Num 01 - 1 / 36 Lezione 9 Numerosità del campione.

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1 Num 01 - 1 / 36 Lezione 9 Numerosità del campione

2 Num 01 - 2 / 36 parte 1 la numerosità minima del campione

3 Num 01 - 3 / 36 come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta unincertezza che viene quantificata attraverso lintervallo di confidenza: Dato un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } proveniente da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 si possono usare la media campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori dei parametri della popolazione. gli strumenti di inferenza

4 Num 01 - 4 / 36 la numerosità minima del campione nella stima della media

5 Num 01 - 5 / 36 distribuzione della media campionaria dato un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } proveniente da una popolazione infinita su cui è definita una variabile casuale X con densità f ( x ) qualsiasi, media e varianza 2, la media campionaria fornisce una variabile casuale che, per n sufficientemente grande, risulta distribuita in modo normale, con media e con varianza 2 / n

6 Num 01 - 6 / 36 dato che la media campionaria segue una distribuzione normale con media e varianza 2 / n è possibile costruire una variabile casuale con distribuzione normale standard, cioè con media nulla e varianza unitaria dalla media campionaria alla media campionaria standardizzata tramite la variabile Z è agevole individuare lintervallo di confidenza della media campionaria, che può essere visto come lincertezza dello strumento inferenziale

7 Num 01 - 7 / 36 intervallo di confidenza a 1 - per la media da cui, per la simmetria della f ( Z ), si ottiene:

8 Num 01 - 8 / 36 intervallo di confidenza a 1 - per la media da cui:

9 Num 01 - 9 / 36 intervallo di confidenza a 1 - per la media possiamo quindi sostenere che: estraendo a caso un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n }, con n sufficientemente grande, da una popolazione infinita su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale con Z variabile normale standard e con z 1- / 2 il valore del suo quantile ( 1 - /2) contenga il valore della media della X per lintera popolazione. I 1- è chiamato intervallo di confidenza allo 1 - per la media

10 Num 01 - 10 / 36 da cui si ottiene: ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione possiamo quindi affermare che: indicando con A 1 - lampiezza di I 1 -, intervallo di confidenza allo 1 - per la media, si ha:

11 Num 01 - 11 / 36 Se si è prefissato un valore massimo accettabile per lampiezza dellintervallo di confidenza, valore che indichiamo con A 1 - max, allora è possibile esplicitare il corrispondente valore minimo per la numerosità del campione n min : ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione

12 Num 01 - 12 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Qualora la varianza della X per lintera popolazione non sia conosciuta si può condurre il calcolo della numerosità richiesta al campione mediante lo stimatore varianza campionaria corretta: Sappiamo che se n è sufficientemente grande la variabile casuale segue una distribuzione t di Student con n-1 g.d.l.

13 Num 01 - 13 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Possiamo quindi affermare che, se n è sufficientemente grande: estraendo a caso un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } da una popolazione infinita su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e varianza campionaria S n 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale con T variabile t di Student con n-1 g.d.l e con t 1- / 2 il valore del suo quantile ( 1 - /2) contenga il valore della media della popolazione.

14 Num 01 - 14 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Sviluppando in modo analogo ai passaggi già visti nel caso di varianza della popolazione conosciuta, se si è prefissato un valore massimo accettabile per lampiezza dellintervallo di confidenza, valore che indichiamo con A 1 - max, allora è possibile esplicitare il corrispondente valore minimo n min per la numerosità del campione: Un problema da considerare è rappresentato dal fatto che il valore critico t 1- /2 della t di Student dipende da n

15 Num 01 - 15 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Un problema da considerare è rappresentato dal fatto che il valore critico t 1- /2 della t di Student dipende da n

16 Num 01 - 16 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Un primo calcolo approssimato può essere condotto sostituendo al quantile della T il corrispondente quantile di una variabile Z normale standard. Se n min > 30 sappiamo che la distribuzione t di Student non differisce in maniera evidente dalla distribuzione normale standard. Individuato così un primo valore approssimato si può proseguire cercando il valore corretto di n min mediante un procedimento iterativo:

17 Num 01 - 17 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione partendo da una prima valutazione del quantile della t di Student calcolato per un numero di g.d.l. pari a n min - 1 si calcola: Con un ragionevole numero di iterazioni si può quindi individuare la numerosità richesta al campione.

18 Num 01 - 18 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Se pensiamo di dover operare con un campione di numerosità ridotta n < 30 dobbiamo ricordare che la distribuzione della media campionaria può essere considerata normale solamente se anche la X segue la distribuzione normale!!! Se ciò si verifica possiamo individuare il valore della numerosità richiesta n min con un procedimento uguale a quello già mostrato per n > 30.

19 Num 01 - 19 / 36 ampiezza dellintervallo di confidenza e numerosità del campione Partiamo da una prima valutazione condotta con la: per poi ricalcolare iterativamente il valore di n min partendo da una prima valutazione del quantile della t di Student calcolato per un numero di g.d.l. pari a n min - 1 Con un ragionevole numero di iterazioni si può quindi individuare la numerosità richesta al campione.

20 Num 01 - 20 / 36 intervallo di confidenza per la media se n N Se il numero n degli elementi del campione non è molto minore della numerosità N (finita) della popolazione: la: deve essere sostituita dalla:

21 Num 01 - 21 / 36 intervallo di confidenza per la media se n N possiamo quindi sostenere che: estraendo a caso un campione da una popolazione finita composta da N elementi su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale con Z variabile normale standard e con z 1- / 2 il valore del suo quantile ( 1 - /2) contenga il valore della media della X per lintera popolazione.

22 Num 01 - 22 / 36 di conseguenza possiamo affermare che: indicando con A 1 - lampiezza di I 1 -, intervallo di confidenza allo 1 - per la media, si ha: da cui si ottiene: numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media

23 Num 01 - 23 / 36 possiamo quindi affermare che: indicando con A 1 - lampiezza dellintervallo di confidenza allo 1 - per la media I 1 - si ha: da cui si ottiene: numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media

24 Num 01 - 24 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media

25 Num 01 - 25 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media

26 Num 01 - 26 / 36 Se si è prefissato un valore massimo accettabile per lampiezza dellintervallo di confidenza, valore che indichiamo con A 1 - max, allora è possibile esplicitare il corrispondente valore minimo per la numerosità del campione: numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media

27 Num 01 - 27 / 36 Se si è prefissato un valore massimo accettabile per lampiezza dellintervallo di confidenza, valore che indichiamo con A 1 - max, allora è possibile esplicitare il corrispondente valore minimo per la numerosità del campione: numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la media - n N

28 Num 01 - 28 / 36 la numerosità minima del campione nella stima della varianza

29 Num 01 - 29 / 36 distribuzione della varianza campionaria corretta dato un campione con immagini { X 1, X 2, …, X n } proveniente da una popolazione infinita su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, la varianza campionaria corretta divisa per 2 fornisce una variabile casuale che segue una distribuzione C 2 con n - 1 gradi di libertà

30 Num 01 - 30 / 36 Intervalli di confidenza per la varianza campionaria corretta / 2

31 Num 01 - 31 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza considerando levento si nota che : da cui:

32 Num 01 - 32 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza indicando con A 1 - lampiezza di I 1 -, intervallo di confidenza allo 1 - per la varianza: si ottiene:

33 Num 01 - 33 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza Sappiamo che S n 2 è uno stimatore corretto e consistente della varianza quindi, al crescere della numerosità n del campione, il suo valore si distribuisce in modo sempre più concentrato in prossimità di 2

34 Num 01 - 34 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza E pertanto possibile ipotizzare che, per valori di n sufficientemente elevati, la casualità con cui viene estratto il campione non faccia variare in modo significativo il valore della varianza campionaria S n 2. Con queste premesse, dopo aver fissato il valore massimo accettabile per la ampiezza dellintervallo di confidenza, si può scrivere:

35 Num 01 - 35 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza da cui si ottiene la:

36 Num 01 - 36 / 36 numerosità del campione ed ampiezza dellintervallo di confidenza per la varianza il più basso valore dei gradi di libertà per cui i valori critici della C 2 soddisfano la: è pari a n min - 1 il valore di n min non compare in modo esplicito, ma deve essere individuato attraverso i gradi di libertà della C 2