Principi fisici: la Legge di Ohm

Presentazione sul tema: "Principi fisici: la Legge di Ohm"— Transcript della presentazione:

1 Principi fisici: la Legge di Ohm
Georg Ohm [1827]

2 Principi fisici: Resistenza, resistività e conduttività elettrica
Legge di Ohm I = corrente elettrica [A] = differenza di potenziale elettrostatico [V] R = resistenza elettrica [Ω] ρ = resistività elettrica [Ωm] σ = 1/ρ σ = conduttività elettrica [S/m] proprietà del materiale

3 Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce
la resistività delle rocce secche diminuisce all’insorgere dei primi processi di fusione dei minerali intorno ai °C

4 Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce
la resistività delle formazioni rocciose dipende soprattutto dal contenuto dei fluidi e della conduttività elettrica dei fluidi stessi La legge di Archie [1942] è una legge empirica, originariamente sviluppata per formazioni sature: esempio: Curva 1: a = 1.0; m = 2.3 Curva 2: a = 1.0; m = 2.0 Curva 3: a = 0.62; m = 1.9 Curva 4: a = 1.4; m = 1.4 Curva 5: a = 1.0; m = 1.4 Curva 6: a = 3.0; m = 1.0 dove: ρ = resistività complesiva della roccia ρw = resisitività del fluido (soluzione acquosa che satura i pori) = porosità della roccia a, m = costanti empiriche F = fattore di formazione

5 Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce
Nel caso più generale la legge di Archie [1942] si può estendere a formazioni parzialmente sature in acqua dove: S = saturazione in acqua = Vw/Vpor n = costante empirica di solito = 2 Nota che la legge di Archie si può esprimere anche in termini di conduttività elettrica: Ove σg identifica, se presente, la conduttività elettrica delle superfici dei grani (p.es. in presenza di una elevata frazione argillosa)

6 Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

7 Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce
Sono state spesso tentate correlazioni empiriche fra la resisitività o la conduttività elettrica di una formazione e la sua conduttività idraulica Queste relazioni empiriche sono estremamente incerte. Si basano sull’idea che la connettività dei pori (tortuosità) che determina la conduttività idraulica sia anche alla base della conduttività elettrica tramite il moto di ioni. Tuttavia è chiaro che mentre la conduttività idraulica si basa sul moto complessivo del fluido nel sistema di pori interconnessi, la conduttività elettrica dipende dal moto degli ioni entro un fluido (acqua) che può anche essere fondamentalmente immobile (come nell’argille). Per cui la relazione fra le due grandezze non è per nulla stabilita.

8 L’equazione è derivata sulla base di due principi base:
Il flusso di corrente continua in un mezzo conduttore è descritto nella forma di un’equazione differenziale alle derivate parziali che coinvolge le variabili spaziali (x,y,z) e temporale (t) da cui dipende il flusso. L’equazione è derivata sulla base di due principi base: la conservazione della carica elettrica la validità della legge di Ohm Si consideri un volume infinitesimo di mezzo poroso, detto “volume di controllo”, che sia comunque grande abbastanza da rappresentare le caratteristiche del mezzo poroso (un “representative elementary volume” o REV). dz z dy x dx y

9 dx (dimensione del REV)
Un REV è definito come il volume elementare in grado di rappresentare le caratteristiche del mezzo poroso. In generale, data una proprietà fisica P, si ha un range di dimensione dx del volume di controllo ove la proprietà è stabile – si consideri per esempio la porosità. dimensione minima del REV effetto della micro- struttura dei pori effetto delle eterogeneità a grande scala P range di stabilità dx (dimensione del REV)

10 jz jx jy j = Q/(At) I=jA = Q/t A
Si assuma che il sistema sia omogeneo ed isotropo. Sia j il flusso di carica elettrica per unità di area attraverso il REV considerato. Le componenti di j nelle tre direzioni del sistema di riferimento sono jx, jy e jz. La posizione cui si riferisce j è (x,y,z) – il punto blu nella figura. jz jx dz z jy dy x dx y j (e le sue componenti) è espresso in termini di carica unità di area trasversale per unità di tempo. Il flusso di carica elettrica in base al quale si definisce la legge di Ohm è di solito I, che è il prodotto di j per l’area della sezione di flusso A. j = Q/(At) I=jA = Q/t A

11 Consideriamo quindi il flusso che entra nel REV lungo l’asse x:
mentre il flusso che esce dal REV lungo l’asse x, utilizzando un’espansione in serie di Taylor del flusso di massa Ix: Il flusso netto lungo la direzione x è dunque: dz z dy x dx

12 Dal momento che simili componenti sono calcolabili per le altre direzioni, si ha in totale:
che corrisponde alla variazione nell’unità di tempo della massa d’acqua contenuta nel REV. dz z dy x dx

13 Dal momento che lavoriamo in corrente continua, NON c’è accumulo di cariche da nessuna parte, per cui: Questo si può anche scrivere in forma compatta come: L’operatore si chiama NABLA ed è un operatore differenziale vettoriale composto dalle tre derivate spaziali Il prodotto scalare indicato dal punto si chiama DIVERGENZA e implica che Ovvero la conservazione della carica implica per j che la sua DIVERGENZA = 0

14 A questo punto si utilizza la legge di Ohm (nel caso più generale, anisotropa, con assi paralleli agli assi principali di anistropia) per esprimere il flusso di corrente elettrica: da cui infine risulta l’equazione differenziale che descrive il flusso stazionario (ovvero in corrente continua) in un mezzo 3D non omogeneo e anisotropo:

15 Nel caso di un sistema isotropo, si ha ovviamente sx=sy=sz=s, per cui:
e nel caso di un sistema omogeneo ed isotropo, la conduttività elettrica s si può estrarre dalle derivate spaziali: che è l’equazione di base per il calcolo delle soluzioni analitiche dell’equazione di corrente continua. Siccome la soluzione s=0 è di non interesse, in generale si scrive: ove il Laplaciano è la somma delle derivate seconde rispetto allo spazio.

16 E quindi per un sistema omogeneo ne deriva la classica equazione di Laplace:
ovvero: la natura dell’equazione di Laplace getta luce in generale sulla natura delle equazioni precedenti. Si tratta in generale di equazioni Paraboliche (se in presenza di derivata prima rispetto al tempo) o Ellittiche (in assenza di questa). Sono equazioni della DIFFUSIONE.

17 Principi fisici: Equazioni del flusso di corrente continua
Combinando le tre equazioni viste: è l’equazione che governa il flusso di corrente in un mezzo a conduttività elettrica σ variabile nello spazio Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace: che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

18 Analogo fisico: Equazioni del flusso in un mezzo poroso saturo
Legge di Darcy è l’equazione che governa il flusso di acqua in un mezzo poroso a conduttività idraulica K variabile nello spazio conservazione della massa (volume) d’acqua Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace: che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

19 Analogo fisico: Equazioni della conduzione termica
Legge di Fourier è l’equazione che governa il flusso termico per conduzione in un mezzo poroso a conduttività termica s variabile nello spazio conservazione dell’energia (termica) Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace: che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

20 Condizioni al contorno
Condizioni di primo tipo (o di Dirichlet, o di valore imposto) Condizioni di secondo tipo (o di Neumann, o di flusso) Condizioni di terzo tipo (o di Robin, o miste di valore e flusso) contorno su cui è definita la condizione x x0

21 Condizioni al contorno per l’equazione di flusso di carica elettrica in corrente continua
Servono per ogni dimensione del problema (x,y,z) tante condizioni quant’è l’ordine più elevato di differenziazione in quella direzione. p.es. richiede 2 condizioni al contorno in direzione x, 2 in direzione y, 2 in direzione z. In ogni direzione almeno una condizione deve essere di Dirichlet (valore fissato sul contorno)

22 Principi fisici: elettrodo singolo
Si consideri un singolo punto di immissione di corrente I in un mezzo omogeneo 3D esteso all’infinito Vale L’equazione di Laplace che in coordinate sferiche centrate sull’elettrodo diviene: Si dimostra che in questo caso il potenziale che soddisfa l’equazione si può scrivere: Ove A e B sono costanti determinate dalle condizioni al contorno: Mentre a r=0 va immessa una corrente I tale per cui (data la simmetria e la legge di Ohm): da cui:

23 Principi fisici: Elettrodo singolo alla superficie
Se l’elettrodo (puntiforme) è posto alla superficie di un semispazio omogeneo la corrente I si distribuisce solo su ½ volume e quindi la densità di corrente J è doppia, da cui: La densità di corrente è Due elettrodi alla superficie L’equazione di Laplace è lineare, per cui posso sovrapporre gli effetti di più elettrodi per calcolare il campo complessivo.

24 P1 P2 Principi fisici: configurazione a 4 elettrodi
Potenziale all’elettrodo P1 Potenziale all’elettrodo P2 P1 P2 Da cui risulta:

25 Perché si usano 4 elettrodi?
A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita. V Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente. A V A Rcontatto Rcontatto Rterra

26 Perché si usano 4 elettrodi?
A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita. V Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente. V Rcontatto Rcontatto Rterra Rcontatto Rterra A

27 Distribuzione della corrente in profondità
1 2 A 3 4 x z r1 r2 5 Linea % di I P 6 a metà strada fra gli elettrodi Integrando si ottiene la corrente totale fino alla profondità z:

28 Distribuzione della corrente in profondità
Man mano che si allontanano gli elettrodi di corrente si ottiene che la corrente penetra sempre più in profondità. La corrente totale sotto la profondità z è: Il problema ha nella distanza L la sua dimensione di lunghezza fondamentale

29 Principi fisici: condizioni al contorno, campo elettrico
Se ci sono discontinuità in σ, allora ci sono anche discontinuità anche in E. (la componente tangenziale di E rimane costante) ovvero (la componente normale della densità di corrente J rimane costante) 1 2

30 Principi fisici: condizioni al contorno, campo magnetico
Analogamente, se ci sono discontinuità in μ, allora ci sono anche discontinuità in H (la componente tangenziale di H rimane costante) ovvero (la componente normale del vettore induzione magnetica B rimane costante) 1 2

31 Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico
Le condizioni al contorno generano rifrazione delle linee di corrente all’interfaccia Ma essendo: 1 2 Legge delle tangenti

32 Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico
1 (1) se 2 (2) se 1 2 Da questi risultati si vede come la corrente tenda a evitare le zone ad alta resistività ed a preferire quelle a bassa resistività, scegliendo il percorso a resistenza minima. 1 1 2 2 1 1

33 Principi fisici: mezzi stratificati
In un mezzo stratificato, la distribuzione di corrente nel sottosuolo viene distorta per rifrazione alle interfacce fra mezzi diversi. Questa distorsione è responsabile del segnale che possiamo misurare alla superficie, dal quale cercheremo di ricostruire la struttura del sottosuolo. In particolare per un mezzo stratificato cercheremo: (1) La profondità di tutte le interfacce (ovvero lo spessore degli strati) (z1, z2 , …, zn-1) (2) La resistività di ciascun strato (ρ1, ρ2 , …, ρn-1)

34 P1 P2 Definizione di resistività apparente
Data una configurazione elettrodica in un mezzo non omogeneo, è sempre possibile rappresentare la risposta del sistema nei termini della resistività equivalente di un mezzo omogeneo. Dalla disposizione di elettrodi misureremo I e ΔV. Utilizzando la formula generale per un sistema a 4 elettrodi: possiamo invertire l’equazione e trovare l’espressione per la ρ equivalente di un sistema omogeneo che produrrebbe gli stessi valori di I e ΔV, che chiameremo ρ apparente ρa: ove K è il fattore geometrico dell’array di elettrodi che stiamo considerando, R è la resistenza complessiva vista dall’array.

35 Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi.
resistività apparente spaziatura tra elettrodi di corrente

36 Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi.
resistività apparente spaziatura tra elettrodi di corrente

37 Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato
Data la simmetria del problema, vale l’equazione di Laplace in coordinate cilindriche: ρ1 ρ2 ρ3 ρn-1 ρn . I r Z=0 Z=d1 Z=d2 Z=d3 Z=dn-2 Z=dn-1 La soluzione si trova per separazione di variabili, per cui il potenziale nello stesso strato j è dato in generale nella forma: Sottoposto a condizioni alle interfacce: Con n strati si hanno 2n+2 equazioni in 2n+2 incognite

38 Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato
Agli scopi pratici interessa il valore del potenziale nel primo strato (è dove si misura) in conseguenza dell’iniezione di corrente I all’elettrodo. Risulta: ρ1 ρ2 ρ3 ρn-1 ρn . I r Z=0 Z=d1 Z=d2 Z=d3 Z=dn-2 Z=dn-1 Ove K(λ) è funzione della variabile di integrazione ma dipende dalla resistività e spessore di tutti gli strati. Per due strati: I ρ1 d1 ρ2 è il coeff. di riflessione Nota che l’integrale (detto di Stefanescu) rappresenta il potenziale di disturbo rispetto alla soluzione per un mezzo omogeneo di resistività ρ1.

39 Teorema di Slichter-Langer (1933)
Se la resistività del suolo varia solo con la profondità, essa può essere determinata univocamente dalla conoscenza del potenziale alla superficie creato da un elettrodo puntiforme. ρ1 ρ2 ρ3 ρn-1 ρn . I r Z=0 Z=d1 Z=d2 Z=d3 Z=dn-2 Z=dn-1 Si tenga presente che: la resistività varia solo con la profondità il potenziale deve essere noto su tutta la superficie (3) non ci sono errori nella misura del potenziale

40 Il concetto di equivalenza
Gli errori di misura rendono l’inversione dei dati geoelettrici non univoca, nonostante la univocità teorica garantita dal teorema di Slichter-Langer. Si parla perciò di un problema mal posto ambiguità di interpretazione La resistenza del blocco è: equivalenza caso (a): e rimane la stessa se il rapporto ρ/h non cambia La resistenza del blocco è: equivalenza caso (b): e rimane la stessa se il rapporto ρh non cambia

41 (somma di conduttanze in parallelo)
Conduttanza longitudinale e resistenza trasversa (parametri di Dar Zarrouk) I due casi di equivalenza possono essere generalizzati d una sequenza di strati, definendo due parametri rispetto a cui la geoelettrica dà risultati “quasi” equivalenti: conduttanza longitudinale (somma di conduttanze in parallelo) resistenza trasversa (somma di resistenze in serie) Il concetto di soppressione Se uno strato è molto sottile e con resistività non estrema , il suo effetto sulla resistività apparente alla superficie può risultare del tutto trascurabile, e quindi lo strato può risultare invisibile (soppressione dello strato).

42 L’equivalenza nelle curve di resistività apparente
Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo K; il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm); Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m). I valori sono: 1) ρ2 = h2 = T = 1000 2) ρ2 = h2 = T = 1000 3) ρ2 = h2 = T = 1000 4) ρ2 = h2 = T = 1000

43 L’equivalenza nelle curve di resistività apparente
Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo H; il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm); Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m). I valori sono: 1) ρ2 = h2 = S = 10 2) ρ2 = h2 = S = 10 3) ρ2 = h2 = S = 10 4) ρ2 = h2 = S = 10

44 L’equivalenza nelle curve di resistività apparente
Esempio in cui, a parità di dati di campagna, con procedimenti di calcolo semi-automatico si ottengono tre diverse interpretazioni che definiscono strutture del sottosuolo differenti. Qui le diverse interpretazioni nascono dall’avere assunto differenti valori di resistività degli strati intermedi e finali. Lo strato finale, come spesso avviene, non è ben definito nelle curve sperimentali.

45 L’equivalenza nelle curve di resistività apparente
Esempio in cui l’interprete ha assunto, a differenza dall’esempio precedente, gli stessi valori di resistività per il primo e per l’ultimo strato, ma ha considerato tra questi: nel primo caso, uno solo strato nel secondo, due strati Anche qui le interpretazioni sono tecnicamente corrette, nel senso che la coincidenza tra i dati sperimentali e la curva teorica è ottima in entrambi i casi, ma, ovviamente, il significato geologico è diverso.

46 Fitting automatico min ρ1 = 42 Ohm-m , h1 = 5 m;
ρ4 = 500 Ohm-m, h4 non determinabile. min