Intelligenza Artificiale

Presentazione sul tema: "Intelligenza Artificiale"— Transcript della presentazione:

1 Intelligenza Artificiale
Breve introduzione alla logica classica (Parte 1) Marco Piastra

2 Introduzione alla logica formale
Parte 1. Preambolo: l’algebra di Boole e la logica Parte 2. Logica proposizionale Parte 3. Logica predicativa del primo ordine

3 Testi consigliati Magnani, L., Gennari, R. Manuale di Logica Guerini Scientifica, 1997 Lolli, G. Introduzione alla logica formale il Mulino, 1988 Asperti, A., Ciabattoni, A. Logica a informatica McGraw-Hill, 1997 Crossley et al. Che cos’è la logica matematica? Boringhieri, 1972

4 l’algebra di Boole e la logica
Parte 1 Preambolo: l’algebra di Boole e la logica

5 Algebra di Boole Un’algebra di Boole è formata da:
un insieme di base V due operazioni binarie  e : commutative: A  B = B  A associative: (A  B)  C = A  (B  C) distributive: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) dotate di elementi identità  e T: A  = A A  T = A una operazione unaria  tale per cui: A  A = T A  A =  (A, B, C  X )

6 Proposizioni e connettivi
L’insieme V è costituito dai valori di verità {VERO, FALSO} V = {0, 1} Le operazioni binarie sono OR () e AND () L’operazione unaria è il NOT () A B A  B 1 A B A  B 1 Le tavole di verità A A 1

7 Formule e significato Elementi fondamentali dell’algebra delle proposizioni: un insieme di proposizioni atomiche {a, b, c, d, ...} a ciascuna proposizione atomica viene attribuito un significato, inteso come valore di verità: v : X  V cioè v : X  {0, 1} Le formule sono espressioni costruite per composizione di proposizioni, connettivi e parentesi (A  B)  C (“Giorgio è un essere umano” OR “Silvia è la genitrice di Giorgio”) AND “Giorgio è un bipede senza piume” Il significato delle formule composite viene determinato componendo algebricamente il significato delle proposizioni atomiche vero-funzionalità A B A  B v(A) = 1 v(B) = 1 v(A  B) = 1 v(A) = 0 v(B) = 0 v(A  B) = 0 Per ogni formula di n proposizioni si hanno 2n combinazioni possibili

8 Interpretazioni e soddisfacimento
Esempio: : (a  b )  c (“Giorgio è umano” OR “Silvia è madre di Giorgio”) AND “Giorgio è un bipede senza piume” Un’interpretazione v è una assegnazione di significato a tutte le proposizioni atomiche nell’ambito discorsivo X Una interpretazione soddisfa una formula  sse v() = 1 a b 1 c a  b (a  b)  c

9 Tautologie e contraddizioni
Una tautologia è una formula  tale per cui v() = 1 per qualsiasi interpretazione v Esempio: (A  B)  (B  A) Una contraddizione è una formula  tale per cui v() = 0 per qualsiasi interpretazione v Esempio: (A  A) A B A  B B  A (A  B)  (B  A) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A A  A 1 1

10 Algebra delle proposizioni
L’algebra delle proposizioni è definita su un insieme di proposizioni atomiche X = {a, b, c, d, ...} sono ‘atomiche’ in quanto non consideriamo la struttura interna ma solo il valore di verità Gli operatori sono:  (AND),  (OR),  (NOT) Gli elementi identità sono: T (tautologia),  (contraddizione) La semantica degli operatori è definita in funzione delle interpretazioni v Il valore delle formule composite può essere determinato a partire dalla interpretazione delle affermazioni atomiche L’algebra delle proposizioni interpretate è un’algebra di Boole Tutto qui? Ed il ragionamento?

11 Relazione tra affermazioni
Premesse: 1: (a  b)  c NOT (“Giorgio è umano” AND NOT “Silvia è madre di Giorgio”) OR “Giorgio è un bipede senza piume” 2: c  b  d NOT “Giorgio è un bipede senza piume” OR “Silvia è madre di Giorgio” OR “Giorgio è contento” 3: d  a “Giorgio è contento” OR “Giorgio è umano” 4: b NOT “Silvia è madre di Giorgio” Affermazione: : d “Giorgio è contento” Qual’è il legame logico tra le premesse? E tra le premesse e l’affermazione finale?

12 Conseguenza logica Eseguendo il calcolo diretto per l’esempio precedente: Tutte le interpretazioni v che soddisfano {1, 2, 3, 4} soddisfano anche  Relazione di conseguenza logica : 1, 2, 3, 4   a b c d 1 2 3 4  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

13 Due altri connettivi Implicazione  ed equivalenza 
Il problema di prima potrebbe essere riscritto così: 1: (a  b)  c 2: c  (b  d) 3: d  a 4: b : d A B A  B 1 A B A  B 1 E` la stessa di (A  B) E` la stessa di (A  B)  (B  A) Si legge anche “se A allora B” Si legge anche “A equivale a B” Regole Fatti

14 Logica in generale La conseguenza logica è una relazione tra formule (o insiemi di formule) In generale, in logica si studia la relazione tra le formule di un sistema logico-simbolico in cui: il linguaggio delle formule è definito con precisione il significato delle formule è stabilito in modo non ambiguo Le relazioni studiate riguardano la struttura dei ragionamenti e non il ‘senso’ comune delle formule nell’ambito discorsivo di riferimento (logica formale) Quindi, il significato delle formule viene stabilito in riferimento ad una struttura astratta (p. es. {0, 1}) e non ad una situazione effettiva (p.es. Giorgio e Silvia, bipedi)

15 Obiettivi Rappresentazione esatta della conoscenza Tecniche di calcolo
dato che in un sistema logico-simbolico : il linguaggio è definito con precisione la semantica è chiara e non ambigua la relazione tra le formule descrive il legame logico possiamo distinguere i ragionamenti corretti da quelli fallaci (ammesso di riuscire a formalizzarli) Tecniche di calcolo il calcolo diretto della relazione di conseguenza tramite le tavole è scomodo (e non è sempre possibile) occorre trovare tecniche più comode e pratiche Automatizzazione se poi queste tecniche di calcolo sono deterministiche (cioè non richiedono particolare ingegno) si può pensare di far ‘ragionare’ le macchine