Esperimentazioni di fisica 3 AA 2010 – 2011 M. De Vincenzi

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1 Esperimentazioni di fisica 3 AA 2010 – 2011 M. De Vincenzi
Traccia delle lezioni su Il Rumore nei circuiti elettrici 02/01/11

2 Rumore elettrico Nei circuiti elettrici , oltre ai segnali per i quali il circuito e’ stato progettato, sono presenti altri segnali che sovrapponendosi al segnale voluto ne degradano le caratteristiche limitando le prestazioni del circuito. Questi ``altri segnali'' prendono il nome di rumore elettrico. In altre parole diremo rumore elettrico l'insieme di tutti quei segnali presenti in un circuito diversi da quelli voluti. Un esempio di rumore elettrico si può facilmente osservare visualizzando un generico segnale con un oscilloscopio. Aumentando sufficientemente la sensibilità verticale dello strumento, si nota che la dimensione della traccia aumenta ed anche la forma del segnale perde la sua definizione diventando frastagliata ed incerta. Queste sono alcune delle manifestazioni della presenza del rumore elettrico ovvero di un segnale di tipo aleatorio che si sovrappone, sommandosi, al segnale per il quale il circuito era stato progettato. = +

3 Tipi di rumore - Interferenza
Il rumore elettrico può essere di origine endogena, quando viene generato all’interno del circuito, oppure esogena quando un segnale, esterno al circuito, interagisce con il circuito generando variazioni di tensione e corrente quasi sempre imprevedibili. I rumori di tipo esogeno sono spesso indicati come interferenze. L’eliminazione o, piu’ correttamente, l’attenuazione degli effetti delle interferenze e’ un importante capitolo della progettazione elettronica che non verrà affrontato qui. Il rumore è costituito da segnali aleatori e va quindi trattato con metodi probabilistici e statistici

4 Processi aleatori (Random)
Diversamente dai segnali deterministici, quelli aleatori non possono essere descritti da una semplice funzione matematica che assegna ad ogni istante temporale un ben determinato valore . Le previsioni sui segnali aleatori possono essere fatte soltanto a livello statistico e probabilistico. La massima conoscenza di un processo aleatorio si ha dalla conoscenza della funzione di distribuzione di probabilità (pdf) della sua ampiezza. Per molti aspetti della teoria dei processi aleatori ci si può limitare ai primi momenti della pdf. 02/01/11

5 Proprietà delle variabili aleatorie temporali
Indipendenza: Due variabili aleatorie temporali sono indipendenti se la media temporale del loro prodotto è uguale al prodotto delle loro medie temporali: Stazionarietà: Un processo aleatorio è stazionario se le sue proprietà statistiche non dipendono dal tempo. Stazionarietà al primo ordine  valori medi Stazionarietà al secondo ordine  varianze Ergodicità: Un processo aleatorio è ergodico se la media sul tempo e sulle sue realizzazioni (media di ensamble) sono identiche. 02/01/11

6 Valore Medio e Varianza
Stima del Valore Medio su N realizzazioni di un processo aleatorio. Stima della Varianza su N realizzazioni di un processo aleatorio. Per processi a media nulla si ha: La somma z di due o più processi aleatori (r,s,..) indipendenti ha varianza: 02/01/11

7 RUMORI ELETTRICI I rumori elettrici di origine endogena (interna) sono classificabili in funzione del processo fisico che li deterimina: • Rumore Termico o Johnson, messo in evidenza da Jhonson nel [Johnson], è dovuto all’agitazione termica dei portatori di carica. È un rumore bianco • Rumore Shot, messo in evidenza da Schottky [Schottky], è dovuto alla quantizzazione della carica elettrica. È un rumore bianco • Rumore 1/f o fliker noise, è dovuto a molte cause ancora non completamente spiegate. È un rumore rosa. Rumore RTS (Random Telegraph Signals) oppure RTN (Noise)

8 Rumore Termico o Johnson
In un qualsiasi conduttore a temperatura T gli elettroni (in generale i portatori di carica) sono animati di un moto browniano x Il moto delle casuale delle cariche avviene in tutte le direzioni e quindi la velocità media è nulla. La velocità quadratica media non è nulla e genera una d.d.p vn ai capi del conduttore. Ogni conduttore di resistenza R può essere considerato come una resistenza ideale con in serie un generatore di tensione di rumore: R Resistore rumoroso. ~

9 Rumore Termico o Johnson
Interpretazione di Nyquist Supponiamo di connettere due resistenze R uguali tramite una linea di trasmissione di impedenza caratteristica R. L R Potenza trasferita alla linea dalle resistenze numero di modi Per ogni modo di oscillazione kT di energia (½ campo Elettrico e ½ campo Magnetico

10 Esempio: Resistore da 100kOhm @ T=300K
Rumore Termico Formula di Nyquist Esempio: Resistore da T=300K Il valore ottenuto va moltiplicato per la radice quadrata della Banda Passante del circuito. Si noti che dalle misure di rumore termico si può calcolare la costante k di Boltzmann 02/01/11

11 Energia e spettro di potenza
dei segnali W(w)=|S(w)|2 è detto spettro di potenza del segnale s(t) Formula di Rayleigh: L’energia di un qualsiasi segnale può essere rappresentata come la somma dei contributi del suo spettro di potenza nel dominio della frequenza. Ogni (piccolo) intervallo Dw dà un contributo DE all’energia del segnale pari a:

12 Formalismo dei processi aleatori: funzione di autocorrelazione
definizione della funzione d(x) Il teorema di Wiener-Khintchine stabilisce una relazione tra due importanti caratteristiche di un processo random: lo spettro di potenza del processo e la funzione di correlazione del processo stesso. Teorema di Wiener-Khintchine: La funzione di autocorrelazione K(t) e lo spettro di potenza W(w) di un processo stazionario sono una coppia di trasformate di Fourier.

13 Rumore Shot o Granulare
Il rumore shot è una fluttuazione della corrente elettrica che si genera quando i portatori di carica attraversano, in modo indipendente l’uno dall’altro, una barriera di potenziale. . (No shot noise on metallic wires!) Tubi a vuoto Giunzioni semiconduttore t tk Tempo di passaggio dei portatori Processo Poissoniano Distribuzione di probabilità Valore medio Varianza

14 Rumore Shot o Granulare-2
La corrente può essere espressa sommando il numero N di cariche che attraversano la superficie del conduttore in un intervallo di tempo ∆t . Per eventi indipendenti N è aleatorio e poissoniano e quindi anche la variabile I (singola determinazione della corrente) è aleatoria con pdf poissoniana. Introducendo la variabile I, differenza tra la singola determinazione e il valore medio della corrente, si ha: I < I > t 02/01/11

15 Rumore Shot o Granulare -3
La corrente elettrica, nel dominio del tempo, può essere espressa con buona approssimazione come: Passiamo al dominio delle frequenze tramite la Trasformata di Fourier: La densità spettrale di energia S( f ) e’: L’energia DE contenuta in una banda di frequenza D f è Se <N> sono i portatori nell’intervallo di tempo D t : Equazione di Schottky per il rumore shot. 02/01/11

16 Rumore 1/f (flicker noise)
Il rumore 1/f messo in evidenza per la prima volta da Johnson nel 1925 è un rumore il cui spettro di frequenza ha un andamento 1/f  con  vicino ad 1. Per la forma dello spettro questo rumore 1/f viene detto“colorato” o alle volta “rosa”. La gaussianità di questo tipo di rumore, per quanto teoricamente preferita, è controversa. Il rumore 1/f è presente in un vasto insieme di fenomeni: Ampiezze delle maree Ampiezza del segnale sonoro delle trasmissioni radio ….. Il rumore 1/f in amplificatori operazionali, è stato misurato, fino a frequenze di Hz [Caloyannides 74] senza nessun cambiamento di pendenza! E’ presente in un vasto insieme di fenomeni: Ampiezze delle maree Ampiezza del segnale sonoro delle trasmissioni radio …..

17 Rumore 1/f – relazione fenomenologica
Al di sotto di qualche centinaia di Hertz in tutti i componenti attivi e in qualche componente passivo (resistori a carbone) si osserva un rumore il cui spettro è proporzionale a 1/f. L’origine di questo rumore è ancora oggetto di indagine. Un’ipotesi sulla sua origine è che sia causato dalla coincidenza di numerosi eventi di rumore telegrafico. La descrizione di questo fenomeno è fatta tramite un modello fenomenologico che fornisce la seguente espressione della densità spettrale: 02/01/11

18 Distribuzione d’ampiezza del Rumore
Il rumore ha una distribuzione d’ampiezza che per il rumore Johnson e per il rumore shot è gaussiana. pdf di tensione di rumore 02/01/11

19 SNR Rapporto Segnale Rumore
Ai segnali fisici, di qualunque natura, si somma sempre un certo livello di rumore che tende a nascondere il segnale. L’entità di questo effetto è misurata dal parametro SNR (Signal to Noise Ratio), definito come: 02/01/11

20 Bibliografia [Caloyannides 74] M.A.Caloyannides, J. App. Phys 45(1974)307 [Johnson 25] J.B. Johnson, Phys. Rev 26(1925)71 [Johnson 28] J.B. Johnson, Phys. Rev 32(1928) [Nyquist 28] H. Nyquist, Phys. Rev 32(1928)110 [Schottky] W.Schottky, Phys. Rev 28(1926)74 02/01/11