Università degli Studi di Padova Progetto Lauree scientifiche Buratto Alessandra Dipartimento Di Matematica Pura Ed Applicata Liceo Scientifico "L. da.

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1 Università degli Studi di Padova Progetto Lauree scientifiche Buratto Alessandra Dipartimento Di Matematica Pura Ed Applicata Liceo Scientifico "L. da Vinci Treviso

2 Modelli di Ottimizzazione su rete Cammino minimo Cammino minimo Minimo albero ricoprente Minimo albero ricoprente Flusso massimo Flusso massimo Flusso di costo minimo Flusso di costo minimo Pianificazione di progetti Pianificazione di progetti Trasporti (Ditta Zorzi – TV) Trasporti (Ditta Zorzi – TV) assegnamento assegnamento

3 Programma Introduzione alla Teoria dei Grafi Introduzione alla Teoria dei Grafi Formulazione del problema in termini di programmazione lineare Formulazione del problema in termini di programmazione lineare Uso di Excel per la formulazione e la risoluzione dei problemi Uso di Excel per la formulazione e la risoluzione dei problemi

4 Cammino minimo Minimizzazione della distanza percorsa Minimizzazione della distanza percorsa Minimizzazione del costo totale di una sequenza di attività Minimizzazione del costo totale di una sequenza di attività Minimizzazione del tempo totale per svolgere una sequenza di attività Minimizzazione del tempo totale per svolgere una sequenza di attività Cammino minimo da origine a destinazione Cammino minimo da origine a destinazione Cammino minimo da origine a qualunque altro nodo Cammino minimo da origine a qualunque altro nodo Cammino minimo da ogni nodo a qualunque altro nodo. Cammino minimo da ogni nodo a qualunque altro nodo.

5 Cammino minimo a Seervada Park O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

6 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco O (A-B-C) A2

7 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco O (A-B-C) A2A2OA

8 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco O (B-C) C4 A (B-D) B 2+2=4

9 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco O (B-C) C4C4OC A (B-D) B 2+2=4 B4AB

10 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco A (D) D2+7=9 B (D-E) E 4+3=7 C (E) E4+4=8

11 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco A (D) D2+7=9 B (D-E) E 4+3=7 E7BE C (E) E4+4=8

12 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco A (D) D2+7=9 B (D) D 4+4=8 E (D-T) D 7+1=8

13 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco A (D) D2+7=9 B (D) D 4+4=8 D8BD E (D-T) D 7+1=8 D8ED

14 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco D (T) T 8+5=13 E (T) T7+7=14

15 Algoritmo efficiente per Cammino minimo O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Nodi scelti connessi Nodi candidati Distanza tot (da O) K-esimo nodo vicino Distanza minima Ultimo arco D (T) T 8+5=13 T13DT E (T) T7+7=14

16 Cammini minimi a Seervada Park O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 O – A – B – D – T O – A – B – D – T O – A – B – E - D – T O – A – B – E - D – T } Lughezza 13

17 Modello di programmazione matematica Minimizzazione distanza percorsa: Minimizzazione distanza percorsa: se percorro un arco tengo conto della sua lunghezza c ij, se non lo percorro non ne tengo conto.se percorro un arco tengo conto della sua lunghezza c ij, se non lo percorro non ne tengo conto.Variabile La distanza percorsa è data dalla sommatoria

18 Vincoli Dal nodo ORIGINE esco e non vi entro più. Dal nodo ORIGINE esco e non vi entro più. Nel nodo DESTINAZIONE entro e non vi esco più. Nel nodo DESTINAZIONE entro e non vi esco più. In ogni altro nodo se vi entro vi devo anche uscire. In ogni altro nodo se vi entro vi devo anche uscire. FLUSSO NETTO = FLUSSO IN USCITA – FLUSSO IN ENTRATA

19 Vincoli ORIGINE: ORIGINE: FLUSSO NETTO = 1 FLUSSO NETTO = 1 DESTINAZIONE: FLUSSO NETTO = -1 DESTINAZIONE: FLUSSO NETTO = -1 Ogni altro nodo: FLUSSO NETTO = 0 Ogni altro nodo: FLUSSO NETTO = 0

20 Cammino minimo (PL)

21 Albero Ricoprente Albero (tree): sottografo connesso aciclico O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Valore 24

22 Albero Ricoprente No Albero: sconnesso O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

23 Albero Ricoprente No Albero: ciclico O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

24 Minimo albero Ricoprente Minimo albero Ricoprente Progettazione di reti Rete di comunicazioni (fibre ottiche – tv via cavo) Rete di trasporto, min costi costruzione (strade – ferrovie) Rete trasmissione elettrica alto voltaggio Rete collegamenti elettrici (computer) min lunghezza collegamenti

25 Minimo albero Ricoprente Albero di lunghezza minima (si parte da un nodo qualsiasi) O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

26 Minimo albero Ricoprente O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

27 O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

28 O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

29 O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2

30 O C A B D E T 2 5 4 7 4 4 1 3 1 5 7 2 Valore 14

31 Flusso di costo minimo Flusso attraverso rete con archi a capacità limitata (= max flusso) Flusso attraverso rete con archi a capacità limitata (= max flusso) Costo associato ad ogni arco Costo associato ad ogni arco (= costo min) Più nodi sorgente Più nodi sorgente Più nodi destinazione Più nodi destinazione

32 Flusso di costo minimo Rete orientata e connessa Rete orientata e connessa Esiste almeno un nodo sorgente Esiste almeno un nodo sorgente Esiste almeno un nodo destinazione Esiste almeno un nodo destinazione Tutti gli altri nodi sono di trasferimento Tutti gli altri nodi sono di trasferimento

33 Flusso di costo minimo Il flusso in ogni arco è ammesso solo in una direzione (rete orientata) e nel rispetto dei vincoli di capacità (quantità max di flusso) di tale arco. Il flusso in ogni arco è ammesso solo in una direzione (rete orientata) e nel rispetto dei vincoli di capacità (quantità max di flusso) di tale arco. La rete ha abbastanza archi con capacità sufficiente perché il flusso generato dalla sorgenti arrivi alle destinazioni La rete ha abbastanza archi con capacità sufficiente perché il flusso generato dalla sorgenti arrivi alle destinazioni Il costo del flusso lungo un arco è proporzionale alla qtà del flusso stesso Il costo del flusso lungo un arco è proporzionale alla qtà del flusso stesso Costi per unità do flusso noti Costi per unità do flusso noti

34 Flusso di costo minimo Obiettivo: Obiettivo: Minimizzare il costo totale per spedire il flusso attrverso la rete così da soddisfare la domanda richiestaMinimizzare il costo totale per spedire il flusso attrverso la rete così da soddisfare la domanda richiesta Miassimizzare il profitto totale nimizzare il costo totale per spedire il flusso attrverso la rete così da soddisfare la domanda richiestaMiassimizzare il profitto totale nimizzare il costo totale per spedire il flusso attrverso la rete così da soddisfare la domanda richiesta

35 Flusso di costo minimo - Applicazioni Tipo di applicazione Nodi sorgente Nodi di trasporto Nodi destinazione Rete di distribuzione Produttori di beni Servizi/magazzini intermedi Clienti Smaltimento rifiuti solidi Produttori rifiuti Impianti di produzione discariche Rete di servizi fornitori magazzini intermedi Impianti di produzione Mix di produzione fabbricheproduzionemercato Gestione flusso di cassa Sorgenti di contante Opzioni di investimento Bisogni di contante

36 Flusso di costo minimo - Applicazioni Rete di distribuzione aziendale: trasporti delle merci dalle fabbriche ai magazzini intermedi fino ai clienti Rete di distribuzione aziendale: trasporti delle merci dalle fabbriche ai magazzini intermedi fino ai clienti

37 Formulazione del modello

38 Flusso di costo minimo (PL)

39 Condizioni necessarie Condizione necessaria perché un problema di flusso minimo abbia almeno una soluzione ammissibile è che Condizione necessaria perché un problema di flusso minimo abbia almeno una soluzione ammissibile è che il flusso totale generato dai nodi sorgente deve essere uguale al flusso totale richiesto dai nodi destinazione.

40 Condizioni necessarie violate Se non è soddisfatta la condizione necessaria, allora: Se non è soddisfatta la condizione necessaria, allora: o si aggiunge un nodo destinazione fittizio per assorbire le disponibilità in eccesso (con c ij = 0 per gli archi aggiunti da ogni nodo sorgente verso questo nodo)o si aggiunge un nodo destinazione fittizio per assorbire le disponibilità in eccesso (con c ij = 0 per gli archi aggiunti da ogni nodo sorgente verso questo nodo) oppure si aggiunge un nodo sorgente fittizio che generi il flusso necessio a soddisfare la richiesta in eccesso (c ij = 0 per gli archi aggiunti da questo nodo sorgente verso ogni altro nodo destinazione)oppure si aggiunge un nodo sorgente fittizio che generi il flusso necessio a soddisfare la richiesta in eccesso (c ij = 0 per gli archi aggiunti da questo nodo sorgente verso ogni altro nodo destinazione)

41 Interezza della soluzione ottima Per un problema di flusso a costo minimo in cui b i e u ij hanno valori interi, tutte le variabili di base di ogni soluzione di base ammissibile (inclusa quella ottima) hanno valori interi Non serve mettere i vincoli di interezza al problema e neppure quelli di binarietà risoluzione efficiente con metodo del simplesso su rete.

42 Flusso di costo minimo (PL)

43 Esempio flusso di costo minimo produzione B A C D E 2 3 C AD =9 4 1 32 b A =[50] (u AB =10) (u CE =80) [-30] [-60] [40]

44 Flusso di costo minimo (PL)

45 Coefficienti flusso di costo minimo X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 31 X 32 X 33 X 34 … 1111 1111 A1111…

46 Trasporti La P&T COMPANY produce piselli in scatola in 3 fabbriche (F1 – F2 – F3) La P&T COMPANY produce piselli in scatola in 3 fabbriche (F1 – F2 – F3) Una volta confezionati li spedisce via camion a 4 magazzini di distribuzione (M1 – M2 – M3 – M4) Una volta confezionati li spedisce via camion a 4 magazzini di distribuzione (M1 – M2 – M3 – M4) Il trasporto da ogni fabbrica ad ogni magazzino ha dei costi (da minimizzare) Il trasporto da ogni fabbrica ad ogni magazzino ha dei costi (da minimizzare) Ogni fabbrica ha una propria capacità produttiva Ogni fabbrica ha una propria capacità produttiva Ogni magazzino richiede una data quantità di fornitura Ogni magazzino richiede una data quantità di fornitura

47 Trasporti CostoSped ($) per containerCapacità magazzinoProdutt. M1M2M3M4 F146451365486775 F2352416690791125 F3995682388685100 Alloca zione 80657285

48 Trasporti – P&T COMPANY [-80] [-65] [-70] [-85] F2 F3 F1 M1 M2 M4 M3 464 513 654 867 352 416 690 791 995 682 388 685 [75] [125] [100]

49 Trasporti (PL)

50 X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 31 X 32 X 33 X 34 1111 1111 A1111