Rappresentazione Spettrale Se nellintervallo [t 1, t 2 ] è possibile definire un insieme di funzioni [u 1,u 2,u 3 ….u n ] mutuamente ORTO-NORMALI : Cioè

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1 Rappresentazione Spettrale Se nellintervallo [t 1, t 2 ] è possibile definire un insieme di funzioni [u 1,u 2,u 3 ….u n ] mutuamente ORTO-NORMALI : Cioè ORTOGONALI : (u,v) = 0 e a NORMA unitaria : Allora un qualsiasi segnale s(t) di H si può sviluppare in serie di Fourier generalizzata : Serie di Fourier Generalizzata I Coefficienti c i sono i Pesi della corrispondente funzione In quanto le funzioni u i sono orto-normali Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Per identificarli occorre moltiplicare scalarmente (s,u k ) la funzione s(t) per la k-esima base : s(t)

2 Se Sono funzioni Armoniche : s(t) si dice che è RISOLTA nel suo SPETTRO Perché armoniche ? 1. Sono Invarianti rispetto alle Trasformazioni effettuate dai SISTEMI LINEARI Cambia solo Ampiezza e Fase Funzioni periodiche s(t) = s(t + nT ) con T periodo e con n = ±1, ±2, ±3,……in [-, ] t Cambia Tutto Diversamente Armoniche 1 : pulsazione fondamentale = 2 /T Funzioni di BASE : Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Perché Autofunzioni di un Sistema Lineare

3 Un vettore s(t) si può allora rappresentare in Serie di Fourier : I Coefficienti, a,b, si calcolano, come visto, moltiplicando scalarmente il vettore s(t) per la n-sima armonica Semplificazioni : Se il segnale è una funzione PARI [ s(t) = s(-t) ], TUTTI i termini dello sviluppo che contengono la funzione armonica SENO (dispari ), si annullano (il prodotto di una funzione pari, s(t), per una dispari E dispari, quindi integrata in un intervallo simmetrico [ -T/2, T/2 ] è NULLA), i coefficienti b n = 0 1. Lo sviluppo si riduce a : 2. Analogamente se la funzione è DISPARI, [s(t)= -s(-t) ], TUTTI i termini che contengono la funzione Armonica COSENO (pari) si annullano, e quindi i coefficienti a o = a n = 0. Lo sviluppo si riduce a : Serie di Fourier Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

4 Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato. La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante. Esempio : Utile per considerare limportanza dellampiezza delle armoniche nella ricostruzione del segnale Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

5 Esempio : Utile per considerare limportanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale, in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge). Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato. La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi