei dati osservativi.

Ammesso di avere statistica sufficiente che cosa si può imparare come fisica? In astronomia i processi fisici sconosciuti alla base del flusso radiativo osservato sono convoluti attraverso la struttura della sorgente, il mezzo interstellare, l’atmosfera terrestre e infine il ricettore e il rivelatore. Lo schema è quindi input Struttura, ISM, ecc. output Quindi si tratta di risolvere un problema di inversione. A parte i problemi tecnici (matematici) implicati, la difficoltà intrinseca dell’astronomia di ottenere buoni dati osservativi rende il processo di falsificazione delle ipotesi (al fine dell’ottenimento dell’unica interpretazione esatta) difficile. Infatti è possibile che modelli fisici anche significativamente diversi portino a “osservabili” indistinguibili entro

l’errore osservativo. In altro linguaggio: il test “pratico” cui si sottopongono le varie teorie è troppo debole per selezionarne una sola (o poche). Situazione “auspicabile” Situazione “reale”

In un esperimento ideale la risposta dello strumento allo stimolo (sconosciuto) è univoca, nella realtà tale risposta strumentale è “sbrodolata” su un insieme (tramite la point-spread function) point spread function k(x,y) risposta strumentale g(x) Stimolo f(y) convoluzione g(x) F(y) deconvoluzione Un’approssimazione F(y) di f(y) si ottiene per deconvoluzione della risposta strumentale, ma quanto vale ?

g(’) f()

Il problema della deconvoluzione (o inversione dei dati). caso k(x,y)=1 ha soluzione formale Semplice, ma dà problemi; infatti supponiamo che Se al dato g(x) è sovrapposto rumore di frequenza  si ha: Ne consegue che le 2 soluzioni f(x) e fo(x) differiscono

che significa che l’errore sulla soluzione ha ampiezza  Il problema è quindi instabile a variazioni di alta frequenza in g(x), infatti la soluzione fo è tale che nel suo errore relativo le variazioni relative d/ e d/ sono amplificate dal fattore /fo.

Metodi matematici dell’astronomiainstabilità
output input =0.8, =0.04,=20

E quindi? Invece di deconvolvere (procedura “all’indietro”) si può effettuare il cosiddetto “model fitting” (procedura “in avanti”) cioè fare un’ipotesi su f(y), convolvere e valutare il risultato g(x). Supponiamo di avere un’ipotesi f1(y) e di perturbarla di modo che f2(y)=f1(y)+acosy. Il relativo osservabile sarà per cui che corrisponde al problema visto prima. Una perturbazione in f di grande ampiezza a può essere smorzata dalla sua alta frequenza ω.

Conclusione: 1) la deconvoluzione è instabile; 2) il model fitting (convoluzione) dà risultati illusori. La via giusta è affinare la tecnica di deconvoluzione (regolarizzando), utilizzando, se possibile, vari kernels, cioè un insieme di dati osservativi per esempio flussi in bande diverse dello spettro e.m..

Problemi tipici dell’astronomia Equazione di Keplero Equazioni del moto di N corpi autogravitanti Fare alla lavagna il disegno per spiegare il significato dell’anomalia eccentrica E. Spiegare come si otengono le equazioni degli N corpi. sistema di N eq. diff. vett. ordinarie del 20 ordine  ordine del sistema = 6N servono 6N condizioni iniziali su posizioni e velocità

Equazioni della struttura stellare Sistema di 4 eq. diff. + 1 EOS con incognite: (r). P(r), M(r), T(r), L(r) mentre: = (,T;Xi), = (,T;Xi), = (,T;Xi) sono funzioni note. 4 condizioni al contorno

Si vuole ottenere E(t); è necessario quindi risolvere un’equazione trascendente: dove: E (incognita) è l’anomalia eccentrica, e<1 è l’eccentricità della traiettoria (ellittica), t (il tempo) è un parametro tale che 0 t- P dove  è l’istante di passaggio al perielio e P il periodo dell’orbita. L’equazione non ha soluzione esplicita, per cui bisogna cercarne un’approssimazione numerica. Nell’intervallo 0<t-<P (cioè 0<E<2) la soluzione esiste unica, infatti la funzione è continua e per il teor. dell’esist. degli zeri c’è 1 sola radice nell’intervallo ]0,P[

Come ottenere e stimare l’accuratezza nei calcoli numerici • Dati 2 numeri a e b è logico confrontarli: Se a e b rappresentano le altezze di 2 persone e b-a=50cm ha senso dire che a<<b, ma se parliamo di due montagne no! Lo stesso si può dire per ab e ab. Il significato del confronto, quindi, dipende dal contesto. significa che • per

Errori assoluti e relativi Indichiamo d’ora in poi con ã un’approssimazione di a. Data un’approssimazione ã di a: • l’errore assoluto è a= ã - a • l’errore relativo è r= (ã – a)/a (se a0) La conoscenza esatta dell’errore è, ovviamente, di solito impossibile, per cui si cerca di averne una stima, o meglio una limitazione superiore  0 tale che |a|  . Con la notazione a= ã   si intende |a |=|ã - a|  . In molti casi con tale notazione  ha il senso di deviazione standard o altra misura statistica di errore.

Sorgenti d’errore I risultati numerici sono influenzati da varie sorgenti d’errore: alcune possono essere ridotte o eliminate, altre no. Possibili errori: nei dati di input; 2) dovuti a semplificazioni nel modello matematico; 3) di arrotondamento durante il calcolo (se la macchina gestisce fino a s cifre, un prodotto, che avrebbe 2s o 2s-1 cifre, viene troncato a s); 4) di troncamento: sono quelli che nascono dal “taglio” di un’espressione, tipo: invece di oppure dall’aprossimare un funzione non lineare con una lineare oppure dall’approssimare una derivata con un rapporto finito (errore di discretizzazione); 5) “umani”: imprevedibili. Dare esempli per i punti 1), 2), 5). Nel caso 5) paortare l’esempio dell’uso di divers unita’ di misura nell’esperimento Mars polar lander

Arrotondamento (round-off) Il numero di cifre di un numero è quello che si ottiene escludendo gli zeri all’inizio: a= ha 2 cifre  a=7.8×10-3 a=0.08 ha 2 decimali e 1 cifra b=15.6 ha 1 decimale e 3 cifre Indichiamo d’ora in poi con ã un’approssimazione di a. • Siano a=0.235 e ã=0.231; ã ha 2 cifre esatte, e ciò corrisponde a un errore  a=ã - a=-0.004=-0.4×10-2. In generale, se |a|0.5 ×10-t, l’approssimazione ha t decimali corretti (qui 2 cifre significative). • Se a=0.001 e ã=0.002, =0.001=0.1×10-2  2 decimali corretti (e nessuna cifra significativa). • Il numero a=0.0654± ha 3 decimali corretti e 2 cifre significative Spiegare che con a si intende il numero corretto e con a con la tilde la sua rappresentazione (approssimata) Spiegare bene (ultimo esempio) il significato del +- dopo il nuero approssimato

Ci sono 2 modi di arrotondare un numero a un dato numero (t) di decimali: 1) tagliare al t-esimo decimale: a=  ã= (t=3) 2) arrotondare (realmente) il numero in modo da lasciare il t-esimo decimale inalterato se la parte del numero che resta alla sua destra è < 0.5 ×10-t, aumentandolo di 1 altrimenti. Naturalmente l’arrotondamento causa un errore: per esempio a=0.2660.003 ha 2 decimali corretti (e 2 cifre significative) arrotondandolo a 2 decimali si ha ã=0.27 il cui secondo decimale non è corretto. In questo caso, il taglio al secondo decimale porta a una migliore precisione (2 dec. corretti). NB: è stata effettuata una correzione rispetto alle dispense on-line nel punto 2) (era ...se il successivo....) ora è se la parte del numero che ....

Propagazione d’errore D. Se il limite d’errore (assoluto) di a1>0 è 1 e quello di a2>0 è 2 , qual è il limite d’errore di a1- a2 ? Poichè a1 = ã1 ± 1 e a2 = ã2 ± 2, si ha ã1 - 1 - (ã2 + 2)  a1- a2  ã1 + 1 – (ã2 - 2), cioè ã1 - ã2 - (1 + 2)  a1- a2  ã1 – ã2 + (1 +2), quindi a1 -a2 = ã1 - ã2 ± (1 +2). Analogamente si vede che a1+ a2 = ã1 + ã2 ± (1 +2). Quindi: nelle operazioni di addizione e sottrazione i limiti di errore assoluto si sommano.

Nelle operazione di moltiplicazione e divisione, invece, si sommano i limiti d’errore relativo (approssimativamente). Si verifica infatti (per esercizio) che: (ã1ã2 - a1a2)/ a1a2 = r1 +r2 + r1r2  r1 +r2, se |r1|<<1 e |r2|<<1 e (ã1/ã2 – a1/a2)/ (a1/a2) = (1+ r1)/(1+ r2 ) – 1 = (r1- r2 )/(1+ r2 ) r1 - r2 , se |r1|<<1 e |r2|<<1 Perciò nella moltiplicazione e divisione i limiti d’errore relativo si sommano e sottraggono, rispettivamente.

Cancellazione dei termini Una causa comune di scarsa accuratezza nel calcolo è la sottrazione di 2 numeri molto simili (per cui la differenza è << dei numeri stessi). Questo problema è detto della cancellazione dei termini (term cancellation) Infatti, dati 2 numeri x1 e x2 affetti da errori x1 e x2, e ponendo y= x1- x2 L’errore relativo in y può quindi essere molto grande Esempio: x1=6.3456±½·10-4 e x2 =6.3455±½·10-4  y= ±10-4, che equivale a |y/y| 10-4/ 10-4 (stima d’errore relativo del 100%).

Bisogna quindi cercare di evitare differenze di numeri simili, riscrivendo, se possibile, le formule. Per esempio, sia da calcolare Essa si può riscrivere come: evitando così la cancellazione dei termini. Dovendo calcolare f(x+)-f(x) un’altra possibilità è quella di sviluppare f(x) in serie di Taylor:

La formula generale per la propagazione dell’errore Sia data una funzione y(x) e si voglia valutare dove è un’approx. di x. Ci si chiede qual è l’errore Una via naturale è quella di calcolare il differenziale (approssimato): In generale, se y=y(x1,x2,...,xn) si può stimare da cui: Che è la formula generale di propagazione dell’errore.

Derivata numerica Conoscendo una funzione f(x) in 3 punti (xi-1,xi,xi+1), si possono costruire 3 rette: a) passante per (xi-1,fi-1) e (xi,fi); b) per (xi,fi) e (xi+1,fi+1); c) per (xi-1,fi-1) e (xi+1,fi+1). Una ragionevole approssimazione della derivata, f‘ (x), di f(x) all’interno dell’intervallo [xi-1,xi[ può quindi essere data dal coefficiente angolare della retta a) passante per tali punti, così come da quello della retta c) se si vuole approssimare f‘ (x) in ]xi,xi+1]. E per f‘ (xi)? E’ possibile usare l’approssimazione a) (sinistra), c) (destra) ma anche b) (centrale). Si verifica che, se xi-1,xi,xi+1 sono spaziati con passo h, allora l’approssimazione centrale è del 20 ordine in h mentre le altre due sono del 10 ordine. Si ha infatti, esprimendo f(x+h) e f(x-h) con la f. di Taylor Nota: questa slide e la seguente sono sate aggiunte.

Derivata numerica di punto di partenza x, esplicitando le derivate prime e semisommandole:

Integrazione numerica Supponiamo di dover calcolare dove f(x) è una funzione continua nell’intervallo oppure è una funzione campionata per punti: {f(xi}, i=1,2,...,n}. Se non si riesce a ottenerne la primitiva F'(x)=f(x), per cui F(b)-F(a)=I, l’unica alternativa è di approssimare I tramite una valutazione numerica. Le formule di approssimazione si chiamano “di quadratura” perchè si tratta di valutare l’area sottesa dalla funzione, cioè di quadrarla. Ho corretto aggungendo una graffa dx che mancava dopo ,n e mettendo in ialic F’(x) ecc. Tutti i metodi per ottenere un’approssimazione di I si basano sul fatto che l’integrale definito è il limite della somma finita sn, cioè:

dove n è il numero di intervalli ix in cui si è suddiviso [a,b], entro ognuno dei quali si è scelto xi. Ci limiteremo a studiare 4 metodi: il metodo trapezoidale, il metodo rettangolare, il metodo di Simpson, il metodo Montecarlo. Il metodo trapezoidale E’ forse il più intuitivo; si basa su: considerare una suddivisione di [a,b] in n intervalli, il generico dei quali ha estremi xi e xi+1 e ampiezza hi , definendo quindi una griglia di n+1 punti (mesh-points): x0=a , xi+1=xi+ hi , i=0,1,...,n-1 (naturalmente xn=xn-1+hi=b);

ii) valutare la funzione sui punti griglia, ottenendo l’insieme di n+1 valutazioni {f(xi)fi, i=0,...,n}, di modo da avere il campionamento della funzione dato dalle coppie (xi, fi); iii) stimare I come somma delle aree dei trapezi di base fi e fi+1 e altezza hi, cioè: Tale approssimazione equivale ad aver sostituito (dentro l’integrale) ad f la sua approssimazione costituita dalla spezzata passante per i punti (xi,fi), cioè: Ho corretto spostando la graffa chiusa dopo ..,n Ho corretto la prima formula gialla dove mancava l’inegrale della f approx. (stava scritto male) dove (x) è la funzione di Heaviside: Verificare per esercizio che

Quando è possibile, è comodo usare un passo fisso hi=h=(b-a)/n, di modo che i punti xi son definiti come x0=a, xi= x0+ih (i=1,2,...,n), il che semplifica l’espressione delle formule di quadratura (e ne riduce la complessità computazionale). Il metodo rettangolare Si basa sull’approssimazione di f(x) con una funzione a gradini tale che fi=f(xi+1/2) nel generico [xi,xi+1], dove xi+1/2 è il punto di mezzo dell’intervallo. L’approssimazione di I che ne risulta è: (form. rett. centrata). Se il passo è fisso, hi=h=(b-a)/n, la formula diviene

E’ intuitivamente chiaro (vedi figura in basso a sin.) che prendere la funzione nel punto di mezzo xi+1/2 invece che nel punto xi (form. rettangolare sinistra) o xi+1 (form. rett. destra) dà un’approx migliore f. rett. sin. f. rett. des. Il metodo rettangolare Il metodo trapezoidale

L’errore di troncamento nella formula trapezoidale e rettangolare Data una funzione f(x) che assume valori fi su una griglia di n+1 punti xi (i=0,1,...,n) esiste un solo polinomio, pn(x), di grado n che passa per i punti (xi ,fi), la cui espressione è: (formula d’interpolazione di Lagrange; verificare per es. che pn(xi)= fi, i=0,1,...,n.) Nota: ho aggiunto il pezzo da “che si scrive compattamente...” a fine pagina. che si scrive compattamente come avendo posto (funzione moltiplicatirce di Lagrange).

L’espressione di Lagrange si ottiene dall’espressione polinomiale pn(x)=c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)(x-x1)+···+cn (x-x0)(x-x1) ···(x-xn), determinando (ricorsivamente) le costanti ck tramite l’imposizione che pn(x) assuma i valori fk in xk, k=0,1,...,n. Se f(x) è continua insieme, almeno, alla (n+1)-esima derivata nell’interv. Int(x,x0,x1,...,xn) (che è per def. il minimo interv. contenente x,x0,x1,...,xn), si può verificare che il resto (errore) della formula di Lagrange è: Nota: ho aggiunto “(ricorsivamene)” dove  è un punto (incognito) in int(x,x0,x1,...,xn). Si noti che l’espr. data è simile al resto di uno sviluppo di Taylor (uguale, se x0=x1=···=xn). Possiamo ora valutare l’err. di troncamento della formula trapezoidale nel generico intervallo [xi,xi+1] semplicemente integrando R1(x) su tale int..

in cui [xi,xi+1] dipende da x. Poichè (x-xi)(x-xi+1)0 in [xi,xi+1], si può applicare il teor. della media: Ponendo x=xi+hit, dove hi=xi+1-xi, si ha Ricordando che l’err. della somma è la somma degli errori, l’err. di tronc. globale è dato da che, se i punti xi sono equispaziati xi+1-xi=h=(b-a)/n, diventa (applicando il teor. del val.medio)

Quindi la formula trapezoidale è localmente del 30 ordine e globalmente del 20. Es. Valutare l’errore di troncamento della formula rettangolare centrata. Si può sviluppare f(x) con la formula di Taylor attorno al punto xi+1/2 nell’intervallo [xi,xi+1] per cui il resto dell’interpol. di f(x) in [xi,xi+1] rispetto al suo valore in xi+1/2 è Perciò l’err. di troncamento della form. rettangolare nell’interv. [xi,xi+1] è

Facendo la sostituzione x=xi+ht=xi+1/2 –h/2+ht si verifica che il 10 dei 2 integrali è nullo, mentre il 20, usando il t. della media integrale, porta a per cui l’err. di troncamento globale è

Metodo di Simpson Risponde all’esigenza di avere una formula di quadratura di ordine elevato e semplice da utilizzare al contempo. In pratica, si tratta di trovare una formula che, dati 3 punti xi-1,xi,xi+1 (xi=xi-1+h) sia esatta per polinomi di più alto grado possibile. si tratta di trovare i coefficienti a,b,c Scritta la formula Per comodità poniamo i=0 e x0=0 e sviluppiamo f(x) in serie di McLaurin, per cui, per |x|h, si ha che integrata in [x-1,x1] dà

in cui i termini di potenza pari sono nulli, per simmetria, e l’ultimo termine è O(h5). Sviluppando in serie di Taylor in “avanti” e “indietro” attorno a x, si ha f(x+h)=f(x)+f '(x)h+(1/2)f '' (x)h2+(1/3!)f '''(x)h3+O(h4), f(x-h)=f(x)-f ‘(x)h+(1/2)f ''(x)h2-(1/3!)f '''(x)h3+O((-h)4), dove in O(h4) e O((-h)4) appare la derivata quarta, per cui l’espressione è esatta per polinomi fino al 30 grado. Si può quindi esplicitare f ''(x) sommando m. a m. e dividendo per h2:

Valutando l’espressione precedente in x=0 e inserendola nell’integrale si ha Da cui la formula generale, nell’intervallo [xi-1,xi+1] esatta per polinomi fino al 30 grado, che è la formula di Simpson. Si verifica che l’errore di troncamento locale è Ho cerretto csi_i nell’ultima formula (ora è csi) per cui quello globale è (il fattore 2 a dividere viene dal fatto che h=(b-a)/n, per cui ci sono n/2

intervalli [xi-1,xi+1] in [a,b]). Il metodo è quindi di ordine 4. Metodo Montecarlo La base del metodo Montecarlo è l’approssimazione di un integrale multidimensionale nel modo seguente Dove <f> è la deviazione standard della media, <f>, di f (r) valutata prendendo n punti distribuiti a caso nel dominio di integrazione, di volume V. Tale deviazione standard è uguale alla deviazione standard di f , cioè ((f-f)2)1/2, diviso la radice del numero, n, dei punti usati per il campionamento:

In una dimensione, la valutazione Montecarlo dell’int. di f(x) sull’interv. [a,b] si effettua distribuendo a caso n punti (xi,yi) nel dominio rettangolare A di base [a,b] e altezza max f(x), stimando IA come dove il rapporto che moltiplica l’area di A è quello fra il numero n* di punti del campionamento che stanno entro l’area I e il numero totale di punti. Definendo la funzione k(x) come risulta I punti (xi,yi) sono indicati; nel caso in fig. xmax=b

Poichè l’ordine del metodo è h1/2 (la stima d’errore converge a zero con n-1/2) questo metodo è conveniente solo in più dimensioni, essendo facile da implementare. RADICI DI EQUAZIONI NON LINEARI Per quanto riguarda le equazioni algebriche, ricordiamo il teorema di Abel-Ruffini: non è possibile esprimere sotto forma di radicali le soluzioni di equazioni algebriche superiori al 40 grado. Il problema di trovare approssimazioni numeriche alla soluzione di un’eq. del tipo f(x)=0 riguarda quindi non solo espressioni trascendenti di f(x) ma anche il caso in cui f(x) è un polinomio Pn(x) con n>4. Esamineremo alcuni metodi classici per trovare tali approssimazioni. Banalmente, la prima approssimazione possibile è quella che si ottiene da una tabulazione della funzione, di dato passo h, a partire da un punto x0 .

E’ chiaro infatti che se si opera una tabulazione f(x0+ih), i=0,1,2,... e si ha a un certo punto f(x0+ih)·f(x0+(i+1)h)<0, una radice di f(x) è certo in ]x0+ih,x0+(i+1)h[. Si può quindi prendere come approssimazione della radice incognita la quantità, di modo che Si può procedere analogamente per cercare altre radici. Si può al contempo ridurre l’errore semplicemente riducendo il passo quando si trova l’intervallo [xi,xi+1] entro cui è la radice, ritabulando lì dentro con h/2 o meno. Con l’accresciuta potenza dei calcolatori tale metodo naif è valido perchè ovviamente semplicissimo da implementare. Vediamo ora qualche metodo più sofisticato.

Metodo della bisezione Supponiamo che f(x) sia continua e che a0 e b0 siano tali che f(a0)·f(b0)<0 (se f(a0)· f(b0)=0 allora o a0 è radice o lo è b0 o lo sono entrambe) per cui Ipotizziamo, inoltre, che la radice sia semplice,cioè È possibile costruire una successione di intervalli {In} tale che In+1 In tutti contenenti la radice, per cui: Lo schema di costruzione degli {In} è chiaro dalla figura

Si procede così: sia I0=[a0,b0], con f(a0)<0 e f(b0)>0. Prendiamo il punto di mezzo di I0, m0= a0+(b0-a0)/2=(a0+b0)/2; I1 si costruisce così: se f(m0)<0 allora I1=[m0,b0], se f(m0)>0 allora I1=[a0,m0], e così via, per cui il generico Ik è Chiaramente f(ak)<0, f(bk)>0 (se no si è trovata la radice ak o bk) e Dopo n passi si ha mis(In)=(bn-an)=(bn-1-an-1)/2=(bn-2-an-2)/2/2= =···=2-n(b0-a0)= 2-n mis (I0), per cui m_n è il punto di mezzo di I_n  da cui, prendendo mn come stima di , si ha

La convergenza è quindi certa, ma lenta: poiché 10-12-3.3, ci vogliono, in media, 3,3 passi per guadagnare una cifra decimale di precisione. Si noti che la convergenza non dipende da f(x) poiché il metodo fa uso solo di sign(f(x)). Ciò é un vantaggio da una parte, ma costituisce al contempo il limite del metodo perché non se ne può sveltire la convergenza non utilizzando proprietà della f(x) nè delle sue derivate. Metodo della tangente (o di Newton-Raphson) Questo metodo si basa su una stima iniziale, x0, della radice e sull’ approssimazione locale della funzione tramite la retta tangente in (x0f(x0)). L’intersezione di tale retta con l’asse x dà una stima successiva x1, e così via (il metodo é iterativo). Il procedimento per determinare x1 è:

i) Si scrive l’espress. della tangente alla curva in (x0, f(x0)) ii) se ne trova l’intersezione x1 con l’asse x (cioè si trova la radice di y(x)) iii) si generalizza il procedimento, ottenendo la successione {xn} iv) si possono fermare le iterazioni quando |hn|=|xn+1-xn|<, dove  è la tolleranza prescelta. Il met. di N-R è un esempio di metodo iterativo (vedi iii)).

Esaminiamo le proprietà di convergenza del metodo di Newton-Raphson, ipotizzando f(x)C2[a,b]. _ _ _ Se x è radice semplice, allora f‘(x)0 e f '(x)0 in tutto un intervallo I(x). _ Se n=xn-x è l’errore all’n-esimo passo si ha  per cui cioè _ quindi per xnx: che vuol dire che, vicino alla radice, l’errore (per passo) scala col quadrato dell’errore al passo prec. (n+1n2): il metodo è detto “del 20 ordine”.

Il concetto di ordine di un metodo iterativo si generalizza così: _ _ • Sia {xn} una successione che converge a x e sia n=xn-x; se esiste un numero p e una costante C0 tali che allora si dice che p è l’ordine di convergenza della successione e C è la costante asintotica di errore.

Metodo iterativi: generalità Un metodo iterativo è quello per cui xn+1 è dato da una funzione dipendente da una m-pla di valori precedenti xn cioè tale che: xn+1=(xn,xn-1,xn-2,...,xn-m+1) dove  è chiamata funzione d’iterazione. Nel met. di Newton-Raphson si ha (xn)=f (xn)/f´(xn) (m=1); nel met. della secante, si ha (xn,xn-1)=f (xn)(xn- xn-1)/(f(xn)-f(xn-1) (m=2). Ovviamente la teoria più semplice si sviluppa per m=1: xn+1= (xn) (iterazione a 1 punto). _ Supponiamo che {xn} converga a x. Se  è continua allora per cui é un punto fisso di  , cioè é radice di F(x)x-(x). Quindi, data la funz. f(x) di cui si cercano le radici, si può provare a scriverla come f(x)=x-(x) per definire il metodo iterativo xn+1= f(xn)=xn-(xn) augurandosi che converga al punto fisso di (x), che

che sarebbe radice di f(x). Es. Sia f(x)=x3-x-5. E’ possibile scrivere f(x)=0 in vari modi nella forma x=(x): i) x=x3-5=1(x); ii) x=(x+5)1/3=2(x); iii) x=5/(x2-1)= 3(x). Si possono quindi definire 3 metodi iterativi: xn+1=1(xn); xn+1=2(xn); xn+1=3(xn). Se convergono, allora convergono alla radice di f(x), ma non è detto che convergano. Si può verificare che la convergenza è assicurata se |´(x)|<1 in un intorno della radice contenente x0 e x1 (vedi figura). Se |´(x)|1la convergenza c’é solo in casi molto particolari, anche se x0 é già molto vicino alla radice. Nota: scannare e inserire la figura dal Dahlquist

Vale infatti il teorema: _ Ipotesi: (x) é continua, ha un punto fisso x, è derivabile e ’(x) m<1 in allora _ _ Tesi: Per tutti gli x0J, i) xnJ, n=0,1,2,... ii) lim xn=x , iii) x è il solo p. fisso di (x) in J. Dimostrazione: Dimostriamo per induzione che i) xnJ, n. Si ha per ip. che x0 J, inoltre se xn-1J allora xnJ, infatti: Il secondo passaggio della relazione in basso deriva dal teor. della media

_ La tesi ii), cioè che xn converge a x , si ottiene in virtù della catena di diseguaglianze da cui ne scende _ _ Che x sia l’unico punto fisso in J dipende dal fatto che, se y è un altro punto fisso in J, allora si avrebbe cioè un assurdo, da cui ne segue che il punto fisso è unico.

Ordine dei metodi iterativi I metodi iterativi a un punto sono di solito del prim’ordine. Se però il punto fisso è tale che la funz. iteratrice (x) ha tutte le prime p-1 derivate nulle in tal punto mentre la p-esima è diversa da zero, allora il metodo è di ordine p, come vediamo. Sviluppando (x) in serie di Taylor si ha da cui si deduce cioè che il metodo è di ordine p. E’ possibile verificare che il metodo di N-R è almeno del second’ordine perchè la funz. iteratrice (x)=x-f(x)/f(x) ha derivata prima nulla nel punto fisso.

Il second’ordine, nel metodo di N-R, è pagato dal fatto che a ogni passo bisogna valutare sia f(x) che la sua derivata. E’ possibile verificare che, in generale, si possono costruire m. iterativi di ordine elevato. Essi sono, però, più dispendiosi, perchè per avere un metodo di ordine p bisogna valutare la funzione e le sue prime p-1 derivate. Stima dell’errore Sia la successione dei valori “calcolati” col metodo iterativo (inficiati quindi da errore di valutazione della funzione e dall’errore di arrotondamento). Sottraendo m. a m. l’eguaglianza si ottiene da cui, usando il teorema della media, che porta, dopo sottraz. ad ambo

i membri della quantità a Se si ha |(n)|m<1 e |n|< n, allora ne segue: In questa maggiorazione dell’errore all’ n+1-esimo passo il primo termine dell’ultimo m. stima l’errore di troncamento, il secondo quello di calcolo delle funzioni implicate. E’ chiaro che per n grande il primo termine è trascurabile rispetto al secondo che quindi è da un certo punto dominante e impedisce una diminuzione d’errore pur al diminuire dell’errore di troncamento.

Accuratezza raggiungibile Se xn è un’approssimazione di una radice semplice, , di f(x), allora dal teorema della media f(xn)=(x-)f(), I(xn,)=J. Se ne deduce la stima d’errore indipendente dal metodo L’accuratezza entro cui si può determinare  è limitata dall’errore nella valutazione di f(x); se infatti allora, poichè al meglio si ha il valore esatto di f in xn sarà f(xn) per cui, se f(x) non varia molto attorno ad , si ha dalle diseguaglianze di sopra: dove = / f (). Quindi il miglior limite d’errore per

qualsiasi metodo è , che si chiama accuratezza massima raggiungibile per la radice . Se f () è molto piccolo allora l’accuratezza è bassa: il problema del calcolo di  è mal-condizionato.

Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali Le equazioni dl moto di un oggetto in un campo gravitazionale (pianeti, sonde interplanetarie, satelliti, stelle nelle galassie, ecc.) sono equazioni differenziali ordinarie dove la variabile indipendente è il tempo (t) e quelle dipendenti le coordinate spaziali (x,y,z). Il problema differenziale completo comprende anche l’insieme delle condizioni iniziali su posizioni e velocità (le equazioni sono infatti del 20 ordine, poichè riguardano le accelerazioni). I sistemi di eq. differenziali della meccanica costituiscono una classe di problemi detti, appunto, “ai valori iniziali”, per distinguerli da un’altra classe di problemi differenziali, che sono quelli “ai limiti” o “ai valori al contorno”. Un esempio tipico, in astronomia, di quest’ultima categoria di problemi differenziali è il sistema d’equazioni che regolano la struttura stellare in equilibrio sferico, viste in una delle prime lezioni.

Le eq. differenziali di cui parleremo sono esclusivamente ordinarie, cioè coinvolgono solo derivate rispetto a una sola variabile indipendente. Un’espressione tipica di sistema di eq. diff. ordinarie con condizioni iniziali è: dove y è un vettore a n componenti, come la funzione vettoriale f (x,y). In generale, la trattazione numerica di eq. differenziali di ordine maggiore di uno richiede la loro riscrittura in termini di sistemi di eq. diff. del prim’ordine utilizzando il fatto che un’eq. diff. di ordine n si puo’ scrivere sotto forma di n eq.diff. del 10 ordine e scrivendo l’equivalente insieme di c. in. sulle nuove funzioni incognite.

Famiglie di soluzioni dell’eq. diff. y=f(x,y) al variare della condizione iniziale y(0); notare l’evoluzione dell’errore globale, che può portare la soluzione relativa a y(0)=c1 verso quella relativa a y(0)=c2.

Vediamo come esempio l’eq. diff. d’ordine n: F(x,y,y´,y´´,...,y(n))=0 con le c.in. y(0)=y0,y´(0)=y0´,...,y(n-1)(0)= y0(n-1). La riduzione al 10 ordine s’ottiene introducendo n variabili ausiliarie (u1,u2,...,un) u nel modo seguente: u1=y,u2=y´,...,un=y(n), per cui si ottiene il sistema: Per avere una trattazione numerica dell’eq. diff., cioè una soluzione approssimata, bisogna anche esplicitare la n-esima variabile un come un=f(x,u1,u2,...,un-1), per il motivo che vedremo fra poco.

Ci sono molti metodi per risolvere numericamente eq. diff. e sistemi di eq. diff. ordinarie. Tratteremo qui metodi per la soluzione di problemi ai valori iniziali e non ai limiti. Metodo di Eulero Il metodo di Eulero (dell’800) è il più semplice e si basa sull’approssimazione della derivata prima della funzione y(x) tramite uno sviluppo di Taylor: 1) “in avanti”: y´(x0)=[y(x0+h)-y(x0)]/h+O(h) che, eguagliando a f(x0,y0), dà yn+1=yn+hf(xn,yn)+O(h2), dove l’errore (locale) è O(h2)=(1/2)y´´(n)h2 e si può stimare maggiorando y´´(x)=f´(x,y) nell’intervallo [xn,xn+1] (xn è x0 e xn+1 è x0+h) (questo é il m. di Eulero in avanti).

Il metodo di E. in avanti è esplicito, a un sol punto (one step) e localmente del 20 ordine (e quindi globalmente del 10). 2) “all’indietro”: y(x0-h)=y(x0)-y´(x0)h+(1/2)y´´()h2, da cui y´(x0)=[y(x0)-y(x0-h)]/h+O(h) che, eguagliando a f(x0,y0), dà yn=yn-1+hf(xn,yn)+O(h2). Anche questo metodo è a un sol punto e localmente del 20 ordine (e quindi globalmente del 10), però è implicito (l’incognita yn appare anche come argomento di f). Entrambi questi metodi sono molto semplici da implementare, hanno lo svantaggio di una scarsa precisione e, quello all’indietro (impicito), di richiedere la soluzione di un’equazione a ogni passo, che può essere complicata se f è non-lineare.

Un semplice miglioramento del metodo di Eulero si ottiene utilizzando 2 sviluppi di Taylor su 3 punti (xn-1,xn,xn+1) spaziati di h: yn+1=yn+y(xn)h+(1/2)y(xn)h2+O(h3), yn-1=yn-y(xn)h+(1/2)y(xn)h2+O(h3); sottraendo la seconda dalla prima rel. si ha: y(xn)=(yn+1-yn-1)/2h+O(h2), per cui, eguagliando a f(xn, yn): yn+1=yn-1+2hf(xn, yn)+O(h3) (metodo del punto di mezzo o leap-frog). Tale metodo è esplicito, a due punti (multi-step), localmente del 30 ordine (quindi globalmente del 20). Poichè il calcolo di yn+1 richiede la conoscenza di 2 valutazioni precedenti, yn-1 e yn, il metodo ha bisogno di una valutazione indipendente di y1, oltre alla condizione iniziale y0, per essere utilizzato. Normalmente tale inizializzazione avviene con un passo

di Eulero. Il leap-frog mostra “debole instabilità” come si può vedere con l’esempio dell’equazione la cui sol. è y=e-x. L’instabilità ha una possibile cura col leap-frog modificato: si inizializza il leap-frog con un passo di E., poi si usa il leap-frog fino a x+H=x+Nh (N pari; H “macropasso”). Il valore yN così ottenuto si corregge così: Per poi proseguire per altri N passi col leap-frog inizializzato da e Poichè l’errore è y(x;h)-y(x)=c1(x)h2+c2(x)h4+··· è possibile effettuare l’usuale estrapolazione di Richardson con pk=2k.

Soluzione di y´=-y, y(0)=1 col leap-frog con h=0.1 e inizializzato con 2 metodi diversi: y1=0.9 (cerchi neri); y1=0.85 (cerchi bianchi). La sol. esatta in x=0.1 è y(0.1)= con 4 dec.. Nel secondo caso si nota l’insorgere della debole instabilità.

Soluzione di y´=-y, y(0)=1 con vari metodil leap-frog con h=0.1

Proseguendo nella tratt dei sist. di eq. diff. si sottolinea che ci riferiremo per semplicità a una singola eq. diff. ma tutto ciò che si dirà vale anche per sistemi (basta sostituire il simbolo di vettore a y e f(x,y)). Per quanto riguarda l’errore, una maggiorazione dell’errore di troncamento globale si può fare in analogia con quanto visto per la formula di quadratura numerica del trapezio e del rettangolo, sommando gli errori locali fatti a ogni passo: che corrisponde al fatto che, globalmente, un metodo localmente di ordine p diventa di ordine p-1. Naturalmente, non conoscendo la soluzione esatta y(x) la maggiorazione d’errore va fatta utilizzando il fatto che y=f(x,y), per cui y= f (x,y)

che permette una stima d’errore effet- tuando la maggiorazione di f (x,y) come funzione di 2 variabili. Metodi di Runge-Kutta Sono metodi che utilizzano valutazioni della funzione f(x,y) in un insieme di punti entro l’intervallo xn, xn+h. Il più semplice di tali metodi è il Metodo di Heun (metodo di R-K del 20 ordine). Si basa su un’ approssimazione trapezoidale esplicita, cioè sull’ottenere l’approx. di y in xn+1= xn+h come dove al posto di yn+1 (che renderebbe il metodo implicito) c’è una sua approx. y(1)n+1 data da una passo di Eulero in avanti

Risulta chiaramente che tale metodo equivale alla valutazione di yn+1 come media aritmetica di 2 stime avanzate: y(1)n+1, appunto, e y(2)n+1 definita come un passo di Eulero semi-implicito: per cui: Si verifica che y(x;h)-y(x)=c2(x)h2+c3(x)h3+···+, quindi il metodo è di 20 ordine. Il più usato tra i metodi di R-K è quello del 40 ordine, definito dalla sequenza di calcoli:

Poichè, come si può verificare, si ha y(x;h)-y(x)=c4(x)h4+c5(x)h5+···+ Il metodo è del 40 ordine. Interpretazione euristica delle formule di R-K Nell’intervallo [xn,xn+1], dove xn+1 xn+h, la sol. esatta dell’eq. diff. dareb- be L’idea dei metodi di R-K consiste nell’ approssimare l’integrale usando i dati di- sponibili. Ad es., il metodo di Heun si

ricava immediatamente se f dipende solo da x. In tal caso, infatti, si può approssimare l’integrale con la formula del trapezio: che è appunto la formula di Heun per f che non dipende da y. L’errore della form. di Heun sarebbe lo stesso della formula trapezoidale se si conoscesse f(xn+1,y(xn+1)) da mettere nell’appross. dell’integrale. Poichè invece si usa f(xn+1,y(1)(xn+1)), che ha un errore locale: (dove y(xn)=f(xn,yn)) ecco che la f. di Heun ha errore che contiene tutte le potenze 2 di h, mentre quella trapezoidale contiene solo le potenze pari maggiori o uguali a 2.

Similmente, il metodo di R-K del 40 ordine si ricava immediatamente se f=f(x) approssimando l’integrale con la formula di Simpson, considerando anche il punto di mezzo tra xn e xn+1, xn+1/2xn+h/2: che è proprio l’espress. di R-K, tenuto conto che k2=k3 poichè f dipende solo da x. L’errore globale è quindi del 40 ordine, come nel metodo di S., anche nel caso generale f=f(x,y).

Metodi impliciti (predictor-corrector) Il più semplice metodo implicito è quello trapezoidale (si noti che tale metodo corrisponde alla media aritmetica fra un passo di Eulero in avanti e uno indietro, da cui il nome, anche, di m. “di Eulero modificato”). Il metodo è chiaramente implicito, in quanto yn+1 appare come argomento di f(x,y); l’espressione è quindi del tipo yn+1=F(xn,xn+1,yn,yn+1). Se, quindi, f è una funzione non-lineare si tratta di risolvere un’eq. (o un sist. d’eq.) non-lineare a ogni passo d’integrazione. Ricordando le considerazioni generali sui m. iterativi risulta spontaneo l’utilizzo di un metodo iterativo tipo

in cui l’indice iterativo è in realtà un apice (k). E’ possibile verificare che un criterio suff. per la convergenza del m. iterativo nel caso di un sistema è, in analogia col caso della singola eq. con l’usuale significato dei simboli di norma matriciale, derivate di vettori, ecc.. La convergenza è tanto più rapida quanto più piccola è la norma della matrice delle derivate della funz. vett. f(x,y). Una scelta iniziale y(0)n+1 valida e spontanea è quella di un passo di Eulero esplicito: y(0)n+1= y(0)n+hf(xn,yn). La scelta iniziale si chiama “predittore” (predictor) e la correzione iterativa “correttore” (corrector), per cui il m. implicito si chiama predictor-corrector.

La fine del procedimento iterativo può avvenire quando è soddisfatta una condizione d’errore con >0 prescelto, oppure prefissando un numero massimo, kmax , di iterazioni (la cosa migliore è la combinazione dei 2 criteri). Si noti che il metodo di Heun corrisponde alla scelta kmax=1. E’ ovvio che un buon predictor riduce il numero di iterazioni necessarie per arrivare a una buona approssimazione di yn+1. Metodo di Adams-Bashforth-Moulton Il più noto, e usato, m. predictor-corrector è quello di Adams-Bashforth -Moulton. E’ del 50 ordine localmente sia nel predictor (Adams-Bashforth)

che nel corrector (Adams-Moulton). Le espressioni sono Predictor (A-B) Corrector (A-M) Nelle espressioni di sopra fn=f(xn,yn), ecc.. Il predictor serve chiaramente a evitare che il corrector sia una complicata espressione implicita per yn+1 (yn+1 ottenuto col predictor va messo in fn+1 nel corrector). Il metodo risulta quindi globalmente del 40 ordine.

Un metodo alle differenze per un’eq. diff. del 20 ordine Eq. della forma y=f(x,y), con le c.i. y(a)=, y(a)= s’incontrano spesso in Fisica e Astronomia (le equazioni del moto sono di quel tipo, dove a primo membro c’è l’accelerazione e l’espressione a secondo membro è la legge di forza ). Naturamente una possibilità di soluzione numerica Passa attraverso la consueta riscrittura come sistema di eq. diff. del 10 ordine. Si possono usare, però, anche approssimazioni dirette (alle differenze) della derivata seconda come quella (ottenibile dalla somma m. a m. di uno sviluppo di Taylor per yn+1 e per yn-1) e della derivata prima (sempre al 20 ordine e sempre con la combinazione

lineare di 2 sviluppi di Taylor in avanti e indietro): Ne risulta il metodo (chiamato metodo centrale esplicito alle differenze) che non può essere utilizzato finchè non si elimina y-1 dall’espress. alle differenze della c.i. sulla derivata. Tale eliminazione si può fare esprimendo y-1 tramite la prima relazione del metodo scritta per n=0, ottenendo

Problemi stiff Alcuni problemi differenziali sono tali da essere intrinsecamente difficili da risolvere numericamente in maniera affidabile. Questi problemi sono detti stiff (rigidi, difficili). Vediamone alcuni esempli. L’eq. y=100y ha soluzione esatta y(x)=c1e10x+c2e-10x. L’esponenziale crescente è assente quando le c.i. sono y(0)=1 e y(0)=-10. In tal caso c1=0, c2=1 e la sol. è y(x)=e-10x. Applicando al problema detto i metodi numerici precedentemente visti si verifica però che la soluzione dopo un po’ invece di convergere a zero esplode positivamente o negativamente con andamento e10x, come se c1 fosse diverso da zero. Il motivo è la transizione, per errore di arrotondamento, dalla soluzione “esatta” corrispondente alle c.i. date a una adiacente che corrisponde alla generale c. lineare dei 2 esponenziali.

Per capire meglio la cosa si suggerisce per es. di studiare il problema perturbato y=100y, y(0)=1 e y(0)=-10+, la cui sol. è y(x)=( /20)e10x+(1-  /20) e-10x, che corrisponde, in pratica, all’effettiva soluzione numerica del problema. Un altro tipico problema stiff è quello della presenza di “scale temporali multiple” nella soluzione, come si può vedere con l’esempio del sistema: La sol. del sistema si ottiene ponendo u=2y-z e v=-y+z, sostituendo e sommando m. a m. e moltiplicando la 2a eq. per 2 e poi sommando m. a m.

Il sistema si disaccoppia in cioè: Nelle sol. ci sono due componenti esponenziali che decadono entrambe ma con “tempi di decadimento” molto diversi, una delle 2 avendo un “tempo di decadimento” 1000 volte più grande. Questo vuol dire che un metodo numerico esplicito per essere accettabile deve usare un passo che sia in grado di seguire la soluzione più rapidamente variabile. Poichè una ragionevole scelta del passo si ottiene richiedendo che tra n e n+1 l’incremento relativo di y sia inferiore a una costante  prefissata: ecco che nell’esempio sopra dato il passo risulta hn+1=min(1,1/1000)

con ovvio sovraccarico di calcoli, che implica lungo tempo d’attesa e aggravio nell’errore accumulato di arrotondamento e troncamento. Qunado ci sono problemi stiff, instabili, è opportuno ricorrere a metodi impliciti. Vediamo, infatti, che il metodo esplicito di Eulero soffre di instabilità per h grande nel caso di un’ eq. tipo y=-cy, c>0. In tal caso il m. di E. esplicito dà: yn+1=(1-ch)yn. Tale metodo diverge se |1-ch|>1, cioè (essendo c e h>0) se ch>2  h>2/c, mentre la sol. esatta converge a zero. Il metodo di E. implicito applicato all’eq. y=-cy dà invece yn+1=yn/(1+ch) che risulta stabile perchè converge a zero anche se h è grande (se però si usa h grande la soluzione può essere molto poco accurata anche se tende correttamente a zero per x grande). Anche il metodo del trapezio (implici-

to del 20 ordine) è stabile, se applicato all’eq. sopra scritta. Infatti dà e quindi yn+1 converge a zero. Tutte queste considerazioni permangono valide per sistemi di eq. diff. lineari del tipo y=-Cy, dove C è una matrice definita positiva, e anche per sistemi y=f(x,y), dopo linearizzazione di f(x,y). Controllo del passo d’integrazione Un’integrazione accurata e sufficientemente rapida richiede controllo e modifica del passo h. Una possibilità è il controllo e modifica precedente-

mente visti, che consistevano nell’ utilizzare (per avanzare la soluzione da xn a xn+1) un passo, hn+1, che fosse abbastanza piccolo da limitare la Variazione relativa di y tra yn e yn+1 ottenibile con un passo di Eulero in avanti. Tale metodo è grossolano ma semplice da implementare. Un controllo forse migliore è quello che viene dalla scelta di un passo h che limiti l’errore per passo a un valore prefissato. Esso si basa su una scelta di h e sulle valutazioni y(1)n+1 e y(2)n+1 a xn+1=xn+h ottenute, rispettivamente, con un passo h e con 2 passi h/2. Ricordando l’espressione che dà origine all’estrapolazione di Richardson si può fermare l’operazione di dimezzamento del passo quando si ha ln<h.

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