F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica

Presentazione sul tema: "F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica"— Transcript della presentazione:

1 F U N Z I O N I Definizioni Tipi Esponenziale Logaritmica
Trigonometriche inverse Iperboliche Campo di esistenza Trasformazioni Zero di una funzione Riassunto

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5 Tipi di intervallo

6 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni:

7 Intorno. Il concetto di intorno di un punto è usato per indicare intervalli costituiti da punti "molto prossimi al punto": Analogamente la nozione di intorno di infinito indica punti "molto lontani" dall'origine. Si chiama intorno completo di un punto x0 un qualsiasi intervallo aperto contenente il punto. Se 1=2 allora si ha un intorno circolare. Intorno destro se il punto x0 è l'estremo sinistro. Intorno sinistro se il punto x0 è l'estremo destro.

8 Un insieme numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero k t.c. ogni elemento dell’ins. è < o al più = a k. Il numero k è un maggiorante di A. … inferiormente limitato … … è > o al più = a k. Il numero k è un minorante di A. … limitato … Sia inferiormente che superiormente. Dato un ins. numerico non vuoto A, si dice estremo superiore, Sup A, dell’ins. il più piccolo dei maggioranti. … estremo inferiore … Inf A … il più grande dei minoranti.

9 Si dice che un numero c di un ins. num
Si dice che un numero c di un ins. num. A è isolato, se esiste un I(c) che non contiene altri punti dell’ins. A. Si dice che un numero c, che può anche non appartenere all’ins. A, è di accumulazione per A, se in ogni I(c) esiste almeno un elemento di A distinto da c. Se c è di accumulazione per A, in un qualsiasi I(c) vi sono infiniti elementi di A. L’ins. C è illimitato superiormente se fissato un punto M > 0 esiste almeno un punto appartenente a C t.c. x > M L’ins. C è illimitato inferiormente se … x < - M Estremo sup. (o inf.) della f(x) l’estremo sup. (o inf.) di C. Massimo (o minimo) assoluto della f(x) il max (o min) di C.

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16 Definizione di zero di una funzione
Data una funzione di equazione y = f(x) si dice che un numero reale c è uno zero della funzione, se è f(c) = 0. Equivale a trovare le soluzioni dell’equazione f(x) = 0. Equivale a risolvere il sistema: Quindi determinare le intersezioni del grafico con la retta di equazione y = 0 (asse x).

17 Risoluzione grafica Si deve utilizzare il metodo grafico quando non si può risolvere l’equazione. Stabilire se esistono le soluzioni e per ogni soluzione determinare un intervallo, solitamente unitario, che contenga la soluzione. Gli estremi di tale intervallo sono da considerarsi una approssimazione, per difetto e per eccesso, della soluzione. Esempio.

18 Metodo di bisezione o dicotomico
E’ intuitivo che: SE una funzione definita in [a,b] con f(a) e f(b) di segno opposto, ALLORA esiste almeno un punto c in [a;b] t.c. f(c) = 0. Con f(a) . f(b) < 0 la funzione ha almeno uno zero in [a;b]. Consideriamo nuovamente la funzione precedentemente usata: Nel caso in cui l’equaz. f(x) = 0 in [a;b] abbia più di una soluzione il metodo permette di determinarne una sola.

19 Metodo di bisezione o dicotomico
f(1) = -1, f(2) = 5 loro prodotto negativo, allora una soluz. punto medio di [1;2] = 1,5 f(1,5) = 0,875, discorde con f(1) in [1;1,5] si avrà 1 < c < 1,5 punto medio di [1;1,5] = 1,25 f(1,25) = -0,296 discorde con f(1,5) in [1,25;1,5] si avrà 1,25 < c < 1,5 . . . 1, < c < 1,328125 c = 1,32…

20 Metodo di bisezione o dicotomico
Generalizzando: si deve costruire una successione di approssimazioni per difetto e una success. di approssimaz. per eccesso della soluz. 1) 2) se f(m) ha lo stesso segno di f(an) si pone: an+1=m e bn+1 =bn 3) se f(m) ha lo stesso segno di f(bn) si pone: an+1=an e bn+1 =m 4) se f(m) = 0, m è la soluz. 5) se la 4) non si verifica procediamo fino alla precisione desiderata. Grafico

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27 Dominio di esistenza di una funzione: riassunto regole.

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33 FUNZIONI INVERSE Arco seno. Arco coseno. Arco tangente.

34 FUNZIONI IPERBOLICHE Introduzione. Seno iperbolico. Coseno iperbolico.
Tangente iperbolica. Funzioni inverse.

35 Le funzioni inverse

36 Trasformazioni e grafici
Da y=f(x) a y=f(x-a) con la traslazione: x’=x+a e y’=y. Esempio. Da … a y= f(x)+b … x’=x e y’=y+b. Esempio. Da … a y=f(-x) con la riflessione rispetto all’asse y: x’=-x e y’=y. Esempio. Da … a y=-f(x) … x: x’=x e y’=-y. Esempio. Da … a y=-f(-x) con la simmetria rispetto all’origine: x’=-x e y’=-y. Esempio.

37 R I A S S U N T O x y PRIMI CONCETTI
Una funzione è un meccanismo matematico che trasforma un numero x (detto variabile indipendente) in un altro numero y (detto variabile dipendente) secondo una certa legge (in questo caso la legge è y = 3x +1 ) x y y = 3x + 1 Nel caso di questa funzione ad esempio il numero x = 2 viene trasformato nel numero y = 7 C O P I A T O

38 Definizione 2 (funzione reale di variabile reale) Se il dominio e l’insieme di arrivo sono insiemi di numeri reali allora la funzione si dirà FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE Definizione 3 (immagine di un elemento del dominio) Se all’elemento x del dominio viene associato, tramite la funzione f, l’elemento y , diremo che “ y è l’immagine di x” e indicheremo y col simbolo f(x) (si legge: “f di x”) ESEMPIO y = 3x + 1 x y In questo caso 4 è l’immagine di 1 quindi si scrive: f(1) = 4 Per lo stesso motivo si scrive: f(2) = 7 f(3) = 10 f(0) = …e così via C O P I A T O

39 CODOMINIO: ESEMPIO INTRODUTTIVO
Dato l’insieme A = { -1, 0, 1, 2, 3, 5 } l’insieme B = { -1, 0, 3, 7, 8, 24, } ed una funzione che ad ogni elemento di A associa un solo elemento di B tramite la legge: y = x2 - 1 Analizziamo le immagini degli elementi di A: Insieme delle immagini degli elementi di A Si chiamerà codominio di f ( oppure f(A) , oppure cod f ) -1 1 2 3 5 -1 3 8 24 7 insieme A insieme B C O P I A T O

40 Definizione 1 ( grafico di una funzione) Data una funzione definita nell’insieme A a valori in B , si dice grafico della funzione l’insieme dei punti del piano cartesiano del tipo ( x , f(x) ) ottenuti per tutti gli elementi x appartenenti al dominio A. Osservazione Nel grafico di una funzione non può mai accadere che due punti abbiano la stessa ascissa poiché per definizione di funzione (vedi def.1 lezione funzioni) l’immagine di ogni elemento x del dominio deve essere unica . Può essere il grafico di una funzione x y . NON può essere il grafico di una funzione x y1 y2 y3 . . x NON può essere il grafico di una funzione Graficamente quindi ogni retta parellela all’asse y può incontrare il grafico di una funzione al massimo in un punto C O P I A T O

41 x y y x y x y y y x x x SIMMETRIE NEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
ESEMPI x y y x y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’asse y x y y y Questi grafici di funzione sono simmetrici rispetto all’origine degli assi x x x C O P I A T O

42 Definizione 2 ( funzione pari, funzione dispari ) Data una funzione f definita in un insieme A simmetrico rispetto allo 0 (cioè tale che se x  A allora anche -x A per ogni x di A) se risulta : f(-x) = f(x) ,  x A allora la funzione si dirà PARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’asse y) f(-x) = -f(x) ,  x A allora la funzione si dirà DISPARI (ed il suo grafico risulterà simmetrico rispetto all’origine degli assi) Osservazione Se una funzione è pari o dispari e conosciamo il suo andamento per x [0 , + [ allora possiamo dedurre il suo andamento per x ]- , 0[ P Infatti, quando f è pari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, y0) x0 y0 . x0 . Quando f è dispari, se il punto P( x0, y0) appartiene al grafico allora vi appartiene anche il punto P’(-x0, - y0) y0 P -x0 P’ . . -y0 -x0 P’ C O P I A T O

43 y = k y = a x + b GRAFICI DI FUNZIONI ELEMENTARI C O P I A T O
FUNZIONE COSTANTE k Dominio: R Codominio: { k } Grafico: retta parallela all’asse x di equazione y = k FUNZIONE LINEARE (RETTA) y = a x + b Dominio: R Codominio: R Grafico: retta di coefficiente angolare a , inclinata verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 x y O a > 0 a < 0 C O P I A T O

44 y = a x2 + b x + c y = C O P I A T O Dominio: R
FUNZIONE QUADRATICA (PARABOLA) y = a x2 + b x + c y Dominio: R Grafico: parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y , concavità verso l’alto se a > 0, verso il basso se a < 0 a > 0 a < 0 O x x O y k < 0 FUNZIONE DI PROPORZIONALITA’ INVERSA Dominio: R – { 0 } (ovvero x  0) Codominio: R – { 0 } Simmetrie: funzione dispari Grafico: se k > 0 il grafico è nel primo e nel terzo quadrante, mentre se k < 0 il grafico si trova nel secondo e nel quarto quadrante (in entrambi i casi il grafico è una iperbole equilatera riferita agli asintoti) y = k > 0 C O P I A T O

45 . . y = a x con a > 0 , a 1 C O P I A T O Dominio: R
FUNZIONE ESPONENZIALE Dominio: R Codominio: ] 0, + [ Grafico: si trova sempre al di sopra dell’asse x ed interseca l’asse y nel punto (0,1). x y O . y = a x (a > 1) 1 Se a > quando x tende a +  anche y tende a +  ; quando x tende a -  y tende a 0 Se 0 < a < quando x tende a +  y tende a 0 ; quando x tende a -  y tende a +  x y O . y = a x (0 < a < 1) 1 C O P I A T O