G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE. G. Barbaro interpolazione1 In Statistica e in genere nelle scienze sperimentali, si studiano o si osservano.

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1 G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE

2 G. Barbaro interpolazione1 In Statistica e in genere nelle scienze sperimentali, si studiano o si osservano relazioni fra grandezze

3 G. Barbaro interpolazione1 Per esempio si può pensare allo studio della relazione fra reddito e risparmio di una popolazione oppure alla relazione tra altezza e peso dei militari, ecc.

4 G. Barbaro interpolazione1 Di solito, i punti osservati si dispongono su un diagramma chiamato diagramma a dispersione:

5 G. Barbaro interpolazione1 Partendo da queste coppie di dati (x, y), si vuole determinare la funzione y = f(x) che descrive il fenomeno

6 G. Barbaro interpolazione1 Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima landamento di un insieme di punti.

7 G. Barbaro interpolazione1 Per trovare la funzione si può procedere in due modi: 1)determinare la funzione che assuma esattamente i punti (x, y) osservati (interpolazione per punti noti, o interpolazione matematica); 2) determinare la funzione che si accosti il più possibile ai punti (x, y) osservati (interpolazione fra punti noti, o interpolazione statistica).

8 G. Barbaro interpolazione1 Interpolazione MATEMATICA Calcola una funzione che passa PER tutti i punti Interpolazione STATISTICA Calcola una funzione che passa FRA i punti TIPI DI INTERPOLAZIONE

9 G. Barbaro interpolazione1 A CHE COSA SERVE ? inserimento di uno o più dati in una serie che presenta vuoti. ESTRAPOLAZIONE (valutazione di valori esterni alla serie dei dati). PEREQUAZIONE (livellazione o regolazione dei dati di una serie non regolare attraverso la sostituzione al posto dei dati rilevati, di dati ottenuti dalla funzione matematica trovata).

10 G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE MATEMATICA SI UTILIZZA QUANDO LA FUNZIONE Y=f(X) DEVE PASSARE PER TUTTI I PUNTI OSSERVATI. La scelta della funzione interpolante dipende dai casi, ma la funzione più usuale è quella espressa da un polinomio di grado pari a superiore a n-1 se i punti sono n: y= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+ a n-1 x n-1 in cui, le a sono i parametri e sono in numero uguale ai punti attraverso i quali bisognerà interpolare. Per esempio, se i punti fossero 3, la funzione sarebbe: y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2

11 G. Barbaro interpolazione1 ESEMPIO Esempio: Un insegnante deve trasporre delle valutazioni degli scritti dellesame di stato da punteggio grezzo, in formato percentuale, a punteggio finale, in 15esimi; vuole mantenere le seguenti corrispondenze: punteggio grezzo (x)punteggio finale (y) 0% 4 50% 10 100% 15 Si tratta di determinare lequazione di una funzione di secondo grado y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 in quanto i punti da interpolare sono 3: A(0;4), B(0,5;10), C(1;15).

12 G. Barbaro interpolazione1 Si costruisce un sistema imponendo le condizioni di passaggio della funzione per i 3 punti: passaggio per A:4=a 0 passaggio per B:10=a 0 + 0,5²a 2 + 0,5a 1 passaggio per C:15= a 0 + 1²a 2 + 1a 1 Il sistema, risolto, da la seguente funzione: y=-2x²+13x+4

13 G. Barbaro interpolazione1 Il polinomio interpolatore le formule di Lagrange e di Newton Supponiamo di avere n punti sul piano cartesiano, (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn). Come si può fare per scrivere una funzione polinomiale y = P(x) che passi per tutti i punti dati?

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15 La formula generale di Lagrange, scritta per esteso, è la seguente: Equazione della curva polinomiale di grado (n-1), passante per i punti (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)

16 G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE STATISTICA Mentre nella interpolazione matematica la funzione interpolante deve passare per tutti i punti sperimentali, nellinterpolazione statistica la funzione passa attraverso i punti osservati.

17 G. Barbaro interpolazione1 Linterpolazione statistica viene utilizzata quando il numero di punti sperimentali è elevato

18 G. Barbaro interpolazione1 E necessario che la funzione interpolante passi il più vicino possibile ai valori interpolati. Ci sono vari metodi per attuare ciò, ma il più usato è quello dei minimi quadrati

19 G. Barbaro interpolazione1 Questo metodo consiste nel determinare i parametri della funzione interpolante prescelta in modo che sia minima la somma dei quadrati degli scostamenti dei punti dalla funzione La condizione di accostamento è dunque la seguente: x i y i ŷ

20 G. Barbaro interpolazione1 La funzione teorica può assumere differenti aspetti RETTA PARABOLA FUNZIONE ESPONENZIALE

21 G. Barbaro interpolazione1 CASO DELLA RETTA Ŷ = bx + a i parametri da determinare sono quindi a e b Questa è una funzione a due variabili di cui occorre trovare il minimo Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca di eventuali punti critici:

22 G. Barbaro interpolazione1 Utilizzando il metodo di Cramer si giunge alle soluzioni del sistema

23 G. Barbaro interpolazione1 E evidente che è difficile memorizzare le precedenti soluzioni. Esistono allora due procedimenti che è possibile seguire: 1° procedimento Si calcola il fattore b utilizzando la formula Mentre il fattore a si può ricavare dalla seconda equazione del sistema Sono le medie delle X e delle Y

24 G. Barbaro interpolazione1 ESEMPIO XYX Yx2x2 112 1 213,5274 314,844,49 416,56616 518,29125 TOT.1575240,455

25 G. Barbaro interpolazione1 2° Procedimento Con questo procedimento si procede al calcolo delle medie dei valori sperimentali di X e Y e successivamente si calcolano gli scarti dalla media

26 G. Barbaro interpolazione1 ESEMPIO = 15/5 =3 = 125/5 = 25 XYX'Y'X'Y'X' 2 110-2-15304 217-881 3260100 4321771 540215304 tot15125007510

27 G. Barbaro interpolazione1 PERTANTO LA RETTA INTERPOLATRICE HA EQUAZIONE Y = 2,5+ 7,5 X

28 G. Barbaro interpolazione1 INDICI DI ACCOSTAMENTO Per valutare la bontà dellaccostamento tra i dati sperimentali e la funzione ottenuta con i minimi quadrati si utilizzano alcuni indici Indice lineare: Indice quadratico I valori degli indici devono essere molto piccoli inferiori a 0.1

29 G. Barbaro interpolazione1 La condizione di accostamento è la seguente: Si tratta dunque di calcolare il minimo di una funzione a tre variabili [ f(a,b,c) ]. Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca del punto critico (minimo relativo, in questo caso): CASO DELLA PARABOLA

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31 Esempio: Calcolare e rappresentare graficamente la parabola interpolante a minimi quadrati per i seguenti punti: x1246812 y9545610 Svolgimento: Conviene sviluppare i calcoli per le varie sommatorie in tabella (facilmente adattabile ad un foglio elettronico) come segue:

32 G. Barbaro interpolazione1 Si imposta e si risolve il seguente sistema ottenendo la seguente funzione y = 0,1448x² - 1,6363x + 9,1052

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34 REGRESSIONE E CORRELAZIONE In statistica spesso, nello studio delle relazioni tra due variabili, si è interessati ad accertare come varia una di queste in funzione dellaltra cioè ad individuare una opportuna funzione che metta in relazione le due variabili. Questo studio si chiama REGRESSIONE Per esempio potrebbe essere condotto uno studio tra REDDITO E CONSUMI.

35 G. Barbaro interpolazione1 REDDITO*CONSUMI* 102 152,3 182,1 202,5 222,6 252,5 303 La domanda è la seguente: esiste un legame tra le due variabili statistiche? E se esiste quanto è forte o debole questo legame? * In migliaia di euro

36 G. Barbaro interpolazione1 Qualche studente potrebbe affermare che REGRESSIONE ED INTERPOLAZIONE siano la stessa cosa. In parte è vero. Però mentre nellinterpolazione le due variabili possono anche non essere di tipo statistico(esempio anni, vendite) nella regressione lo studio viene condotto su due variabili statistiche. La CORRELAZIONE invece studia LA FORZA del legame tra le due variabili statistiche.

37 G. Barbaro interpolazione1 Lo studio della regressione e della correlazione si occupa della ricerca del legame e della misurazione di tale legame tra due variabili statistiche. Nel nostro corso si tratta della regressione e della correlazione lineare intendendo che viene ricercato tra le variabili statistiche un legame di tipo lineare Lo studio può esser condotto in due modi: attraverso la regressione ( si ricerca il legame tra le due variabili statistiche esprimendolo attraverso una funzione matematica) attraverso la correlazione ricercando la forza o debolezza di tale legame con il calcolo di un indice

38 G. Barbaro interpolazione1 Il termine regressione fu introdotto da Galton (1822-1911) a seguito di uno studio sullereditarietà dei caratteri biologici di tipo quantitativo. In particolare Galton prese in esame due variabili costituite rispettivamente dalle altezze dei padri e dalle altezze dei figli. Egli rilevò che le altezze dei figli di padri molto alti erano mediamente inferiori a quelle dei padri, o più precisamente, regredivano verso la media generale delle altezze della popolazione Galton chiamò regressione tale tendenza REGRESSIONE

39 G. Barbaro interpolazione1 In generale in statistica lo studio della regressione consiste nella determinazione di una funzione matematica che esprima la relazione tra due variabili Siano X e Y due variabili statistiche misure di due caratteri quantitativi di popolazione statistica (ex: X = Reddito e Y = Spese) La REGRESSIONE: studia come una variabile varia al variare dellaltra determina una funzione matematica che esprima come una variabile varia al variare dellaltra

40 G. Barbaro interpolazione1 Si parla di regressione lineare se la funzione è di tipo lineare Utilizzando il metodo dei minimi quadrati si determinano due rette di regressione: La retta che esprime Y come funzione della X : y = b 1 x + a 1 E la retta che esprime la X come funzione della Y : x= b 2 y + a 2 b 1, b 2 : coefficienti di regressione

41 G. Barbaro interpolazione1 Sono le medie delle x e delle y FORMULE PER IL CALCOLO : 1° procedimento

42 G. Barbaro interpolazione1 FORMULE PER IL CALCOLO: 2° procedimento

43 G. Barbaro interpolazione1 b1 E b2 HANNO SEMPRE LO STESSO SEGNO Se b 1 e b 2 sono positivi esiste un legame lineare diretto (allaumentare di una variabile aumenta laltra) Se b1 e b2 sono negativi esiste un legame lineare inverso (allaumentare di una variabile diminuisce laltra) Se esiste un legame lineare perfetto (diretto o inverso in base al segno dei coefficienti) e le due rette sono coincidenti Se b1 = b2 =0 esiste indipendenza lineare( le due rette sono parallele agli assi cartesiani)

44 G. Barbaro interpolazione1 CORRELAZIONE LINEARE La CORRELAZIONE studia quanto le variabili sono collegate fra di loro misurando lintensità del legame di interdipendenza fra le due variabili Talvolta lo studio della correlazione precede quello della regressione in quanto una variabile viene confrontata con tante altre per vedere con quale risulti più connessa

45 G. Barbaro interpolazione1 Nello studio della correlazione si procede al calcolo di un indice: r = Indice di Bravais-Pearson = dove b1 e b2 sono i coefficienti di regressione Si usa il segno + se b1 e b2 sono positivi Si usa il segno – se i coefficienti b1 e b2 sono negativi IL coefficiente r ha un campo di variazione:

46 G. Barbaro interpolazione1 Un altro modo per definire il coefficiente di Bravais –Pearson è quello di definirlo come rapporto tra la covarianza di x e y e il prodotto degli scarti quadratici medi di x e di y. Dove : covarianza s.q.m.

47 G. Barbaro interpolazione1 se r= -1 esiste una correlazione lineare perfetta negativa Le due rette sono sovrapposte(langolo tra le rette è nullo) se r= +1 esiste una correlazione lineare perfetta positiva Le due rette sono sovrapposte(langolo tra le rette è nullo)

48 G. Barbaro interpolazione1 se r= 0 esiste INDIPENDENZA LINEARE fra le due variabili