7a - 8a lezione di laboratorio

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1 7a - 8a lezione di laboratorio
Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica Ingegneria dei Sistemi Energetici a.a

2 Esercizio 1 Prova pratica del 04-09-2007
Si consideri il seguente problema di Cauchy: 1- Si verifichi che la funzione è soluzione del problema proposto e si dica, motivando opportunamente la risposta, se tale soluzione è unica, sapendo che y(x) e la sua derivata sono funzioni limitate e strettamente positive nell’intervallo [0, 2].

3 Quesito 2 2- Si costruisca un file MATLAB:
Cognome_studente_matricola.m che, una volta avviato a) faccia visualizzare una schermata con i dati personali ed una breve presentazione del problema b) determini la soluzione approssimata utilizzando il metodo di Heun ed il metodo di Runge Kutta del quarto ordine, con il passo h = 0.04; c) valuti l’errore relativo nei nodi nei due casi; faccia visualizzare una tabella riassuntiva in cui si riporti:

4 intestazione: x solH solRK errH errRK
in cui x contiene i nodi xi, presi ogni 5, solH e solRK sono le soluzioni approssimate in tali nodi, calcolate con i due metodi ed errH e errRK i corrispondenti errori relativi. Si utilizzino i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i valori dei nodi, 10 cifre decimali e formato virgola fissa per le soluzioni nei due casi, 2 cifre decimali e formato floating point per gli errori.

5 Quesiti 3 e 4 3- Si esegua una figura con 2 finestre grafiche; nella prima finestra grafica si riporti la soluzione vera (color blu) e quella approssimata ottenuta con il metodo di Heun (color rosso); nella seconda finestra grafica si riporti la soluzione vera (color blu) e quella approssimata ottenuta con il metodo di Runge Kutta (color verde). Si corredino i grafici di titolo e label. 4- Si commentino i risultati e si specifichi se essi soddisfano la aspettative teoriche.

6 Risoluzione quesito 2: variabili di input delle functions
clear all clc t0=0;tmax=2; h=0.04; n=round((tmax-t0)/h); y0=[2 2]; f1='y(2)'; f2='(1+y(2).^2).*y(2)./(1+y(1).*y(2))'; f=strvcat(f1,f2); yveras='2*exp(T)';

7 Risoluzione quesito 2: applicazione dei metodi e stampe
[T,Y1]=Heun(t0,tmax,n,y0,f); [T,Y2]=Rungekutta4(t0,tmax,n,y0,f); yvera=eval(yveras); err1=abs(yvera-Y1(:,1))./abs(yvera); err2=abs(yvera-Y2(:,1))./abs(yvera); tab=[T Y1(:,1) Y2(:,1) err1 err2]; tabr=tab(1:5:end,:); % stampa della tabella e grafici fprintf(' nodi solH solRK errH errRK \n') fprintf('%7.3f %14.10f %14.10f %10.2e %10.2e\n',tabr') subplot(2,1,1),plot(T,yvera,T,Y1(:,1),'r') xlabel('t'),ylabel('yvera -Heun') title('Soluzione vera - Heun h=0.04') subplot(2,1,2),plot(T,yvera,T,Y2(:,1),'g') xlabel('t'),ylabel('yvera - RK4') title('Soluzione vera - RK4 h=0.04')

8 Risultati quesito 2: tabella
nodi solH solRK errH errRK e e+000 e e-009 e e-009 e e-008 e e-008 e e-008 e e-008 e e-008 e e-008 e e-008 e e-008

9 Risultati quesito 3: grafici

10 Esercizio 2 Prova pratica del 30-11-2006
Si consideri il problema differenziale di Cauchy 1- Sapendo che nell’intervallo [0,1] le componenti della soluzione e le rispettive derivate fino all’ordine 3 si mantengono limitate, si dica, motivando la risposta, se il problema è ben posto.

11 Quesito 2 2- Si costruisca un file MATLAB:
Cognome_studente_matricola.m che una volta avviato: faccia visualizzare una schermata con i dati personali ed una breve presentazione del problema; b) risolva il problema utilizzando il metodo Runge Kutta del quarto ordine con i passi h1=0.1, h2=0.05 e h3=0.01; c) faccia visualizzare una tabella riassuntiva che riporti ogni 5 nodi: intestazione: nodi sol1 sol2 sol3 dove nodi sono i nodi comuni delle partizioni, sol1, sol2, sol3 sono le soluzioni numeriche ottenute con il metodo e valutate nei nodi comuni, con i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i valori dei nodi; 4 cifre decimali e formato virgola mobile per le soluzioni.

12 Quesito 3, 4 e 5 3- In una stessa figura corredata di label e titolo, si riporti la componente y(x) di ognuna delle tre soluzioni numeriche ottenute con il metodo RK4. 4- Si utilizzi l’ode suite per risolvere il problema proposto, scegliendo ode45 e riportando nella stessa figura del punto precedente, il grafico della componente y(x) della soluzione ottenuta con ode45 ( color rosso e punto). 5- Si commentino i risultati.

13 Risoluzione quesito 2 clear all clc t0=0; tmax=1; y0=[0 1 0 0 0.5];
h=[ ]; n=round((tmax-t0)./h); f1='y(2)';f2='y(3)';f3='t.^2.*y(1).*y(3)-y(1).*y(5)'; f4='y(5)';f5='t.*y(4).*y(5)+4*y(2)'; f=strvcat(f1,f2,f3,f4,f5); tab=[];s='%7.3f'; for i=1:length(n) step=round(h(1)/h(i)); [T,Y]=Rungekutta4(t0,tmax,n(i),y0,f); tab=[tab Y(1:step:end,[1,4])]; subplot(1,2,1),plot(T,Y(:,1));hold on subplot(1,2,2),plot(T,Y(:,4));hold on s=[s,' %12.4e %12.4e']; end tab=[T(1:step:end) tab];tabr=tab(1:5:end,:);

14 Risoluzione quesiti 3 e 4 function f5=fun5(t,y) f5=[y(2) y(3)
t.^2.*y(1).*y(3)-y(1).*y(5) y(5) t.*y(4).*y(5)+4*y(2)]; fprintf(' t \t\t\t\t\t sol1_h1 \t\t\t\t sol2_h2 \t\t\t\t sol3_h3 \n') fprintf([s,' \n'],tabr') [T,Y] = ode45('fun5',[t0 tmax],y0); tab=[T Y(:,:)];tab=tab(1:4:end,:); fprintf(' t solode45 \n') fprintf('%7.3f %12.4e %12.4e %12.4e %12.4e %12.4e \n', tab') subplot(1,2,1),plot(T,Y(:,1),'r.') xlabel('t');ylabel('y(t)');title('Componente y(t)') subplot(1,2,2),plot(T,Y(:,4),'r.') xlabel('t');ylabel('z(t)');title('Componente z(t)')

15 Risultati quesito 2: tabella
t sol1_h sol2_h sol3_h3 e e e e e e+000 e e e e e e-001 e e e e e e+000

16 Risultati quesito 4: tabella
t solode45 (si riportano le 5 componenti) e e e e e-001 e e e e e-001 e e e e e-001 e e e e e-001 e e e e e-001 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000 e e e e e+000

17 Risultati quesito 3: grafici

18 Esercizio 3 Prova pratica del 26-06-06
Si consideri il seguente problema di Cauchy: 1- Si verifichi che la funzione è soluzione del problema proposto e si dica, motivando opportunamente la risposta, se tale soluzione è unica, sapendo che essa e la sua derivata sono funzioni limitate nell’intervallo [1, 2].

19 Quesito 2 2- Si costruisca un file MATLAB
Quesito 2 2- Si costruisca un file MATLAB Cognome_studente_matricola.m che, una volta avviato: faccia visualizzare una schermata con i dati personali ed una breve presentazione del problema; b) determini la soluzione approssimata utilizzando il metodo di Runge Kutta del quarto ordine considerando N1=100 e N2=200 intervalli; c) valuti l’errore assoluto nei nodi; d) faccia visualizzare una tabella riassuntiva in cui si riporti: intestazione: t soluzione1 soluzione2 errore1 errore2 e, ogni 5, i nodi ti , le soluzioni approssimate ed i corrispondenti errori assoluti nei nodi coincidenti nei due casi, utilizzando i seguenti formati di stampa:

20 Quesiti 3 e 4 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i valori dei nodi, 10 cifre decimali e virgola fissa per le soluzioni nei due casi, 2 cifre decimali e formato floating point per gli errori. 3- Si esegua una figura con due finestre grafiche, una per N1=100 ed una per N2=200; in ciascuna finestra grafica si riporti la soluzione approssimata (color rosso e punto-linea) e la soluzione vera (color verde e linea continua). 4- Si commentino i risultati e si specifichi se essi soddisfano la aspettative teoriche.

21 Istruzioni quesito 2 clc clear all % Dati di input: t0=1;tmax=2;
n1=100;n2=200; y0=[17 -14]; f=strvcat('y(2)','1/8*(32+2*t.^3-y(1).*y(2))'); % Elaborazione: [T1,Y1]=Rungekutta4(t0,tmax,n1,y0,f); [T2,Y2]=RungeKutta4(t0,tmax,n2,y0,f); xvera=T1.^2+16./T1; yvera=2*T1-16./T1.^2; vera=[xvera yvera]; err1=abs(Y1-vera); err2=abs(Y2(1:2:end,:)-vera);

22 Istruzioni quesito 2 tab=[T1 Y1 Y2(1:2:end,:) err1 err2];
tab5=tab(1:5:end,:); tabella=[T1 Y1(:,1) Y2(1:2:end,1) err1(:,1) err2(:,1)]; tabella5=tabella(1:5:end,:); % Stampa della tabella: s='___________________________________________________'; disp(s) fprintf(' t \t\t\t\t y1 y2 \t\t\t\t erry1 erry2 \n') disp(s);disp(' ') fprintf('%7.3f %14.10f %14.10f %12.2e %12.2e \n', tabella5') disp(' ')

23 Istruzioni quesito 3 % Stampa dei grafici: subplot(2,1,1)
plot(T1,Y1(:,1),'.-r',T1,xvera,'g');grid on xlabel('tempo');ylabel('y1 e xvera'); title(' RK4 (n1=100)') subplot(2,1,2) plot(T2,Y2(:,1),'.-r',T1,xvera,'g');grid on xlabel('tempo');ylabel('y2 e xvera'); title(' RK4 (n2=200)')

24 Tabella risultati __________________________________________________________________________________________________ t y y erry erry2 __________________________________________________________________________________ e e+000 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 e e-010 ________________________________________________________________________________

25 Grafici

26 Esercizio 4: Moto del Battello
Si determini la traiettoria ed il tempo di attraversamento di un fiume largo 2 km, con velocità della corrente di modulo s, da parte di un battello che si muove con velocità relativa (rispetto all’acqua) di modulo v, e che, partendo da un punto a valle (o a monte) del punto di attracco, si dirige sempre verso tale punto. Si utilizzi il metodo di Eulero. Si esaminerà il caso di partenza da un punto a valle. Lo studente può studiare l’altro caso.

27 s y dx/dt V v dy/dt x A P 2 km 0.1 km s y dx/dt V v dy/dt x A P

28 Modello del problema Velocità assoluta battello:

29 [T,X,Y]=Eulero2(t0,tmax,n,x0,y0,f1,f2);
Metodo di Eulero [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f) Eulero scalare: f=strvcat(f1,f2); [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f) Eulero vettoriale: Eulero vettoriale applicato in serie: [T,X,Y]=Eulero2(t0,tmax,n,x0,y0,f1,f2);

30 Soluzione del problema e simulazione del moto
t0=0;tmax=0.5; %primo valore di tentativo y0=[2 0.1]; f=strvcat('-5*y(1)/sqrt(y(1)^2+y(2)^2)‘, ... '-5*y(2)/sqrt(y(1)^2+y(2)^2)+3'); n=50; [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); x=Y(:,1); y=Y(:,2); figure(1) axis([ ]) hold on for i=1:length(T) plot(x(i),y(i),'*b') %*=simbolo,b=blu pause(0.30) end hold off title([' Traiettoria del battello - tmax = ' num2str(tmax)]) xlabel(' X [km]');ylabel(' Y [km]') grid

31 L’estremo finale viene calcolato per tentativi.

32

33 Risultati con tmax=0.65 T X Y 0.000 2.000000e+000 1.000000e-001
e e-001 e e-001 e e-001 e e-001 e e-002 e e-002 e e-002 e e-004

34 Esercizio 5: Problema Preda-Predatore
Sistema differenziale non lineare di ordine 1 P(t): prede, Q(t): predatori. Si trovi la soluzione del problema per assumendo: k1 = 2; k2 = 10; c = 0.001; d = 0.002; P0=5000; Q0=100.

35 Soluzione analitica del problema
Variabili separate Integrando i due membri si ottiene l’Int. Gen. cost. si calcola imponendo le condizioni iniziali.

36 Istruzioni: Metodo Eulero esplicito e grafici di P( t ), Q( t )
t0=0;tmax=3; y0=[ ]; % P,Q sono in y(1), y(2) f=strvcat('2*y(1) *y(1)*y(2)',... '-10*y(2) *y(1)*y(2)'); str1='Eulero';n=300; h=tmax/n; [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); plot(T,Y(:,1),’b’,T,Y(:,2),’g’); grid title(['Risultati del metodo di ',str1]) legend('prede','predatori') title(['Risultati del metodo di ',str1,... ' con h =' num2str(h)]) xlabel('Tempo')

37 Grafici: Metodo di Eulero Esplicito

38 Istruzioni per grafico nel piano P Q
t0=0;tmax=3; y0=[ ]; % P,Q sono in y(1), y(2) f=strvcat('2*y(1) *y(1)*y(2)','-10*y(2)+ .002*y(1)*y(2)'); str1='Eulero';N=[60 300]; h=tmax./N; n=N(1); [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); plot(Y(:,1),Y(:,2),'r') hold on n=N(2); plot(Y(:,1),Y(:,2),'b',10/0.002,2/0.001,'*'),grid title(['Risultati del metodo di ',str1]) xlabel('Prede'),ylabel('Predatori');grid legend(['h1 = ',num2str(h(1))],['h2 = ',num2str(h(2))])

39 Rappresentazione nel piano PQ
Il punto segnato con * è il punto critico che si ottiene ponendo:

40 Istruzioni del Metodo Heun Grafici di P( t ), Q( t )
t0=0;tmax=3; y0=[ ]; f=strvcat('2*y(1) *y(1)*y(2)',... '-10*y(2) *y(1)*y(2)'); str1=‘Heun';n=300; h=tmax./n; [T,Y]=Heun(t0,tmax,n,y0,f); plot(T,Y(:,1),T,Y(:,2)); grid legend('prede','predatori') title(['Risultati del metodo di ',str1,... ' con h = ',num2str(h)]) xlabel('Tempo')

41 Grafici prede, predatori Metodo di Heun

42 Soluzione nel piano PQ: simulazione movimento
t0=0;tmax=3; y0=[ ]; f=strvcat('2*y(1) *y(1)*y(2)','-10*y(2) *y(1)*y(2)'); n=300; h=tmax./n; [T,Y]=Heun(t0,tmax,n,y0,f); plot(10/0.002,2/0.001,’*r’,y0(1),y0(2),’*b’) hold on for i=1:n plot(Y(i,1),Y(i,2),’*b’) pause(0.25) end title('Simulazione nel piano PQ - Heun')

43 Simulazione: metodo di Heun

44 Esercizio 6: Sistema differenziale lineare del 1° ordine
Stabilire se il problema ammette soluzione unica e se è ben condizionato. Calcolare la soluzione con il metodo di Eulero Implicito, n1=100 e n2=200; n1, n2 = numero sottointervalli.

45 Esercizio 6: quesiti c,d c) Si calcoli l’errore nei nodi sapendo che la soluzione vera è: d) Si confronti la soluzione vera calcolata nei nodi al punto c), con quella approssimata ottenuta applicando il metodo di Runge-Kutta 4 con n1 = 100.

46 a: esistenza, unicità della soluzione
Esiste unica la soluzione del problema.

47 a: stabilità e condizionamento
La matrice dei coefficienti è i suoi autovalori si trovano risolvendo l’equazione caratteristica: il sistema è asintoticamente stabile e quindi ben condizionato.

48 b: metodo di Eulero Implicito
n=input('n = '); % numero sottointervalli t0=0;tmax=10; A=[-1 1; -1 -1]; b=strvcat('0','0'); y0=[-1 1]; [T,Y]=Eulsis(t0,tmax,n,y0,A,b); str1='Eulero Implicito'; Stampa dei risultati disp(['Risultati del metodo di ',str1]); t=T; Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); tabella2

49 c: file “tabella2.m” ErrX= abs(Y(:,1)-Xv);ErrY= abs(Y(:,2)-Yv);
% Il file scrive una tabella in cui si riportano i valori in uscita da % un problema differenziale di Cauchy di tipo vettoriale e le colonne % di errore nella X e nella Y; ErrX= abs(Y(:,1)-Xv);ErrY= abs(Y(:,2)-Yv); tabella=[T,Y, ErrX,ErrY]; s=' '; disp(s) fprintf(' T X Y ErrX ErrY \n'); %stampa ogni 10 valori fprintf('%6.3f %16.6e %16.6e %10.2e %10.2e\n', tabella(1:10:end,:)')

50 tabella2.m : Eulero Implicito n1 = 100
T X Y ErrX ErrY e e e e+000 e e e e-002 e e e e-002 e e e e-002 e e e e-004 e e e e-003 e e e e-003 e e e e-004 e e e e-004 e e e e-004 e e e e-005

51 % Grafico componente x della soluzione vera ed approssimata
plot(T,Xv,T,Y(:,1));grid xlabel('Tempo (s)') title(’Metodo di Eulero implicito - n=100') legend('Xvera','Xapp')

52 Errore per la x(t): Eulero Implicito
% Andamento degli errori nella valutazione di x plot(T,ErrX);grid title(’Andamento degli errori nella x')

53 tabella2.m: Eulero Implicito n2 = 200
T X Y ErrX ErrY e e e e+000 e e e e-003 e e e e-003 e e e e-002 e e e e-002 e e e e-002 e e e e-003 e e e e-003 e e e e-005 ...... e e e e-005 e e e e-005 e e e e-004 e e e e-004 e e e e-005 e e e e-005 e e e e-005

54 Soluzione con movimento nel piano XY
n=200;t0=0;tmax=10; A=[-1 1; -1 -1]; b=strvcat('0','0'); y0=[-1 1]; [T,Y]=Eulsis(t0,tmax,n,y0,A,b); plot(0,0,'or',y0(1),y0(2),'*g') % (0,0) punto % di stazionarietà hold on for i=1:n plot(Y(i,1),Y(i,2),'ob') pause(0.25) title('Soluzione nel piano delle fasi') end

55 Grafico nel piano XY

56 Confronto risultati con n1=100 e n2=200
clear all t0=0;tmax=10;y0=[-1 1];A=[-1 1; -1 -1]; b=strvcat('0','0'); n1=100; [T1,Y1]=Eulsis(t0,tmax,n1,y0,A,b); n2=200; [T2,Y2]=Eulsis(t0,tmax,n2,y0,A,b); t=T1; % calcolo degli errori Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); ErrX1= abs(Y1(:,1)-Xv);ErrY1= abs(Y1(:,2)-Yv); % I vettori da inserire in tab devono essere della stessa lunghezza e ErrX2,ErrY2 vanno calcolati negli stessi nodi di ErrX1, ErrY1!!! ErrX2= abs(Y2(1:2:end,1)-Xv);ErrY2= abs(Y2(1:2:end,2)-Yv); tab=[T1,ErrX1,ErrX2,ErrY1,ErrY2]; % costruzione della tabella s=' '; disp(s) fprintf(' T ErrX1 ErrX2 ErrY1 ErrY2 \n'); fprintf('%6.3f %10.2e %10.2e %10.2e %10.2e\n',tab(1:10:end,:)')

57 Confronto dei risultati
T ErrX1 ErrX ErrY ErrY2 e e e e+000 e e e e-003 e e e e-002 e e e e-003 e e e e-005 e e e e-003 e e e e-004 e e e e-005 e e e e-004 e e e e-005 e e e e-005

58 d: metodo di Runge-Kutta 4
n=input('n = '); % numero sottointervalli t0=0;tmax=10; y0=[-1 1]; % x,y sono in y(1), y(2) f=strvcat('-y(1)+y(2)','-y(1)-y(2)'); [T,Y]=RungeKutta4(t0,tmax,n,y0,f); X=Y(:,1); Y=Y(:,2); str1='Runge-Kutta'; Stampa dei risultati disp(['Risultati del metodo di ',str1]); t=T; Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); tabella

59 Tabella Metodo RK4: n1 = 100 T X Y ErrX ErrY e e e e+000 e e e e-006 e e e e-006 e e e e-007 e e e e-007 e e e e-007 e e e e-008 e e e e-008 e e e e-008 e e e e-009 e e e e-009

60 % Grafico soluzione vera ed approssimata
plot(T,Xv,T,X);grid xlabel('Tempo (s)') title(’Metodo di Runge-Kutta - n=100') legend('Xvera','Xapp')

61 Errore per la x(t): Metodo RK4

62 Esercizio 7 Si consideri un satellite in orbita ellittica attorno ad un pianeta di massa M. Supponiamo che il pianeta sia posto nell’origine del riferimento cartesiano bidimensionale e il problema sia normalizzato in modo che GM=1, con G costante di gravitazione universale. Il moto del satellite è allora regolato dalle equazioni: Sia T il periodo di rivoluzione del satellite. 1 - Si stabilisca se il problema ammette soluzione unica. 2 - Per la terza legge di Keplero risulta dove a è il semiasse maggiore dell’orbita.

63 Quesiti 2a, 2b 1- Si costruisca un file MATLAB: Cognome_studente_matricola.m che, una volta avviato: a) faccia visualizzare una schermata con i dati personali ed una breve presentazione del problema; b) risolva il problema con il metodo Runge-Kutta4 nel caso In questo caso l’orbita è un’ellisse di centro (-1,0) e semiasse maggiore a = 2.

64 Quesiti 2c, 2d, 3 c) faccia visualizzare una tabella riassuntiva, che riporti ogni 10 nodi: Intestazione: tempo soluzione derivata_soluzione; con i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i valori dei nodi; 8 cifre decimali e virgola fissa per la soluzione e la derivata ; d) mediante il comando subplot, con 2 finestre grafiche, si ritrovino per via grafica (corredata di label e titolo) le affermazioni del punto b) e si tracci l’andamento della soluzione in funzione del tempo. 3 - Si commentino i risultati.

65 Metodo RK4 t0=0;tmax=2*pi*sqrt(2^3);
f1='y(2)';f2='-y(1)/(y(1)^2+y(3)^2)^(3/2)'; f3='y(4)';f4='-y(3)/(y(1)^2+y(3)^2)^(3/2)'; f=strvcat(f1,f2,f3,f4); y0=[1 0 0 sqrt(6)/2]; n=100; [T,Y]=RungeKutta4(t0,tmax,n,y0,f); X=Y(:,1); X1=Y(:,2); YV=Y(:,3);YV1=Y(:,4); str1='Runge-Kutta'; disp(['Risultati del metodo di ',str1]); tab=[T X YV X1 YV1]; tab_10=tab(1:10:end,:); s=' ' disp(s) fprintf(' tempo soluzione derivata_soluzione \n') fprintf(' %7.3f %12.8f %12.8f %12.8f %12.8f \n',tab_10') subplot(2,1,1),plot(T,X,T,YV),grid,title('soluzioni x(t) e y(t)') xlabel('t'),ylabel('x,y') subplot(2,1,2),plot(X,YV),grid,title('orbita') xlabel('x'),ylabel('y')

66 Risultati -------------------------------------------------
tempo soluzione derivata_soluzione

67 Grafici