DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’

Presentazione sul tema: "DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’"— Transcript della presentazione:

1 DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’
Questa definizione è attribuibile a Laplace. Dato un Evento E si definisce probabilità il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento ed il numero di casi possibili nell’ipotesi che tutti i casi siano possibili p = n/M = numero casi favorevoli / numero casi possibili

2 la probabilità è sempre compresa tra o e 1 o tra 0 e 100%
Se p=0 evento impossibile Se p=1 evento certo Se 0 ≤ p ≤ evento casuale

3 Se per esempio lanciando un dado si vuole calcolare la probabilità che esca il numero 5:
p = 1(numero casi favorevoli) / 6(numero casi possibili)

4 DEFINIZIONE FREQUENTISTICA DI PROBABILITA’
Alcune volte non è possibile calcolare a priori la probabilità utilizzando la definizione secondo Laplace

5 Supponiamo di avere un’urna sigillata contenente alcune palline colorate rosse blu nere e verdi
Come si può calcolare la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore? Bisogna ricorre ad un esperimento cioè estrarre tante volte una pallina e calcolare la frequenza per ogni colore

6 Supponiamo di fare 80 estrazioni e di ottenere questi risultati:
colore n.palline frequenza Rosso 5 5/80=1/16 Blu 18 18/80=9/40 Nero 22 22/80=11/40 verde 35 35/80=7/16 totale 80

7 Queste frequenze calcolate sulla base dei risultati dell’esperimento sono tutti valori compresi tra 0 e 1 0 ≤ frequenza ≤ 1 Quindi queste frequenze possono essere considerate delle stime della probabilità

8 LEGGE EMPIRICA DEL CASO
Però per essere precisi ed ottenere un valore “vero” di probabilità dovrei ripetere l’esperimento tantissime volte LEGGE EMPIRICA DEL CASO Dato un Evento E, sottoposto a n prove tutte nelle stesse condizioni, il valore della frequenza tende al valore della probabilità all’aumentare del numero n di prove effettuate

9 Ci sono moltissimi eventi per i quali è impossibile calcolare la probabilità a priori utilizzando la definizione di Laplace: Per questi eventi si usa la definizione frequentistica di probabilità: La probabilità di incidenti automobilistici; La probabilità di vita o di morte La probabilità di furti

10 Riferimento bibliografico
Periodo Speranza di vita Riferimento bibliografico anni M F 35,2 35,6 Gini C. e Galvani, L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931 1889 – 02 42,6 43,0 Gini C. e Galvani, L.,Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VI, vol. VIII, Roma 1931 1910 – 12 46,6 47,3 1921 – 22 49,3 50,7 1930 – 32 53,8 56,0 Galvani L., Tavole di mortalità della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, Serie VII, vol. 1, Roma 1937 1935 – 37 - 57,5 Mirri A., Tavole di mortalità della popolazione femminile italiana , Istat, Roma 1941 1950 – 53 63,7 67,2 Giusti F., Angeloni R., Tavole di mortalità della popolazione italiana e , Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 10, Roma 1959 1954 – 57 65,7 70,0 1960 – 62 72,3 Giusti F., Tavole di mortalità per regioni e cause di morte della popolazione italiana , Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 19, Roma 1966 1964 – 67 67,9 73,4 Angeloni R., Tavole di nuzialità ( ) e tavole di mortalità ( ) della popolazione italiana, Istat, Annali di Statistica, serie VIII, vol. 25, Roma 1971 1970 – 72 68,9 74,9 De Simoni A., Tavole di mortalità della popolazione italiana , Istat, Suppl. al Bollettino Mens. di Statistica n. 6, 1976

11 IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITA’
Tale impostazione si basa sulla teoria degli insiemi Ad ogni esperimento si può associare un insieme U detto universo o spazio degli eventi i cui elementi sono tutti i possibili risultati dell’esperimento.

12 Ad esempio, se l’esperimento è il lancio di un dado, lo spazio degli eventi contiene gli elementi U={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ogni evento può essere visto come un sottoinsieme dell’insieme U tenendo conto che P(E) >=0 e P(U) = 1 1 5 6 U

13 Per esempio l’evento lanciando un dado esce un numero pari può essere rappresentato in questo modo
1 3 4 5 2. 6 U Il calcolo della probabilità dell’evento può comunque essere calcolato con la definizione classica di probabilità.

14 PROBABILITA’ TOTALE O DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO TOTALE O SOMMA quello che si verifica quando si verifica E1 o E2. E2 E1 P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) SE E1 ED E2 SONO INCOMPATIBILI ALLORA P (E1 U E2 ) = P(E1) + P(E2)

15 Esempi: Un’urna contiene 90 numeri da 1 a 90. Calcolare la probabilità che estraendo un numero: esca un numero dispari o multiplo di 4 esca un numero dispari o multiplo di 5 Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte. Calcolare la probabilità che la carta sia: un re o un sette un re o una carta di picche un asso o una carta di picche Un’urna contiene 4 palline gialle, 2 verdi, 7 bianche. Si estraggono contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità che: siano dello stesso colore almeno una sia verde.

16 4. Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilità che:
la somma sia sette o il prodotto 12 la somma sia 6 o la somma sia divisibile per 2. 5. In una scatola ci sono 12 dischetti numerati da 1 a 12. Si estrae un dischetto. Calcolare la probabilità che esca: un numero pari o un numero maggiore di 7 un numero multiplo di 5 o un numero multiplo di 3. 6. Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. si estraggono contemporaneamente due palline. Calcolare la probabilità che escano due numeri pari escano due numeri dispari escano due numeri pari o due numeri dispari escano due numeri dispari o due numeri multipli di 3.

17 PROBABILITA’ COMPOSTA O DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama EVENTO COMPOSTO O PRODOTTO quello che si verifica quando si verificano E1 e E2. P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2) SE GLI EVENTI SONO INDIPENDENTI P(E1 ∩ E2) = P(E1) · P(E2/E1) PROBABILITA’ DI E2 NELL’IPOTESI CHE E1 SI SIA VERIFICATO

18 In un urna sono presenti 5 palline bianche e 4 nere.
Si estraggono contemporaneamente tre palline. Calcolare la probabilità di avere: tre palline bianche due palline nere e una bianca. In uno scaffale sono presenti 8 cd di musica classica, 9 cd di musica rock e 7 cd di musica leggera. Si prendono consecutivamente due cd dallo scaffale. Calcolare la probabilità che: siano entrambi di musica rock siano il primo di musica classica e il secondo di musica leggera. siano uno di musica classica ed uno di musica leggera

19 Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 gialle.
Si estraggono consecutivamente due palline senza rimettere la prima pallina estratta nell’ urna. Calcolare la probabilità che esse siano: due palline rosse due palline gialle la prima rossa e la seconda gialla una pallina rossa e l’altra gialla. Nel portamonete di Luca ci sono 6 monete da 1 euro, 4 monete da 50 centesimi, 5 monete da 20 centesimi. Prendendo tre monete a caso, uno dopo l’altra (senza reimmissione), calcolare la probabilità di avere: tre monete da 50 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda e la terza da 20 centesimi la prima moneta da 1 euro, la seconda da 50 centesimi, la terza da 20 centesimi.