Prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Quesiti per lEsame di Stato Il coefficiente binomiale.

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1 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Quesiti per lEsame di Stato Il coefficiente binomiale

2 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Sommario IL COEFFICIENTE BINOMIALE 1. Permutazioni e fattoriale 2. Il coefficiente binomiale 3. Il binomio di Newton 4. Quesiti sul coefficiente binomiale

3 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Permutazioni e fattoriale: Quanti siano tutti i possibili anagrammi (anche privi di senso) di una data parola? con 3 lettere, per esempio ape, otteniamo i seguenti 6 anagrammi: ape, aep, pae, pea, eap, epa Con 4 lettere il numero di anagrammi cresce: rosa, roas, rsoa, rsao, raos, raso, orsa, oras, osra, osar, oars, oasr, sroa, srao, sora, soar, sarò, saor, aros, arso, aors, aosr, asro, asor. Sono 24. Se provassimo con 5 lettere otterremmo 120

4 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Perché? n scelte possibili per la prima lettera, a questo punto restano n-1 scelte possibili per la seconda, n-2 scelte possibili per la terza e cosi via….

5 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Definizione ricorsiva di n! II fattoriale di un numero n può essere definito in modo ricorsivo: 1!=1 n! = n·(n-1)! Il fattoriale cresce molto rapidamente: 10! =3 628 000 e 70! è un numero di 101 cifre. Risulta utile definire anche 0!; si pone per definizione 0!=1 e allora la definizione ricorsiva si modifica nel seguente modo: 0!=1 n! = n·(n-1)!

6 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Il coefficiente binomiale e il teorema del binomio: Sappiamo che (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3. Nel primo caso i coefficienti dello sviluppo sono (1, 2, 1), nel secondo caso (1, 3, 3, 1). Proseguendo nel calcolo delle successive potenze del binomio (a + b) otteniamo: (a + b) 4 =a 4 +4a 3 b+ 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 =a 5 +5a 4 b+ 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5. Sorge l'esigenza di generalizzare: qual è lo sviluppo di (a + b) n ?

7 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Poniamo un problema che apparentemente è molto lontano da questo. Dato un insieme A che contiene n elementi; vogliamo sapere quanti sono i sottoinsiemi distinti di A che contengono k elementi, per ogni k compreso tra 0 e n. Cominciamo a considerare un insieme di 2 elementi, per esempio {a,b}: - il numero di sottoinsiemi che hanno O elementi è 1: - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 2: {a}, {b}; - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 1: {a,b}. Ritroviamo i numeri 1, 2, 1;

8 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Vediamo cosa accade per gli insiemi di 3 elementi, come {a, b, c}: - il numero di sottoinsiemi che hanno O elementi è 1: - il numero di sottoinsiemi che hanno 1 elemento è 3: {a}, {b}, {c} - il numero di sottoinsiemi che hanno 2 elementi è 3: {a,b} {a,c} {b,c}; - il numero di sottoinsiemi che hanno 3 elementi è 1: {a,b,c}. Ritroviamo la sequenza (1, 3, 3, 1), la stessa dello sviluppo di (a + b) 3. Non è difficile proseguire, e scoprire che anche per insiemi di 4 elementi si ritrovano le sequenze (1, 4, 6, 4, 1). Le stesse sequenze si ottengono in due problemi differenti; è probabile che ci sia per entrambi la stessa spiegazione. Il coefficiente di a 2 b 2 nello sviluppo di (a+b) 4 è 6; il numero di sottoinsiemi, aventi 2 elementi, di un insieme di 4 elementi, per esempio A = {a, b, c, d}, è anch'esso 6. {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b, d}, {c, d}.

9 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Guardiamo questo esempio da un altro punto di vista. In quanti diversi modi possiamo selezionare 2 elementi dallinsieme A = {a, b, c, d}? Abbiamo 4 scelte per il primo elemento, e 3 per il secondo, quindi 4 3 = 12 scelte. Questo sarebbe il numero di differenti scelte ordinate di 2 elementi presi da un insieme di 4 elementi. Ma a noi non interessa lordinamento: il sottoinsieme che contiene, per esempio, gli elementi a, d, è stato così contato più volte (2 volte): {a,d,}, {d,a}.

10 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Dunque dovremo dividere 12 per il numero dei diversi possibili ordinamenti di 2 elementi, cioè, come abbiamo visto, per il numero di permutazioni di 2 elementi, che è 2 ! = 2. In conclusione: come ci aspettavamo. Quanti sono i sottoinsiemi di 4 elementi di un insieme di 6 elementi? Ci sono 6 scelte possibili per il primo elemento, 5 per il secondo, 4 per il terzo, 3 per il quarto, quindi 6 5 4 3 scelte ordinate, che dobbiamo dividere per 4 ! :

11 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Possiamo concludere che il numero di sottoinsiemi aventi k elementi di un insieme di n elementi oppure il numero di modi in cui seleziono k elementi da un insieme di n oggetti è Naturalmente il numero di sottoinsiemi aventi 0 elementi è sempre 1, cioè l'insieme vuoto; il corrispondente coefficiente binomiale sarebbe Questo risultato giustifica la precedente definizione: 0! = 1.

12 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Torniamo al problema dello sviluppo di (a + b) n e mostriamo che è del tutto equivalente al problema appena considerato. Che cosa significa calcolare lo sviluppo di (a + b) n ? Dobbiamo calcolare il prodotto di n fattori (a+b)(a+b)... (a+b). Se fosse n = 3, dovremmo moltiplicare ogni termine del primo monomio per ogni termine del secondo, e ciascun risultato per ogni termine del terzo; in tutto 8 monomi. Ovvero da ogni binomio (a + b) prendiamo a caso un termine, ottenendo così una terna di lettere, e facciamo questo in tutti i modi possibili, che sono appunto 2 3 =8. Nel risultato, non ci interessa lordine con cui si susseguono a e b, importa soltanto quante volte compare a. C'è un solo modo di ottenere aaa, ci sono invece 3 scelte diverse per a 2 b: aab, aba, baa.

13 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Ma questo è del tutto equivalente a determinare quanti sottoinsiemi di 2 elementi abbia un insieme di 3 elementi Ed è del tutto equivalente a determinare in quanti modi posso selezionare 2 elementi da un insieme che ne contiene 3. Esempio: Determinare i coefficienti dello sviluppo di (a +b) 6. Quest'ultimo esempio mette in evidenza la simmetria dei coefficienti, precedentemente osservata.

14 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Il coefficiente binomiale I numeri vengono anche detti coefficienti binomiali Il coefficiente binomiale risponde alle domande: 1. "dati n oggetti, in quanti modi ne posso scegliere k? 2. "dato un insieme di n oggetti, quanti sono i sottoinsiemi composti da k elementi? 3. dato (a+b) n qual è il coefficiente di b k ? Proprietà

15 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Teoremi Vale inoltre il seguente teorema relativo alla somma di coefficienti binomiali: Dimostrazione La somma di tutti i coefficienti binomiali è uguale al numero di tutti i sottoinsiemi di un insieme A di n elementi. Ragioniamo in termini di scelte: un sottoinsieme S di A può essere costruito scegliendo, per ogni elemento dellinsieme, se esso appartenga oppure non appartenga a S; abbiamo 2 possibili scelte per ciascun elemento di A, perciò 2 n è il numero dei sottoinsiemi di A.

16 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Il binomio di Newton Si chiama "binomio di Newton" la formula per lo sviluppo dell'n-esima potenza di un binomio. Per ogni n>1 risulta: Una conseguenza immediata del teorema del binomio è una dimostrazione alternativa del teorema sulla somma dei coefficienti binomiali

17 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 interpretiamo ogni numero per mezzo del corrispondente coefficiente binomiale: per esempio consideriamo il numero 6 nellultima riga e i due elementi della precedenti riga che gli «stanno sopra»: 6 =3 +3, allora Questa apparente regolarità è effettivamente una proprietà dei coefficienti binomiali, che possono essere definiti in termini di coefficienti binomiali «più piccoli».

18 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Teorema Dimostrazione E sufficiente utilizzare la definizione di coefficiente binomiale:

19 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Abbiamo visto che il coefficiente binomiale ci indica il numero di sottoinsiemi composti da k elementi presi da un insieme che ne contiene n. Nel primo addendo si considerano i sottoinsiemi composti da k elementi nei quali non cè lelemento contrassegnato. Il secondo addendo considera i sottoinsiemi composti da k elementi nei quali cè anche lelemento contrassegnato.

20 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 2007 – Scientifico tradizionale 2007 – Scientifico PNI supplettiva

21 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 2008 – Scientifico tradizionale 2008 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane allestero (Europa) Quale significato attribuisci al simbolo Esiste un valor e k per cui ?

22 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 Oppure ricordando che 2008 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane allestero (Americhe) Quante diagonali ha un poligono di 2008 lati?

23 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 2007 – Scientifico tradizionale – Scuole italiane allestero (Europa) Quante cifre ha 7 60 ? Considero i numeri di 4 cifre, ad esempio, da 1000 a 9999. Le cifre sono 4 in quanto il numero è (una cifra per le unità, una per le decine, una per le centinaia e una per le migliaia). Pertanto Quindi il numero di cifre è 51. 2006 – Scientifico tradizionale Si dimostri che che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b) n è uguale a 2 n.

24 prof. Fabio Bonoli6 maggio 2009 2006 – Scientifico PNI Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre questanno il centenario della nascita, alla domanda: che cosè la probabilità? era solito rispondere: la probabilità non esiste!. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?