BREMSSTRAHLUNG INVERSO Assorbimento collisionale nei plasmi, in regime lineare e non lineare. Ciro DAmico, seminario di Ottica Quantistica A.A. 2001-2002.

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1 BREMSSTRAHLUNG INVERSO Assorbimento collisionale nei plasmi, in regime lineare e non lineare. Ciro DAmico, seminario di Ottica Quantistica A.A. 2001-2002 Docente del corso: Prof. Danilo Giulietti

2 Sommario Introduzione La legge di Kirchhoff Lemissione di Bremsstrahlung (cenni) Lassorbimento lineare Lassorbimento non lineare Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare Un elegante esperimento Conclusioni

3 Introduzione (1) Con i laser di potenza oggi si possono raggiungere intensità dellordine di La relazione che lega lintensità di un onda allampiezza del campo elettrico che trasporta è Questo significa che si possono raggiungere campi el. Dellordine di

4 Introduzione (2) Campi di simile ampiezza riescono a ionizzare gli atomi; se un impulso laser di grande potenza è focalizzato su un bersaglio solido, in breve tempo, si formerà un plasma di elevata densità iniziale. Necessità di studiare linterazione laser-plasma. Quando si ha a che fare con radiazione di elevata intensità, grande importanza vengono ad assumere, soprattutto, i fenomeni non lineari. Parleremo di un particolare processo di assorbimento, causato dalle collisioni nei plasmi (soprattutto quelle elettrone-ione). Lo esamineremo sia in regime lineare che in regime non lineare. Tale processo di assorbimento prende il nome di Bremsstrahlung inverso

5 Introduzione (3) In un plasma valgono le equazioni di Maxwell. è legato ad : e si riferiscono a tutte le cariche e le correnti presenti nel plasma: è anche legata al campo elettrico da una relazione non locale temporalmente: è il Tensore conducibilità elettrica, che è legato al tensore dielettrico dalla relazione

6 Introduzione (4) Combinando opportunamente le equazioni di maxwell, per plasmi isotropi, si trova la relazione di dispersione delle onde e.m trasversali: Lindice di rifrazione di un plasma è, di solito, una grandezza complessa

7 Introduzione (5) Onda di intensità che attraversa un plasma ( intensità iniziale) Il coefficiente di assorbimento è legato a e a e dalle relazioni: Approssimazione di plasma freddo:. Il plasma può essere pensato come linsieme di un fluido di elettroni, immerso in un background di carica positiva stazionaria, rappresentata dagli ioni.

8 Introduzione (6) Il modello fluido collisionale descritto dalle equazioni: predice

9 La legge di Kirchhoff. Plasmi isolati in equilibrio termodinamico con le pareti, a temperatura T, irraggiano di corpo nero secondo la legge di planck: La stessa radiazione attraverserà il plasma venendo assorbita secondo la legge esponenziale Allequilibrio lemissione deve bilanciare lassorbimento; si trova, quindi, un rate di emissione (Legge di Kirchhoff) :

10 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (1). Le particelle cariche che attraversano la materia vengono diffuse per collisione. Durante una collisione tali particelle vengono accelerate e irraggiano radiazione elettromagnetica secondo la formula classica di Larmor La radiazione emessa da particelle cariche durante gli urti viene chiamata Bremsstrahlung (radiazione di frenamento). Se lurto avviene contro una seconda particella carica, anche questultima essendo accelerata irraggierà e bisognerà costruire una sovrapposizione coerente delle due radiazioni, ma noi supponiamo che una delle due particelle abbia massa infinita.

11 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (2). Si può dimostrare che vale la relazione dove abbiamo indicato con la trasformata di fourier di. Per calcolare consideriamo un semplice modello di scattering di unelettrone su uno ione di carica Ze:

12 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (3). Grandi parametri dimpatto piccole deflessioni Per cui si ricava: Dove e sono delle funzioni di Bessel modificate, rispettivamente, del primo e dello zeresimo ordine.

13 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (4). Per (basse frequenze) e hanno i seguenti valori asintotici (Abramowitz e Stegun ) possiamo inoltre pensare che se ( t è il tempo di durata di una collisione ) il contributo maggiore venga da, quindi possiamo approssimare a che è lenergia emessa per elettrone e per unita di intervallo spettrale

14 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (5). Il numero di ioni con parametro dimpatto compreso tra e, che un elettrone incontra, per unità di volume, muovendosi nel plasma è dato da è la potenza emessa da un elettrone, per unità di volume e di intervallo di frequenza. e sono il massimo e il minimo dei parametri dimpatto, rispettivamente.

15 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (6). Il numero di elettroni, per unità di volume, aventi velocità compresa tra e è dato da: = funzione di distribuzione delle velocità degli elettroni

16 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (7). THERMAL BREMSSTRAHLUNG: distribuzione di Maxwell- Boltzann. è la potenza totale emessa, per unità di volume e di intervallo di frequenza.

17 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (8). La potenza totale emessa per unita di intervallo spettrale non dipende dalla frequenza. Effetti quantistici possono essere trascurati se

18 Emissione di Bremsstrahlung (cenni) (9). Calcolo di e : con riferimento a fig.1: FATTORE DI GAUNT: termine correttivo. I parametri e sono funzioni di per cui deve essere mediato sulle velocità. Per thermal Bremsstrahlung è:

19 Lassorbimento lineare (1). Quando un elettrone viene accelerato nel campo columbiano di uno ione emette un fotone. Sovente può succedere che lelettrone accelerato assorba un fotone; tale processo di assorbimento viene chiamato Bremsstrahlung inverso. Lemissione o lassorbimento di radiazione da parte di una particella carica, a bassi campi, è un processo a singolo fotone; cioè lelettrone può emettere o assorbire un solo fotone alla volta. Come vedremo, invece, per intensi campi laser (regime non lineare) lemissione e lassorbimento di radiazione sono processi a molti fotoni. Abbiamo gia calcolato tutto ciò che ci serve per ricavare il coefficiente di assorbimento di Bremsstrahlung inverso in regime lineare.

20 Lassorbimento lineare (2). Il coefficiente di assorbimento per radiazione poco intenza, in plasmi all equilibrio termico, viene calcolato mediante la legge di Kirchhoff = Intensità spettrale di corpo nero = Intensità spettrale per emissione di Bremssteahlung

21 Lassorbimento lineare (3). Caratteristiche importanti dellassorbimento in regime lineare: 1) è meno efficace ad alte temperature 2) è meno efficace ad alte frequenze 3) è più efficace per alte densità del plasma inoltre 4) a basse temperature, contributi dalla radiazione di ricombinazione 5) effetti quantistici di sovrapposizione si trascurano per

22 Lassorbimento lineare (4). Massimo assorbimento in quegli strati del plasma a densità più elevata in cui il laser può penetrare, cioè vicini alla densità critica: (coefficiente di assorbimento massimo) nella nostra trattazione classica ( e temperature al di sotto dei eV) il fattore di Gaunt si può scrivere come:

23 Lassorbimento lineare (5). La teoria di Vlasov e la teoria fluida, al primo ordine, ricavano il coefficiente di assorbimento lineare come una funzione della frequenza di collisione elettrone-ione: ora, eguagliando tale coefficiente a quello calcolato per lassorbimento di Bremsstrahlung inverso possiamo calcolare una frequenza efficace di collisione elettrone-ione:

24 Lassorbimento lineare (6). UN SEMPLICE ESERCIZIO! Si consideri della radiazione monocro matica ( ) poco intensa ( ) che incide normalmente su un plasma isotermo con un gradiente lineare di densità,e spesso. fig.3. Sia per e per. Vogliamo sapere la percentuale di radiazione che esce dal plasma in.

25 Lassorbimento lineare (7). ESEMPIO 1: laser a Nd (, ) ESEMPIO 2: laser a (, )

26 Lassorbimento non lineare (1). Elettrone libero in un campo elettrico oscillante di ampiezza massima velocità di quiver velocità termica Quando >> il moto dellelettrone sarà determinato in primo luogo da campo di radiazione, e tutte le formule ricavate fino ad ora non sono più valide! (regime non lineare). Un parametro che misura il grado di non linearità del problema è

27 Lassorbimento non lineare (2). Radiazione di lunghezza donda in un plasma a temperatura ; si può mostrare che E facile mostrare anche che quando e allora Come tutti i fenomeni non lineari anche lassorbimento multifotonico è assai ostico per una accurata trattazione analitica. Daremo qualche accenno di calcolo, ma soprattutto delle referenze riguardo al problema, in seguito. Adesso ci limitiamo a fare dei discorsi qualitativi.

28 Lassorbimento non lineare (3) Per campi laser intensi il coefficiente di assorbimento diventa una funzione dell intensità del laser. Qualitativamente possiamo trovare una espressione approssimata del coefficiente di assorbimento, con la sostituzione tenendo conto del fatto che è diverso anche il fattore di Gaunt. Sostituendo si ottiene: E solo una espressione approssimata, ma landamento con è in accordo con le espressioni che si ottengono con calcoli più accurati.

29 Lassorbimento non lineare (4). proprietà importante: potenza assorbita = Intensità più grandi vengono assorbite meno efficacemente. Un assorbimento ottimale si ha dunque quando

30 Lassorbimento non lineare (5). Come abbiamo fatto in precedenza possiamo calcolare lassorbimento massimo, che si presenterà, ancora una volta, in quelle zone del plasma vicine alla densità critica:

31 Lassorbimento non lineare (6). Metodo quantistico di Osborn: hamiltoniano di un elettrone nel campo columbiano di uno ione, in presenza di radiazione elettromagnetica intensa + teoria delle perturbazioni al primo ordine, per il potenziale columbiano. (Osborn R.K. 1972 Phys. Rev. A.5 1660-2). RISULTATI:

32 Lassorbimento non lineare (7). Brysck 1975 usa alcune proprietà matematiche delle funzioni di Bessel e delle funzioni ipergeometriche confluenti (Abramowitz, Stegun) e calcola (Brysck H., 1975, J. Phys. 1260):

33 Lassorbimento non lineare (8) F è un fattore correttivo del coefficiente di assorbimento multifotonico rispetto a quello lineare, per campi deboli. Resta confermato allora che lassorbimento ottimale si ha quando Ecco ciò che ha ottenuto Brysck

34 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (1) Argomento: scattering di elettroni da un potenziale V debole, in presenza di un campo elettromagnetico intenso. (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973). Utilizzo dellequazione di Schrödinger per calcolare gli stati dellelettrone prima e dopo lurto. Lequazione di Schrödinger dipendente dal tempo, per il nostro problema è Potenziale vettore forte: processi indotti dominano i processi spontanei. Inoltre supponiamo il campo spazialmente uniforme. Come risultato possiamo trascurare nellequazione leffetto di. Possiamo scrivere:

35 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (2) Per V=0 la soluzione è unonda piana, corrispondente ad un impulso mediato nel tempo Per risolvere lequazione completa usiamo il metodo della funzione di Green ritardata,, definita da:

36 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (3) Specializzandoci al caso, la funzione di Green si può scrivere come SOLUZIONE: onda piana corrispondente ad un impulso iniziale dellelettrone vogliamo la soluzione essere unonda piana nel remoto passato ( )

37 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (4)

38 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (5) Il secondo termine nella soluzione generale si potrà allora scrivere come una somma infinita dove, per il solito modello di scattering, per grandi r

39 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (6) La sezione differenziale di scattering è definita da Inoltre si dimostra che Correnti di probabilità associate, rispettivamente, allonda piana incidente, e allonda sferica presente in, per grandi r:

40 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (7) Formula finale per la sezione differenziale di scattering di scattering Approssimazione di potenziale debole: possiamo pensare che, quando il potenziale V è debole, non si commetta un grosso errore operando la sostituzione

41 Processi multifotonici nel Bremsstrahlung non lineare (8)

42 Un esperimento elegante (1) Weingartshofer et al. (A. Weingarsthofer, J.K.Holmes, G.Caudle, E.M.Clarke, 1977, Phys. Rev. Lett. 39, 269) Fascio monoenergetico ( ) di elettroni su Ar ; rivelati elettroni scatterati a Sui centri di scattering era presente un laser a,impulsato e focalizzato: 50 MW ( e ). Studiati i due processi multifotonici (emissione di n fotoni) (assorbimento di n fotoni)

43 Un esperimento elegante (2) Per campi deboli: assorbimento o emissione di un singolo fotone alla volta (H.Kruger, M.Schulz, 1976, J. Phys. B 9, 1899)

44 Un esperimento elegante (3). Per campi intensi erano attesi processi multifotonici. Un calcolo semiclassico da (N.M.Kroll, K.M.Watson, Phys. Rev. A8, 804, 1973)

45 Un esperimento elegante (4) Risultati sperimentali:

46 Conclusioni. Il Bremsstrahlung inverso, sia in regime lineare sia in regime non lineare, è stato un fenomeno molto studiato; il fenomeno ha destato interesse soprattutto presso i fisici teorici, ma oggi non sono poche le sue applicazioni in svariati campi della fisica che vanno dalla spettroscopia allastronomia, a qualsiasi disciplina scientifica in cui linterazione laser-plasmi occupa un ruolo di primissimo piano.

47 Lo scienziato non sfida luniverso; lo accetta. E un piatto da assaporare, un regno da esplorare; è unavventura e una gioia senza fine. Esso è compiacente ed elusivo, ma mai monotono. E meraviglioso sia nel piccolo sia nel grande. In breve, la sua esplorazione è la più elevata occupazione per un gentiluomo I. I. RABY