Trasformata di Laplace

Presentazione sul tema: "Trasformata di Laplace"— Transcript della presentazione:

1 Trasformata di Laplace
Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria

2 Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: x y

3 Numeri complessi Modulo Fase

4 Numeri complessi y Forma trigonometrica x
Ricordando le formule di Eulero:

5 Numeri complessi x y Forma esponenziale

6 Numeri complessi

7 La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del temo f(t) definita per t≥0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s. L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.

8 Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

9 Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace. L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di convergenza.

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11 Gradino Im[s] Re[s]

12 Proprietà di linearità

13 Rampa unitaria

14 Esponenziale

15 Cosinusoide

16 Sinusoide

17 Traslazione

18 Impulso L’area sottesa vale A

19 Funzione impulsiva

20 Impulso di Dirac

21 Impulso di Dirac Risposta all’impulso Ogni segnale x(t) può essere
espresso come convoluzione con l’impulso di Dirac Dim: Per il teorema del valor medio:

22 Impulso di Dirac Il segnale in uscita può essere
calcolato attraverso la convoluzione del segnale di ingresso con la risposta impulsiva. L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo:

23 Impulso di Dirac Problemi
La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente. L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata. In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.

24 Esercizio Sapendo che calcolare

25 Esercizio Calcolare

26 Esercizio Calcolare

27 Esercizio Calcolare

28 Teorema della derivata
Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito

29 Teorema della derivata

30 Teorema dell’integrale

31 Teorema del valore finale
Nell’ipotesi che tale limite esista Dal teorema della derivata si ha: da cui Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione: e quindi

32 Teorema del valore iniziale

33 Integrale di convoluzione

34 Utilità

35 Utilità

36 Problema differenziabile Soluzione del problema differenziabile Problema algebrico Soluzione del problema algebrico

37 Tecniche di antitrasformazione
Frazione razionale propria Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte radici con molteplicità maggiore di 1 radici complesse coniugate

38 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte POLI RESIDUI

39 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte Calcoliamo R1

40 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

41 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: n radici distinte

42 Esercizio

43 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1

44 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk1

45 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk2

46 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rk3

47 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici con molteplicità maggiore di 1 Calcoliamo Rkj Ricordando che

48 Esercizio

49 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

50 Tecniche di antitrasformazione
Il denominatore di F(s) ha: radici complesse coniugate

51 Esercizio

52 Funzione di trasferimento

53 Funzione di trasferimento

54 Funzione di trasferimento

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