Indici di Variabilità NdE Range (o campo di variabilità)

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1 Indici di Variabilità NdE Range (o campo di variabilità)
Scarto medio assoluto Somma dei quadrati Varianza e deviazione standard

2 Il concetto di variabilità
La variabilità è una misura della dispersione di una distribuzione di frequenza La variabilità determina il grado in cui una singola misura è rappresentativa della popolazione Elevata variabilità Bassa variabilità

3 Variabilità e statistica inferenziale
Nell’assenza di variabilità all’interno dei gruppi è evidente che i Q.I. del primo gruppo sono più elevati rispetto a quelli del secondo gruppo Nella presenza di una forte variabilità all’interno dei gruppi non è evidente in quale gruppo sono più elevati i Q.I.

4 Indici di variabilità Due distribuzioni possono avere stessi indici di centralità (media, mediana, moda) ma essere diversamente dispersi.

5 Il campo di variazione o RANGE
Il campo di variazione di una distribuzione è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo rilevati. Range = Val max- Val min Osservazioni: 1,2,5,7,8,9 Valore massimo: 9 Valore minimo: 1 Campo di variazione: 8

6 Il campo di variazione come misura della variabilità
Il campo di variazione si esprime in valori assoluti. Non dice nulla su come i valori assunti dalla variabile sono distribuiti. Osservazioni di altezza (mm): 1600,1520, 1720,1670, 1700 Osservazioni di peso (kg) 50, 70, 110, 73, 80 Kg.

7 Scarto medio assoluto dalla media aritmetica
Lo scarto medio assoluto dalla media aritmetica è la somma degli scarti dei vari dati rispetto alla loro media aritmetica considerati in valore assoluto. Lo scarto medio assoluto non è altro che la media aritmetica delle distanza di ciascun dato dalla media.

8 Scarto medio assoluto dalla media aritmetica

9 Varianza e deviazione standard
Valore medio Definizione intuitiva della variabilità: la variabilità come distanza media di un’”osservazione tipo” rispetto al valore medio per la popolazione Alcune distanze sono negative, alcune positive La somma di tutte le distanze è pari a zero La media delle distanze è pari a zero Non possiamo utilizzare la somma delle distanza come misura di dispersione Distanza rispetto alla media

10 Somma dei quadrati La somma dei quadrati della distanza fra la media (µ) e il valore dell’osservazione L’utilizzo del quadrato Elimina i valori negativi Da maggior peso alle osservazioni lontane dalla media Il valore della somma dei quadrati aumenta con il numero delle osservazioni.

11 La varianza di una popolazione
La varianza si calcola come la media del quadrato della distanza fra il valore della singola osservazione e il valore medio per l’insieme delle osservazioni La varianza è una misura finalizzata alla standardizzazione delle misure di variabilità Il valore della varianza è indipendente rispetto al numero delle osservazioni

12 La deviazione standard
La varianza non costituisce una misura “intuitiva” dalla distanza fra una “osservazione tipica” e il valore medio Tale distanza è rappresentata dalla deviazione standard La deviazione standard di una popolazione è rappresentata dal radice quadrata della varianza della popolazione

13 Esempio Calcolare la varianza e la deviazione standard del seguente insieme di dati 10,10,10,10,10 1,3,3,4,9

14 Prima esercitazione Completa assenza di variabilità

15 Seconda esercitazione

16 Visualizzare la deviazione standard
Questa osservazione è distante 1 Dev. St. rispetto alla media =17,2

17 La Varianza e la Deviazione Standard
La deviazione standard è l’indice normalmente utilizzato per calcolare la dispersione di una distribuzione di dati. Si può affermare che la deviazione standard calcola la “quantità” media di deviazione dalla media. E’ una misura lineare della dispersione dei dati. La varianza è invece una media di aree e non è mai negativa.

18 La deviazione standard nella letteratura scientifica
Forma standardizzata di presentazione forma breve forma tabellare Importante indicare la numerosità di ciascuno dei gruppi e sottogruppi “I bambini che hanno visionato il cartoon hanno mostrato un indice di aggressività (M=12,45, Dev St.=3,7) superiore rispetto al Gruppo di controllo (M=4,22, Dev. St.=1,04)”

19 Esempio1: distribuzione poco dispersa
Peso (kg) Fa Fa*xi scarto Scarto quadrato Scarto quadrato Ponderato 48 0,0 -19,7 388,7 53 -14,7 216,5 55 -12,7 161,7 60 -7,7 59,5 65 24 1560,0 -2,7 7,4 176,8 68 4080,0 0,3 0,1 4,9 70 21 1470,0 2,3 5,2 109,7 74 6,3 39,5 78 10,3 105,8 80 12,3 150,9 84 16,3 265,2 105 7110,0 Somma quadrati 291,4 Media (kg) 67,7 Varianza 2,8 Dev. standard 1,7

20 Grafico 1: distribuzione poco dispersa

21 Esempio2: bassa dispersione
Peso (kg) Fa Fa*xi Scarto Scarto quadrato Scarto quadrato ponderato 48 0,0 -19,7 389,8 53 -14,7 217,4 55 2 110,0 -12,7 162,4 324,8 60 5 300,0 -7,7 60,0 299,8 65 17 1105,0 -2,7 7,5 127,9 68 54 3672,0 0,3 0,1 3,6 70 20 1400,0 2,3 5,1 101,9 74 370,0 6,3 39,2 195,8 78 156,0 10,3 105,2 210,4 80 12,3 150,2 84 16,3 264,3 Totale 105 7113,0 Somma quadrati 1264,1 Media (kg) 67,7 Varianza 12,0 Dev. Standard (kg) 3,5

22 Grafico2: bassa dispersione

23 Esempio3: alta dispersione
Peso (kg) Fa Fa*xi Scarto Scarto quadrato Scarto quadrato ponderato 48 2 96,0 -19,7 389,0 778,1 53 5 265,0 -14,7 216,8 1084,0 55 7 385,0 -12,7 161,9 1133,3 60 10 600,0 -7,7 59,7 596,6 65 15 975,0 -2,7 7,4 111,3 68 22 1496,0 0,3 0,1 1,7 70 18 1260,0 2,3 5,2 93,3 74 518,0 6,3 39,4 275,7 78 780,0 10,3 105,6 1056,0 80 400,0 12,3 150,7 753,5 84 4 336,0 16,3 264,9 1059,7 Totale 105 7111,0 Somma quadrati 6943,0 Media (kg) 67,7 Varianza 66,1 Dev. Standard 8,1

24 Grafico3: alta dispersione

25 Esempio4: dispersione molto elevata
Peso (kg) Fa Fa*xi scarto Scarto quadrato ponderato 48 6 288,0 -19,7 389,8 2338,7 53 8 424,0 -14,7 217,4 1738,8 55 440,0 -12,7 162,4 1299,0 60 9 540,0 -7,7 60,0 539,6 65 585,0 -2,7 7,5 67,7 68 15 1020,0 0,3 0,1 1,0 70 13 910,0 2,3 5,1 66,2 74 11 814,0 6,3 39,2 430,7 78 10 780,0 10,3 105,2 1052,1 80 640,0 12,3 150,2 1201,9 84 672,0 16,3 264,3 2114,4 Totale 105 7113,0 Somma quadrati 10850,1 Media (kg) Varianza 103,3 Dev. Standard (kg 10,2

26 Grafico4: dispersione molto elevata

27 Confronto Range – Deviazione standard - Percentili