Lezione 7 i Test statistici

Lezione 7 i Test statistici

introduzione ai test di ipotesi
L’inferenza sulla popolazione mediante il campione comporta, oltre alla stima dei parametri, il controllo di ipotesi al fine di valutare la loro compatibilità con i dati campionari. In linea di principio il procedimento implica il confronto della misura di un parametro con un termine di paragone prefissato per dedurre, ad un livello di fiducia prefissato, se la discrepanza dei loro valori sia da attribuire a cause accidentali oppure possa essere ritenuta sistematica. Sul piano logico si tratta di esprimere un giudizio su di una ipotesi “principale” e, se queste sono state formulate, su ipotesi “alternative” in conseguenza del valore assunto da un parametro campionario.

parte 1 le basi dei test

sommario test sull’ipotesi principale H0
azioni decisionali e criterio decisionale su H0 l’inferenza e le conseguenze sul criterio decisionale rischio di errore 1ª specie affidabilità del criterio decisionale e significatività del test test sull’ipotesi principale H0 e sulle alternative Hj azioni decisionali su H0 e su Hj rischio di errore 2ª specie affidabilità del criterio decisionale e potenza contro Hj formulazione di un test di ipotesi

test sull’ipotesi principale H0 : il criterio decisionale

azioni decisionali sull’ipotesi H0
In generale, quando viene espressa un’ipotesi, che indichiamo con H0, si possono assumere tre diverse posizioni: j si rifiuta H0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; k non si può escludere che H0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; l si conferma la validità di H0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione;

In generale, quando viene espressa un’ipotesi, che indichiamo con H0, si possono assumere tre diverse posizioni: j si rifiuta H0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; S. Illaro, patrono di Lugo, si festeggia il 30 febbraio k non si può escludere che H0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio; S. Petronio, patrono di Bologna, si festeggia il 4 ottobre l si conferma la validità di H0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; S. Ciriaco, patrono di Ancona, si festeggia il 4 maggio

In generale, quando viene espressa un’ipotesi, che indichiamo con H0, si possono assumere tre diverse posizioni, ma: nel caso in cui l’ipotesi H0 riguardi la caratteristica di una popolazione, per esempio: H0 : m = m oppure: H0 : s < s0 (in generale) non è possibile la terza azione decisionale l si conferma la validità di H0 disponendo di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; prima di aver esaminato l’intera popolazione!!!

La conferma dell’ipotesi H0 non è quindi possibile attraverso l’inferenza statistica e le prove a campione, ma può essere condotta esclusivamente con prove a tappeto. Le decisioni che possono essere prese mediante l’esecuzione di un test statistico su di un campione sono solo le prime due: j si rifiuta H0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; k non si può escludere che H0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio;

Come è facile vedere se il test a cui è stata sottoposta l’ipotesi H0 ha avuto esito positivo ed ha fornito informazioni sufficienti (potremmo dire: “se il test è stato utile”) l’azione decisionale è la j cioè il rifiuto di H0 : j si rifiuta H0 poiché si dispone di informazioni sufficienti a giustificare la decisione; k non si può escludere che H0 sia vera, ma non si dispone di informazioni sufficienti per esprimere un giudizio;

esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media m incognita e varianza s2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito all’ipotesi H0 : m ³ m0 ? le premesse a questo test sono le seguenti: si estrae un campione casuale dalla popolazione e si misurando i valori della caratteristica comune si definisce la variabile casuale X, si individuano i valori assunti dalla variabile casuale X in corrispondenza degli elementi che compongono il campione,

esempio 1: preso un campione di n elementi da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con media m incognita e varianza s2 conosciuta posso esprimere una decisione in merito all’ipotesi H0 : m ³ m0 ? questo test si conduce: definendo una opportuna variabile casuale a partire dagli stimatori campionari e fissando un valore “critico” (cioè un discriminante), calcolando il valore della variabile prescelta, confrontando tale valore con quello critico fissato e decidendo, in base al confronto, se è possibile rifiutare oppure se non è possibile rifiutare H0 : m ³ m0

esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ms. 1) Come definiamo la variabile casuale X ? La variabile casuale X associa a ciascun punto campione un numero positivo ed adimensionale di valore uguale al valore dello slew-rate misurato in V/ms .

esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ms. 2) Come valutare la affermazione dei tecnici del dR&D? Dato che non sarà possibile provare l’intera popolazione (non ancora prodotta) sarà necessario agire tramite un gruppo di prototipi, cioè un campione, ed accettare l’incertezza insita nel trasferire informazioni ricavate dal campione alla intera popolazione: ovviamente si userà la media campionaria come stimatore di m.

esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ms. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria? Si potrebbe pensare di fissare il discriminante al valore di m0 = 80, per rifiutare l’ipotesi qualora il valore della media campionaria risultasse minore di m0 = 80 : questa scelta è però sbagliata in quanto, se m fosse realmente uguale a m0 , a causa della aleatorietà del campione il valore della media campionaria avrebbe uguale probabilità di superare e di non superare il discriminante.

esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ms. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria?

esempio 1: I tecnici del Dipartimento R&D di una azienda produttrice di OpAmp affermano di avere messo a punto un nuovo layout del circuito in grado di aumentare lo slew-rate della tensione di uscita. A loro dire il nuovo valore tipico sarà maggiore o uguale a 80 V/ms. 3) Come definire il valore discriminante per la media campionaria? Si fissa il discriminante ad un valore diverso da m0 , tale da individuare un campo di valori in cui, se m fosse realmente uguale a m0 , il valore della media campionaria (aleatorio a causa della aleatorietà del campione) avrebbe probabilità molto bassa di entrare.

esempio 1: Il responsabile del Laboratorio Prove e Misure decide pertanto di adottare un test che prevede le seguenti fasi: 1. si costituirà un campione composto da un prestabilito numero di OpAmp, ad esempio 49 OpAmp; 2. mediante appositi strumenti si misurerà lo slew-rate di ciascun elemento del campione per ricavare i valori della X; 3. se il valore della media campionaria risulterà inferiore a 78,5 si rifiuterà l’affermazione dei tecnici del dR&D circa il preteso miglioramento; se invece tale soglia verrà uguagliata o superata non si contesterà la loro affermazione.

criterio decisionale sull’ipotesi H0
esempio 1: Il criterio decisionale adottato è quindi il seguente:

test sull’ipotesi principale H0 : le prestazioni del criterio decisionale

affidabilità del criterio decisionale su H0
il criterio decisionale che è stato adottato nell’esempio appena mostrato dice che, qualora la media campionaria risulti inferiore a 78,5, riterremo che il test ci abbia fornito informazioni sufficienti a decidere e rifiuteremo l’ipotesi H0 : m ³ m0 come è possibile individuare la probabilità che l’azione intrapresa, cioè il rifiuto di H0, sia sbagliata?

dai dati del problema è possibile individuare la distribuzione della media campionaria pertanto è possibile individuare il valore della probabilità: a

dai dati del problema è possibile individuare la distribuzione della media campionaria pertanto è possibile individuare il valore della probabilità: a indica quindi la probabilità di estrarre un campione “fallato” (cioè con media campionaria minore di 78,5) da una popolazione che ha media m = 80 e varianza s2 conosciuta; per come è stato fissato il criterio decisionale è evidente che la probabilità di commettere un errore negando H0 : m ³ m0 quando essa è realmente valida è pari alla probabilità di estrarre un campione “fallato” pertanto tale probabilità ha valore pari ad a;

non si deve però confondere il significato di a con il valore di a ! l’area in giallo rappresenta esclusivamente la probabilità che la media campionaria sia minore del discriminante prescelto. a il grafico, come è ben evidente, rappresenta la densità di probabilità di una variabile casuale continua, nel nostro caso la media campionaria, il cui valore compare sull’asse delle ascisse.

non si deve però confondere il significato di a con il valore di a ! l’area in giallo rappresenta esclusivamente la probabilità che la media campionaria sia minore del discriminante prescelto. a quando si esamina il criterio decisionale relativamente al caso j, cioè al rifiuto di H0 , per valutare la sua affidabilità si deve considerare che si sta discutendo di una variabile casuale binaria: · il rifiuto di H0 è sbagliato; · il rifiuto di H0 è giusto;

si è già notato che c’è una probabilità pari ad a che il rifiuto di H0 sia sbagliato! dato che il caso j, cioè il rifiuto di H0 , è un’azione che può essere esclusivamente sbagliata o giusta (*), è semplice individuare la probabilità che la scelta fatta sia giusta: (*) H0 è l’unica ipotesi che viene presa in considerazione.

la probabilità che j sia sbagliato, cioè che si rifiuti H0 quando essa è in realtà vera, viene indicata come: “rischio (di errore) di prima specie” la probabilità che j sia giusto, cioè che si rifiuti H0 quando essa è realmente falsa, viene indicata come: “affidabilità” (o “fiducia”) del criterio decisionale 1 - a è quindi la affidabilità del criterio decisionale che mi porta a rifiutare H0

significatività del test
Si è mostrato che la probabilità ( o rischio ) di commettere un errore di 1ª specie è legato alla scelta del valore discriminante; nel caso di un test sulla media della popolazione: per ridurre il rischio di errore di 1ª specie ed aumentare la fiducia, se non si modifica la numerosità del campione, è necessario aumentare il campo di valori dello stimatore campionario entro cui si afferma di non poter agire in quanto non si dispone di informazioni sufficienti.

significatività del test
Si è mostrato che la probabilità ( o rischio ) di commettere un errore di 1ª specie è legato alla scelta del valore discriminante; nel caso di un test sulla media della popolazione: per ridurre il rischio di errore di 1ª specie ed aumentare la fiducia, se non si modifica la numerosità del campione, è necessario aumentare il campo di valori dello stimatore campionario entro cui si afferma di non poter agire in quanto non si dispone di informazioni sufficienti: ciò equivale a dire che il risultato della prova è poco significativo.

significatività la probabilità che j sia sbagliato, cioè che si rifiuti H0 quando essa è in realtà vera, viene indicata come: “rischio (di errore) di prima specie” la probabilità che j sia giusto, cioè che si rifiuti H0 quando essa è realmente falsa, viene indicata come: “affidabilità” (o “fiducia”) del criterio decisionale il livello di significatività del criterio decisionale che mi porta a rifiutare H0 con affidabilità = 1 - a è pari ad a

formulazione di un test di ipotesi

test di ipotesi il processo di inferenza che è stato messo in atto per accettare o rifiutare un’ipotesi relativa alla popolazione attraverso lo studio del comportamento di un campione viene chiamato test di ipotesi

formulazione del test di ipotesi
per formulare correttamente un test di ipotesi si devono seguire alcuni passi ben precisi: 1. scelta della numerosità del campione; 2. costruzione della variabile casuale X 3. individuazione della “ipotesi principale” H0 ; 4. eventuale definizione di ipotesi alternative H1 , H2 , Hj ; 5. scelta dello stimatore campionario e determinazione della sua distribuzione ; 6. definizione della affidabilità richiesta ; 7. definizione della eventuale potenza minima richiesta ; 8. determinazione del valore del/dei discriminanti ; 9. verifica della potenza ottenuta: se inferiore a quanto richiesto si torna all’inizio e si aumenta la numerosità del campione ;

conduzione del test di ipotesi
- dopo aver formulato il test si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita ; - si conducono le prove sperimentali ; - si determina il valore dello stimatore campionario precelto ; - se tale valore cade nella regione di rifiuto si respinge l’ipotesi principale H0 ; - se il valore dello stimatore cade nella/nelle regione di non accettazione delle ipotesi alternative - non si accettano queste ultime e - non si rifiuta l’ipotesi principale H0 .

i test sulla media: H0

formulazione di un test sulla media

1. si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole condurre il test (nel caso occorrano più campioni si stabilisce la numerosità di ciascuni di essi). ricordiamo che se n è grande si può invocare il teorema limite centrale per affermare che la media campionaria è distribuita in modo normale qualunque sia la distribuzione della X

2. si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: la regola più semplice consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, valore xi pari al valore della grandezza caratteristica misurata in base ad una opportuna unità di misura. esempio: Statura h1 = 1,78 m Þ x1 = h2 = 1,82 m Þ x2 = 182 Tensione elettrica v1 = 12,4 V Þ x1 = 12,4 v2 = -9,2 V Þ x2 = -9,2

2. si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: la regola più semplice consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, valore xi pari al valore della grandezza caratteristica misurata in base ad una opportuna unità di misura. esempio: Statura h1 = 1,78 m Þ x1 = h2 = 1,82 m Þ x2 = 182 Tensione elettrica v1 = 12,4 V Þ x1 = 12,4 v2 = -9,2 V Þ x2 = -9,2 2. si definisce la regola di costruzione della variabile casuale X che sarà utilizzata nel test statistico: una regola alternativa consiste nel definire una variabile casuale X che abbia, per ciascun elemento della popolazione, un valore xi fornito da una arbitraria trasformazione lineare applicata al valore misurato della caratteristica comune. Statura h1 = 1,78 m Þ x1 = (1,78 – 1,70) / 0,04 = h2 = 1,82 m Þ x2 = (1,82 – 1,70) / 0,04 = 3 Tensione elettrica v1 = 12,4 V Þ x1 = (12,4 – 1,6) / 10,8 = v2 = -9,2 V Þ x2 = ( -9,2 – 1,6) / 10,8 = -1

3. si individua l’ipotesi H0 (ipotesi principale) che deve essere sottoposta a test. esempio: H0 : m ³ m0 ; oppure: H0 : m = m0 ; il test non ci porta a determinare quanto valga la probabilità che l’ipotesi H0 sia vera oppure falsa, ma ci dice solamente se possiamo escludere, con il rischio di errore prefissato, che l’ipotesi H0 sia vera.

5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza s2 è nota e se il campione è numeroso (n > 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media m e varianza s2 / n; - la variabile che ha distribuzione normale standard.

5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza s2 è nota e se il campione è numeroso (n > 30) si potrebbero usare indifferentemente: - la media campionaria che ha distribuzione normale con media m e varianza s2 / n; - la variabile che ha distribuzione normale standard. Problema: non dispongo di valori tabulati !

si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la popolazione ha distribuzione normale con varianza s2 incognita si usa la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se n > 30 la variabile T può essere approssimata con la: che ha distribuzione normale standard

5. si sceglie la variabile campionaria idonea a svolgere il test: se la varianza s2 è nota ma il campione è poco numeroso (n < 30) si usa: - la variabile che ha distribuzione t di Student con n - 1 g.d.l. se la X ha distribuzione normale

6. si stabiliscono i valori a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e 1 - a della affidabilità richiesta. La probabilità a di commettere un errore di 1ª specie viene chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il test. a

6. si stabiliscono i valori a del rischio di errore di 1ª specie che si è disposti a correre e 1 - a della affidabilità richiesta. La probabilità a di commettere un errore di 1ª specie viene chiamata “livello di significatività” al quale si intende condurre il test. criterio di scelta: la scelta del valore di rischio accettabile richiede considerazioni di vario tipo, non solamente tecniche ma, molto spesso, economiche, di politica aziendale, di immagine, ecc.

8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica campionaria che individua nel dominio la “regione di rifiuto” dell’ipotesi principale H0 . a

8. in base a ciò che si è stabilito nei punti precedenti, si identifica il valore critico (o la coppia di valori critici) della statistica campionaria che individua nel dominio la “regione di rifiuto” dell’ipotesi principale H0 . a / 2

conduzione di un test sulla media
Dopo aver formulato il test: - si procede alla composizione del campione con numerosità pari a quella stabilita, - si conducono le prove sperimentali, - si determina il valore della variabile campionaria precelta, a / 2

conclusione del test Se il valore della variabile cade nella regione di rifiuto di H0 si respinge l’ipotesi principale H0 con un rischio pari ad a di commettere un errore: - il rifiuto di H0 avviene con una “fiducia” pari a 1 - a corrispondente alla probabilità di avere correttamente respinto H0 quando essa è realmente falsa

numerosità del campione
1. si stabilisce la numerosità n del campione con cui si vuole condurre il test. per comprendere l’effetto di un aumento della numerosità del campione si può fare la seguente considerazione: supponiamo di avere scelto come variabile campionaria la: che, per n sufficientemente grande, sappiamo avere distribuzione normale standardizzata

numerosità del campione

1° test sulla media varianza nota

test di ipotesi sulla media (con s2 nota)
Problema: Si è acquistato un campione di induttori di nuovo tipo e ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico di induttanza della popolazione sia uguale a 12,50 mH, Si definisce sulla popolazione una X come “valore della induttanza misurata in mH” che ha varianza s2 (per l’intera popolazione) nota: s2 = 0,09

test di ipotesi sulla media (con s2 nota)
Si è acquistato un campione di induttori di nuovo tipo e ci si interroga sulla possibilità che il valore tipico di induttanza della popolazione sia uguale a 12,50 mH. stabiliamo di operare con un campione di 36 induttori ; Definiamo, come da testo del problema, la X come “valore della induttanza misurata in mH” indicando con m0 il valore 12,50 si scrive: H0 : m = m0 ; come variabile campionaria viene scelta la media campionaria che, se la numerosità n del campione è sufficientemente elevata, segue la distribuzione normale con media m e varianza s2 / n (si ricordi il teorema limite centrale);

Test di ipotesi sulla media (con s2 nota)
6. fissiamo il livello accettabile per il rischio di errore di prima specie: a = 0,04 ( che comporta un “livello di fiducia” del 96% ); 8. calcoliamo il valore (oppure i valori) critici della statistica campionaria adottata che individuano le regioni di accettazione e di rifiuto della ipotesi principale H0 in funzione del valore di a che è stato prestabilito (0,04); utilizzeremo la “distribuzione a due code” in quanto l’ipotesi principale deve essere rigettata sia se la media della X per l’intera popolazione risulta superiore a m0 , sia se essa risulta inferiore a m0

utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS Excelâ per il quale la funzione da invocare è la INV.NORM(probabilità;media;dev_standard) , risulta agevole individuare i due valori critici cercati: INV.NORM( a / 2 ; m0 ; s / Ön ) INV.NORM( 1 - a / 2 ; m0 ; s / Ön )

utilizzando un foglio elettronico, per esempo MS Excelâ per il quale la funzione da invocare è la INV.NORM(probabilità;media;dev_standard) , risulta agevole individuare i due valori critici cercati: INV.NORM( a / 2 ; m0 ; s / 6 ) INV.NORM( 1 - a / 2 ; m0 ; s / 6 ) 0,02

regione di rifiuto di H0 : 0,02

composto il campione si procede con la misurazione della induttanza di ciascun elemento mediante un “metodo a risonanza”

terminata la campagna sperimentale sul campione e determinata la media campionaria si ottiene:

Dato che possiamo, con un “livello di fiducia” del 96%, rigettare l’ipotesi H0 : m = m0 = 12,50

Esercizio 1

Esercizio 1 Un costruttore di condensatori teme che la linea di produzione sia andata “fuori taratura” e produca componenti con una capacità inferiore a quella desiderata: osservando i valori della capacità misurata a 1 kHz di tre condensatori da 10 mF nota i seguenti valori: 9,84 mF 9,94 mF 9,96 mF Decide quindi di condurre un test statistico per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 mF, valore questo ritenuto accettabile dato che la classe di tolleranza dei condensatori è ± 1% Il test deve essere condotto con una affidabilità del 95% e con un campione di 16 elementi.

Esercizio 1 … per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 mF… … affidabilità del 95% … campione di 16 elementi. Gli elementi del campione di 16 condensatori mostrano i seguenti valori della capacità misurata a 1 kHz: 9,80 mF 9,84 mF 9,88 mF 9,90 mF 9,92 mF 9,94 mF 9,95 mF 9,96 mF 9,96 mF 9,97 mF 9,98 mF 10,00 mF 10,02 mF 10,04 mF 10,08 mF 10,12 mF Cosa conclude il costruttore ?

Esercizio 1 1. La numerosità del campione era stata data nella definizione del problema: 2. Come variabile casuale X viene scelta una variabile adimensionale che assume, per ciascun elemento della popolazione, valore pari a: 3. Come ipotesi principale H0 si prende: (… per assicurarsi che la capacità tipica della popolazione non sia scesa sotto i 9,90 mF…)

Esercizio 1 5. È plausibile che la X abbia distribuzione normale e come variabile campionaria idonea a svolgere il test si prende: ( la varianza s2 non è nota ed il campione ha n = 16) - la variabile che ha distribuzione t di Student con 15 g.d.l. 6. si stabilisce il valore ( … affidabiltà del 95% … ) del rischio di errore di 1ª specie: a = 0,05

Esercizio 1 8. Il valore critico della T che individua la regione di rifiuto di H0 è: e la regione di rifiuto di H0 è

Esercizio 1 Dai dati del problema si ricava:

Esercizio 1 Dato che: e che la regione di rifiuto è:
il costruttore conclude che è possibile escludere che la capacità tipica della produzione sia scesa sotto i 9,90 mF

Lezione 7 i Test statistici

Presentazioni simili

Presentazione sul tema: "Lezione 7 i Test statistici"— Transcript della presentazione:

Presentazioni simili

Sul progetto

Feed-back

Entrare

Autorizzarsi attraverso i social network:

Lezione 7 i Test statistici

Presentazioni simili

Presentazione sul tema: "Lezione 7 i Test statistici"— Transcript della presentazione:

Presentazioni simili

Sul progetto

Feed-back