Emivita Fisica (T1/2) e Vita Media (T)

Emivita Fisica (T1/2) e Vita Media (T)
Medicina Nucleare Fisica Emivita Fisica (T1/2) e Vita Media (T) lT1/2 = 0.693 Nt= N0e / T1/2 T= 1.44 T1/2 La vita media è utile nel calcolo della dose perché il numero totale di disintegrazioni è il prodotto dell’attività e della vita media

Medicina Nucleare Fisica
EMIVITA EFFETTIVA leff = lbiol + l T1/2eff = (T1/2biol x T1/2) / (T1/2biol + T1/2)

Equilibrio Radioattivo
Medicina Nucleare Fisica Equilibrio Radioattivo Le equazioni di decadimento diventano più complicate quando anche il radionuclide figlio è radioattivo. Af = F(lf/(lf- lp) Ap0 (e lpt - e lft) + Af0(e -lft) F= frazione del genitore che decade a figlio

Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali
Medicina Nucleare Fisica Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali T1/2 del figlio > di T1/2 del padre T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito) T1/2 del padre > di T1/2 del figlio

Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali T1/2 del figlio > di T1/2 del padre Il padre decade lentamente a figlio e non c’è mai una relazione fissa

Equilibrio Radioattivo T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito) Af = F Ap(1-e-lft) Dopo diverse emivite si raggiunge una condizione di equilibrio: equilibrio secolare

Equilibrio Radioattivo T1/2 del padre > di T1/2 del figlio Af = F(lf/(lf- lp) Ap0 (e lpt - e lft) Dopo alcune emivite l’attività del figlio arriva a un punto in cui c’è una relazione costante (equilibrio transitorio) con quella del padre. Af = F(Ap x T1/2p) / (T1/2p - T1/2f)

Medicina Nucleare Statistica
Tutte le misure sono soggette ad errori: Errori Errori sistematici Errori casuali

ERRORI Si tratta di errori che producono risultati grossolanamente inadeguati e sono in genere facilmente riconoscibili: radiofarmaco sbagliato, erronea taratura dello strumento, ecc.

ERRORI SISTEMATICI Questi errori producono risultati che differiscono da quelli corretti per un quantità determinata. Risultati ottenuti con errori sistematici sono inaccurati

ERRORI CASUALI Questi errori derivano dai limiti fisici dello strumento di misura o da variazioni del fenomeno in sé. Questi errori influenzano la riproducibilità

Una misura può essere precisa (piccolo errore casuale) ma inaccurata (largo errore sistematico) o viceversa. Poiché gli errori casuali sono sempre presenti nei conteggi radioattivi, è necessario essere in grado di analizzarli.

Supponiamo che una sostanza radioattiva a lunga emivita sia contata ripetutamente. Poiché la velocità di decadimento ha variazioni casuali, il numero di conteggi sarà lievemente diverso ad ogni misura.

Ci si può allora chiedere qual’è il vero valore. Una soluzione possibile è eseguire un gran numero di misure e di usare il valore medio come stima del vero valore. Sfortunatamente questo approccio non è molto pratico nella pratica quotidiana.

La domanda allora è: Quanto è valida una singola misura come stima del vero valore? La risposta è nella frequenza di distribuzione.

52 59 66 73 80 87 94 101 108 115 122 129 136 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 Valore della Misura

La probabilità ha un picco ad un valore medio m, che è il valore vero per la misura. Perciò se si effettuassero un gran numero di misure si avrebbe che il valore vero è circa eguale a m. Questa distribuzione è descritta matematicamente dalla distribuzione di Poisson

Per questa distribuzione la probabilità di ottenere un certo valore quando il valore vero è m P(N, m) = e-m mN / N!

La probabilità che una misura sia vicina a m dipende all’ampiezza, o dispersione, della distribuzione. Questa è legata ad un parametro chiamato varianza, s2. La varianza è un numero per cui il 68.3% delle misure cadrà entro +s

Per la distribuzione di Poisson la varianza è eguale alla media. Perciò ci si aspetta che circa i 2/3 delle misure di conteggio cadano entro + √m del vero valore di m.

Dato solo il risultato di una singola misura, N, non si conosce il valore esatto di m o di s. Tuttavia, si può ragionevolmente assumere che N=m, e che perciò s=√N

Si può perciò dire che il vero valore della misura è nel range N + √N Questo è chiamato l’intervallo di confidenza del 68.3% + √N è l’incertezza di N E’ possibile infine calcolare l’incertezza percentuale come (√N / N) x 100

Range Intervallo di Confidenza N + s % N + 2s % N + 3s %

Molte procedure in Medicina Nucleare implicano la registrazione di diversi conteggi. Queste misure possono poi essere adoperate per eseguire calcoli. In ciascun caso l’errore del risultato finale può essere calcolato.

Propagazione dell’errore
Medicina Nucleare Statistica Propagazione dell’errore Somme e Differenze s (N1 + N2 + N ) = √(N1 + N2 + N )

Medicina Nucleare Statistica Propagazione dell’errore Prodotti e Rapporti L’incertezza percentuale (V) è: V (N1 */ N2 */ N3 */ ...) = √(1/N1 + 1/N2 + 1/N ) * 100

Medicina Nucleare Statistica Propagazione dell’errore Molte procedure in Medicina Nucleare hanno la forma : Y = (N1 - N2) / (N3 - N4) In questi casi si ha: VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2

Nfe = 400 (fondo ematico) Nfe = 1200 (radioattività ematica) Ns = 2000 (standard radioattivo) Nb = 200 (bianco del contatore) Calcolare il rapporto prelievo / standard ed il suo errore

R = (Nfe - Nfe ) / (Ns - Nb ) R= ( ) / ( ) R= ( 800 / 1800 ) = 0.44

VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2 VY = √ ( ) / ( )2 + ( )/( )2 VY = √ (1600)/(800)2 + (2200)/(1800)2 VY = √ = √0.003= 0.056

L’ incertezza percentuale è 5.6 %. Poiché il risultato era 0.44, l’errore è il 5.6% di 0.44, cioè 0.02. Pertanto il nostro risultato è : R=

Se abbiamo due conteggi, N1 e N2, la differenza tra i due può essere reale o solo dovuta alle variazioni random nel decadimento. Si può valutare la significatività della differenza confrontando gli errori random aspettati.

In genere differenze di meno di 2s sono marginali perché c’é almeno il 5% di probabilità che siano casuali. (N1-N2) < √ N1+N2 Supponiamo di avere due rate di conteggio R1e R2 ottenuti nei tempi t1e t2, si avrà: s(R1- R2) = √R1/t1 + R2/t2

Tutte le misure medico-nucleari contengono un conteggio del “fondo”, dovuto al rumore elettronico, ai raggi cosmici, alla radioattività naturale. Rn = Rt - Rf sRn = √ Rt/ tt + Rf/ tf

Il conteggio totale ottenuto in 4 minuti è 6000 e quello di fondo è 4000. Qual’è il rate di conteggio netto (espresso in cpm) e la sua incertezza ?

Rt = 6000/4 = 1500 cpm Rf = 4000/4 = 1000 cpm Rn = = 500 sRn = √1500/ /4 = √ = √625= 25 Perciò, Rn = (+ 5%)

Confrontiamo questo risultato con quello del conteggio totale e con quella del conteggio netto se il fondo fosse stato pari a 0.

Rt = 6000/4 = 1500 cpm sRt = √1500/4 = √375 = 19 (1.3 %) Rn = = 500 sRn = √500/4 = √125 = 11(2.2%)

Questi esempi illustrano due concetti Alti conteggi di fondo aumentano l’incertezza nel conteggio netto Piccole differenze tra conteggi hanno alta incertezza

La minima attività rilevabile per un radionuclide e per un particolare sistema di conteggio è quella che incrementa in maniera significativa i conteggi rispetto al conteggio di fondo. In questo caso significativo vuol dire almeno 3s (3 √R/ t)

Un contatore a NaI(Tl) ha un conteggio di fondo di 200 cpm. La sua sensibilità per lo 131I è 106 cpm/mCi. Qual’è la MAR, adoperando un tempo di conteggio di 4 minuti ?

La MAR è 3 √200/4 = 21 cpm Perciò, MAR = 21 cpm / 106 cpm/mCi = mCi In unità S.I. (1 mCi = 37 kBq) si ha 0.74 Bq, cioè meno di 1 cps.

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