Claudia Raibulet raibulet@disco.unimib.it Algebra Booleana Claudia Raibulet raibulet@disco.unimib.it.

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1 Claudia Raibulet raibulet@disco.unimib.it
Algebra Booleana Claudia Raibulet

2 Esercizi Si determini qual e’ il maggiore tra i seguenti valori rappresentati in MS e poi anche in CA2: ? 101 ? ? 10101

3 Algebra booleana Deve il suo nome a Boole che ne formalizzò le regole
L’algebra booleana opera su variabili (“logiche” o “booleane”) che possono assumere solamente due valori 1/0, vero/falso, on/off, chiuso/aperto Il valore 1 è solitamente associato alla condizione logica vero (true, on, chiuso), mentre lo 0 è associato alla condizione logica falso (false, off, aperto)

4 Algebra booleana E’ adatta per rappresentare “eventi binari”, cioè condizioni che possono assumere solo due valori Esempio Una lampadina può essere accesa (a questa condizione si associa il valore 1 o vero) oppure spenta (valore 0 o falso). Le funzioni che operano sulle variabili booleane sono dette funzioni booleane e possono produrre anch’esse solo i valori 0 e 1.

5 Algebra booleana Una funzione booleana F, funzione di variabili booleane, v1,v2,...,vn si indica: Può essere definita in vari modi: uno di questi consiste nello specificare i valori di F per tutte le possibili combinazioni delle variabili da cui essa dipende. Tale elenco di combinazioni viene detto tabella della verità

6 Algebra booleana Esempio F(v1,v2,v3) può essere definita come:
Ogni variabile booleana può assumere due valori, quindi, con n variabili si possono avere 2n possibili combinazioni

7 Algebra booleana - esercizio
Esempio di descrizione di un evento mediante una funzione booleana Un allievo passa l’esame se si verifica almeno una delle seguenti condizioni: supera sia il compito di esonero sia la prova orale non supera l’esonero, ma è sufficiente alla prova scritta di un appello regolare e supera la prova orale Si può assegnare ad ogni evento una variabile booleana: a esonero b scritto regolare c prova orale

8 Algebra booleana - esercizio
Con 3 variabili booleane ci sono 8 (23) possibili combinazioni Si noti che per superare l’esame, cioè S = 1, bisogna aver sostenuto e superato l’orale e l’esonero e/o lo scritto regolare A stretto rigore di logica la condizione a = 0, b = 0, c = 1 non può verificarsi, in quanto si può accedere all’orale solo dopo aver superato una delle prove precedenti (o entrambe)

9 Operatori logici Le variabili booleane possono essere combinate da operatori logici Tali operatori restituiscono anch’essi un valore logico Gli operatori sono: AND OR NOT NAND NOR …

10 AND Viene denotato dal simbolo • (da non confondere con il simbolo di prodotto aritmetico) e spesso sottinteso Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole: 0 • 0 = 0 0 • 1 = 0 1 • 0 = 0 1 • 1 = 1 Il risultato è vero se entrambi gli operandi sono veri

11 OR Viene denotato dal simbolo + (da non confondere con il simbolo di addizione aritmetica) Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Il risultato è vero se almeno uno degli operandi è vero

12 NOT Viene indicato con il simbolo sopra la variabile da negare (es. )
Si applica ad un solo operando (operatore unario) e produce un valore in accordo alle seguenti regole: Il risultato è il valore opposto (la negazione) di quello dell’operando; ovvero, se l’operando è falso l’uscita è vera e viceversa

13 NAND E’ equivalente ad un operatore AND negato
Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole: 0 NAND 0 = 1 0 NAND 1 = 1 1 NAND 0 = 1 1 NAND 1 = 0 Il risultato è falso se entrambi gli operandi sono veri

14 NOR E’equivalente ad un operatore OR negato
Si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole: 0 NOR 0 = 1 0 NOR 1 = 0 1 NOR 0 = 0 1 NOR 1 = 0 Il risultato è vero se entrambi gli operandi sono falsi

15 Esercizi Dati i seguenti problemi, si chiede di scrivere la tabella della verita’ dell’espressione logica che soddisfa le specifiche del problema, ricavare la funzione booleana corrispondente: 1. Una lampadina si accende quando si verifica almeno una delle seguenti condizioni: l’interruttore A e’ chiuso l’interruttore A non e’ chiuso, ma sono chiusi gli interruttori B e C 2. L’aria condizionata e’ funzionante quando si verificano tutte e tre le seguenti condizioni: i finestrini sono chiusi il treno e’ in movimento l’interruttore dell’aria condizionata e’ azionato

16 Rappresentazione delle immagini
BitMaP - scomposizione (discretizzazione) dell'immagine in elementi di informazione poi codificati Matrice di punti detti pixel (Picture Element) Qualità caratterizzata dalla risoluzione (numero di pixel per unità di misura) Elevato spazio occupato in memoria per avere buone risoluzioni Non è possibile un'eccessivo ZOOM perché non si notano più dettagli, si notano solo i pixel

17 Rappresentazione delle immagini
BitMaP - codifica dei pixel (profondita’ colore) 1 bit Immagine b/n 4 bit Immagine 16 Colori o Livelli Grigio 8 bit Immagine 256 Colori o Livelli Grigio 16 bit Immagine 64K Colori 24 bit Immagine 16M Colori (True Color) 32 bit Immagine 16M Colori + Alpha Channel

18 Rappresentazione delle immagini
BitMaP: Formati di memorizzazione: Formati compressi

19 Rappresentazione delle immagini
Vettoriali: descrizione dell'immagine attraverso elementi grafici di alto livello (progettazione meccanica, elettronica architettonica, …)

20 Rappresentazione delle immagini
Vettoriali: codifica elementi di alto livello Figure geometriche semplici parametriche Rappresentazione compatta dell’informazione Indipendenza dal dispositivo di visualizzazione e dalla sua risoluzione Partano da un modello quindi e’ possibile avere un qualsiasi fattore di zoom Poco adatto a foto e immagini naturali, usato per la descrizione ad alto livello di informazione grafica Conversione BitMaP – Vettoriali Facile da vettoriali a bitmap Complessa l’estrazione di elementi di alto livello dalle bitmap (sopratutto per immagini naturali)

21 Rappresentazione delle immagini
Vettoriali: formati di memorizzazione

22 Rappresentazione delle immagini
Tecniche di compressione: Le immagini possono richiedere molto spazio per la loro memorizzazione Esempi di tecniche di compressione  10 volte 0, 2 volte 1 Memorizzazione non di tutti i bit (riduzione di fedeltà rispetto all’originale ma spesso non è percepibile dall’occhio umano)

23 Elaborazione delle immagini
Dopo la digitalizzazione un’immagine può essere modificata modificando la sequenza di bit che la rappresenta Ad esempio Modifica dei colori Eliminazione oggetti rappresentati o loro sostituzione Trasmissione criptata delle pay-TV

24 Codifica dei suoni Rappr. Analogica – analoga alla quantità
fisica in esame; continuita’ nel tempo e continuita’ nelle ampiezze Rappr. Digitale – Campionatura dell’onda sonora; Discretizzazione nel tempo, discretizzazione nelle ampiezze

25 Elaborazione dei suoni
Dopo la digitalizzazione ... come per le immagini è possibile eliminare parte del suono (es. rumori di fondo) modificare il suono (es. voci distorte) ...