Alberi ricoprenti minimi Alcune applicazioni Lunedì 17 novembre 2003.

Presentazione sul tema: "Alberi ricoprenti minimi Alcune applicazioni Lunedì 17 novembre 2003."— Transcript della presentazione:

1 Alberi ricoprenti minimi Alcune applicazioni Lunedì 17 novembre 2003

2 Problema Dato un grafo G = (V, E) e una funzione di costo c: E R, determinare un sottografo T(U,X) ricoprente (U = V), connesso e aciclico (albero) di costo minimo Minimum Spanning Tree problem (MST) Istanza: Grafo G = (V,E) con n = |V|, m = |E| Funzione di costo c e : E R con e = [v,w] E Esempio Progettare una rete di comunicazione che colleghi n luoghi a costo minimo 1 5 2 3 4 1 2 2 6 5 3 4 4 2 n = 5

3 Ogni città deve far parte della rete sottografo ricoprente (che contiene tutti i vertici) Ogni coppia di città deve poter comunicare sottografo connesso Non devono essere presenti collegamenti superflui sottografo aciclico Proprietà richieste alla soluzione: 1 v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v4 2 2 6 5 3 4 2 4 v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v4 1 2 2 6 5 3 4 2 4 v1v1 v5v5 v2v2 v3v3 v4v4 1 2 2 6 5 3 4 2 4

4 Unapplicazione genetica Memorizzare in forma compatta un insieme di n stringhe binarie di uguale lunghezza Per ogni coppia di stringhe [i,j] è nota la distanza (quali e quanti bit commutare per convertirle una nellaltra). d 12 = 4 Per esempio

5 Unapplicazione genetica Si costruisce un grafo G(V,E) in cui i vertici sono le stringhe, i lati le differenze Si sceglie arbitrariamente una stringa di riferimento Si esprime ciascuna stringa come variante di unaltra (elencando le differenze) Si descrive linsieme di stringhe con lalbero ricoprente minimo 1 2 3 4 5 6 Stringa di riferimento 1) 011100011101 Albero ricoprente minimo lati differenze lati differenze (1,6) 3,6,12(1,3) 1,3,7,10 (3,5) 2,10(4,5) 3,4,6 (2,4) 4,7,10

6 Diffusione ottimale di un messaggio (optimal message passing) E data una rete di comunicazione G = (V, E) ove i lati [i, j] E indicano quali coppie di elementi possono comunicare direttamente. Si conosce la probabilità p ij, 0 p ij 1, di intercettazione di un messaggio lungo ogni lato [i, j] E Come trasmettere a tutti gli elementi un messaggio segreto minimizzando la probabilità che sia intercettato? Problema

7 Minimizzare la probabilità di intercettazione (lungo uno o più lati) Massimizzare probabilità di non intercettazione su alcun lato diffusione verso tutti i nodi ricopertura e connessione alla radice evitare ridondanza e ridurre la probabilità di intercettazione aciclicità T è un albero ricoprente

8 Applicando allobiettivo una funzione monotona crescente, non cambiano le soluzioni ottime (cambia solo il valore) Es: log(.)