1 Esempio : Utile per considerare limportanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale, in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing.

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1 1 Esempio : Utile per considerare limportanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale, in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge). Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato. La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

2 2 Serie di Fourier Complessa Riscrivendo lo Sviluppo in Serie di Fourier con le formule di Eulero : si ottiene :,... dopo una serie di semplici passaggi algebrici si può riscrivere la serie in una forma Complessa di maggiore significato (per chiarimenti vedere gli appunti) Re Im un Vettore Re somma di due fasori di ampiezza ½ ruotanti in verso opposto con la stessa velocità angolare 1 Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

3 3 Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

4 4 1 1 c -1 c1c1 coco o 1 1 c2c2 c -2 c3c3 c -3 1 1 § § C+C+ C-C- C + = c 1 + c 2 + c 3 +…….. C - = c -1 + c -2 + c -3 +…….. ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE C + + C - ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE Re Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

5 5 Consideriamo un impulso s(t) qualsiasi di durata finita. Trasformata di Fourier Supponiamo che ad esso siano associati, in modo virtuale, altri impulsi identici ricorrenti con periodo T Allora possiamo rappresentare s(t) attraverso la serie in armoniche di Fourier con i coefficienti Facciamo alcune semplici posizioni :Prima armonica:; n-sima armonica : intervallo unitario : ; allora ( n ) : e la s(t) diventa : Se ora torniamo alla realtà, cioè allimpulso, dobbiamo far tendere T d, n, n ) ) CnCn s(t) ) otteniamo la Coppia di Trasformate : limpulso s(t) e la corrispondente densità spettrale ) Trasformata Antitrasformata che Collegano i due mondi del tempo e delle frequenze Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Trucco matematico di un fisico Fine del trucco

6 6 La trasformata e l' antitrasformata ci permettono di trasformare delle funzioni e/o segnali dal dominio delle frequenze [ ] a quello del tempo [t] e viceversa. Queste espressioni hanno senso preciso solo se: ed è finito. In questo caso la trasformata è: 1) Continua 3) Nulla all'infinito per ± 2) Limitata e vale l'identità di Parseval: Quando è necessario, per esempio se un modello è difficile da trattare in un dominio, tramite loperazione di trasformazione di Fourier si può cambiare dominio. La rappresentazione nel dominio di, cioè la rappresentazione spettrale del segnale, offre un approccio molto significativo nell'analisi della risposta in una larga fascia di sistemi usati, in generale nell'elettronica, in particolare nelle telecomunicazioni. Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

7 7 Spettro di un impulso rettangolare Sia s(t), un segnale con ampiezza A e durata in [- /2, /2] il cui M. M. è : Ponendo / 2 si ha: Esempio s(t)= A[ (t- /2) - (t+ /2)] Il suo spettro, ovvero la sua trasformata F sarà : Ricordando Eulero S( ) = F [ s(t) ]

8 8 Esempio: Esempio:Trasformata di Fourier di una funzione Impulsiva con Modello Matematico s(t) = (t+ /2) – (t- /2) 1. Utile per mettere in evidenza la trasformata della (t) = cost. ( ad una durata infinitesima in t corrisponde una larghezza infinita in 2. Utile per mettere in evidenza il prodotto banda x durata. Assumiamo che la frequenza massima limite di uno spettro sia quella per cui si ha il " primo " zero nel rapporto |S( )| m / |S(0)|= 0 che si ha per : = /2 ossia in termini di frequenza = 2 f /2 ; 1=f Allora si ha la seguente relazione di indeterminazione: f up = 1 Il prodotto banda * durata è una costante e dipende solo dalla forma dell'impulso. Quindi, ad esempio, la (t) che ha una durata infinitesima, ha una banda infinita Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

9 9 Proprietà della parte reale e della parte immaginaria dello spettro Poiché la funzione del tempo t la sua Trasformata : gode della proprietà che la sua parte è una funzione pari è una funzione dispari e quella In generale il suo spettro sarà rappresentato da una funzione complessa: Facciamo ora l anti - trasformata cioè ricaviamo la s(t) : affinché Queste condizioni sono verificate se: A( ) è pari (infatti il seno è una funzione dispari) B( ) è dispari (infatti il coseno è una funzione pari) 1.La parte reale A( ) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A( ) = A(- ) 2.La parte immaginaria B( ) è una funzione dispari della frequenza. B( ) = -B(- ) : dimo

10 10 Spettro di un segnale esponenziale Sia s(t) per > 0 il M. M. del segnale. Calcoliamo il suo Spettro S( ) C'è da notare che: 1. Lo spettro va a zero solo per 2. Lo spettro è una funzione complessa: Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Studio RC Spettro exp La parte reale A( ) dello spettro è una funzione pari della frequenza. A( ) = A(- ) La parte immaginaria B( ) è una funzione dispari della frequenza. B( ) = -B(- )

11 11 Spettro della derivata di un segnale Sia s(t) un segnale e supponiamo che esista la sua trasformata e sia S( ), calcoliamo la sua Risolto per parti, si vede che l'integrale si riduce a due termini: il primo svanisce per t ± in quanto s(t) 0 per la condizione di integrabilità del segnale s(t) Spettro dell' integrale di un segnale Basta osservare che: In seguito ad una operazione di differenziazione il segnale, nel dominio del tempo, diventa più "rapido", come conseguenza lo spettro della derivata ha maggiori valori nella regione delle alte frequenze. Esempio : = Quindi : Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

12 12 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro di un segnale traslato Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S( ) La sua trasformata sarà: Ponendo: x = t - to ; allora dt = dx si avrà: Poiché Questa informazione è contenuta nel fattore di fase. Prendiamo un segnale traslato nel tempo della quantità t o le ampiezze delle armoniche sono indipendenti dalla posizione nel tempo del segnale :

13 13 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Dipendenza dello spettro da un fattore di scala temporale Supponiamo che il segnale s(t) sia soggetto ad una trasformazione della scala dei tempi ( compressione o espansione ) ossia t kt con k ε R Se k > 1 si ha compressione e se 0 < k < 1 si ha dilatazione Allora se t kt segue che s(t) s(kt) e il suo spettro Ponendo: x = kt ; dx = k dt, si ha: cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che mantiene la stessa forma, distribuisce le stesse componenti spettrali su un intervallo più esteso di frequenze con una ampiezza minore ( S/k) Compressione k > 1 Dilatazione k < 1 Stringendo temporalmente, si allarga lo Spettro Le Ampiezze dello Spettro, sono Minori Allargando temporalmente, si restringe lo Spettro Le Ampiezze dello Spettro, sono Maggiori

14 14 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Spettro del prodotto ordinario di due segnali Siano u(t) e v(t) i segnali in t e U ( ), V ( ) i rispettivi spettri. Sia s(t) = u(t) v(t) il loro prodotto ordinario. Lo spettro sarà : sostituiamo, al posto di v(t), la sua Anti Scambiamo lordine di integrazione Riscriviamo lo spettro : Integrale del Prodotto di Convoluzione Lo spettro del prodotto ordinario tra i segnali u(t) x v(t) è = al prodotto di convoluzione degli spettri U( ) * V( ) il prodotto ordinario tra gli spettri U ( ) x V ( ) è = al prodotto di convoluzione dei segnali u(t) * v(t) Ed è anche vero il teorema reciproco che Concludiamo delle funzioni V ( ) e U ( ) che si indica anche V ( ) * U( )

15 15 Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi Una interessante conseguenza di questo è il teorema della convoluzione. Per dimostrarlo riscriviamo in modo sintetico indicando con la trasformata di Fourier F, il teorema già dimostrato: se s(t)= u(t)v(t) se ora facciamo la trasformata (anti) dell'espressione precedente, otteniamo: se al posto delle due funzioni del tempo u(t)v(t), sostituiamo le loro trasformate F -1 otteniamo è ovviamente possibile dimostrare, ed è valido, il teorema inverso: L'importanza di questo teorema è enorme in quanto molti processi fisici si presentano come convoluzione di altri e quindi tramite l'applicazione di questo teorema è possibile risalire ai processi primari. Questo metodo è noto come deconvoluzione (unfolding) delle componenti la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione è equivalente al prodotto ordinario delle trasformate F [U( ) * V( )] F [U( )] F [V( )] x

16 16 Spettro della (t) Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo. Il suo spettro S( ), ovvero la sua trasformata, sarà: Abbiamo già visto le proprietà di " filtro " della (t) L'integrale è uguale al valore della funzione nel punto in cui la (t) è "concentrata In questo caso a t = 0 Quindi S( ) = A La trasformata di Fourier di una - function è una funzione indipendente da Il suo spettro ha una larghezza infinita con tutte le frequenze con la stessa ampiezza A [ -, + ] Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

17 17 Spettro di un impulso " armonico" Spettro di un esponenziale complesso Spettro di una costante Spettro di una armonica Spettro di un segnale arbitrario periodico Spettro della funzione di Heaviside (t) Spettro di segnali non integrabili Spettro della (t