Esercizio n.15 a) Utilizzare due metodi iterativi, tra cui il Newton-Raphson, per risolvere leq. f (x) = 0 con: f (x) = x 3 + 2x 2 + 10x 20, partendo da.

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1 Esercizio n.15 a) Utilizzare due metodi iterativi, tra cui il Newton-Raphson, per risolvere leq. f (x) = 0 con: f (x) = x 3 + 2x 2 + 10x 20, partendo da x 0 = 1.5 e almeno 3 cifre decimali esatte. b) Dimostrare che il seguente criterio di convergenza vale per il metodo di Newton-Raphson applicato alla f(x) = 0 del punto precedente, x 0 [1,2]. Se x [a,b]: f (x) 0 e f (x) non cambia segno e se f (a)f (b)<0, allora: se allora il metodo di Newton-Raphson converge partendo da un qualunque x 0 [a,b] (vedi pag. 225, teor. 6.3.2)

2 Soluzione n.15a f (x) = x 3 + 2x 2 + 10x 20; f (x) = 0; x 0 = 1.5 Metodo di Newton-Raphson

3 Soluzione n.15a f (x) = x 3 + 2x 2 + 10x 20 La f (x) = 0 si può scrivere come x = F(x) in tanti modi, per esempio: 1) x = (20 x 3 2x 2 )/10 F (x) = (3x 2 + 4x)/10 ; 2) x = x/2 + (20 x 3 2x 2 )/20 F (x) = 0.5 (3x 2 + 4x)/20. Scritta come in 1) non garantisce la convergenza del metodo iterativo perchè |F (1.5)| > 1, mentre la F(x) del caso (2) ne assicura la convergenza in un intorno di 1.5, poichè |F (1.5)| < 1 Verifichiamolo! Risoluzione iterativa della x = F(x)

4 Soluzione n.15a caso 1) F(x) = (20 x 3 2x 2 )/10 Risoluzione iterativa della x = F(x) caso 2) F(x) = x/2 + (20 x 3 2x 2 )/20 converge a 1.3688 + 0.00005 non converge!

5 Soluzione n.15b b) dato che f (x) = 3x 2 + 4x + 10 non si annulla per x, f (x) = 6x + 4 non cambia segno in [1,2] e f (1)f (2) < 0, allora le condizioni preliminari per la validità del criterio sono valide. Dunque valutiamo: | f (1) /f (1)| = 7/17 < 1 | f (2) /f (2)| = 16/30 < 1 quindi in questo caso il metodo di Newton-Raphson converge partendo da un qualunque x 0 [1,2]