Scegliere quando il mondo è incerto

Presentazione sul tema: "Scegliere quando il mondo è incerto"— Transcript della presentazione:

1 Scegliere quando il mondo è incerto
3 Scegliere quando il mondo è incerto 3.1 Introduzione 3.2 Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie Conseguenze di una lotteria Utilità, e utilità attesa Avversione e propensione al rischio 3.3 Storie 3.3.1 Assicurarsi o correre il rischio? 3.3.2 Chi vuole fare il mestiere dell’assicuratore? 3.3.3 Scelte sul mercato finanziario 3.3.4 Ancora delitto e castigo 3.3.5 Tassazione progressiva come assicurazione Esci

2 Par. 3..2 Una lotteria è una situazione nella quale un individuo paga una somma per avere la possibilità di ottenere uno tra i possibili guadagni alternativi, che dipendono dalla realizzazione di diversi eventi casuali. Una scelta in condizioni di incertezza può essere pensata come la scelta tra diverse lotterie alle quali un individuo può partecipare.

3 le possibili conseguenze delle diverse lotterie
Par. 3..2 Per decidere se partecipare a una lotteria e a quale lotteria partecipare un individuo deve conoscere le possibili conseguenze delle diverse lotterie le proprie preferenze relativamente alle possibili conseguenze di ogni lotteria

4 Par Le conseguenze di una lotteria possono essere descritte da una variabile casuale, cioè da una variabile che può assumere uno solo tra valori alternativi, ciascuno con una certa probabilità.

5 … e la probabilità che si vinca una somma pari a 36X è 1/37.
Consideriamo, per esempio, le conseguenze di una puntata alla roulette e della scommessa sul lancio di una moneta. Come sono fatte le variabili che descrivono l’esito di queste lotterie? Alla roulette si punta una somma X su un numero: se esce quel numero si vince 36 X, se non esce quel numero non si vince nulla. Quindi, poiché alla roulette possono uscire 37 numeri, cioè i numeri da 0 a 36, la probabilità che la vincita sia 0 è 36/37... Vincita 36X Probabilità 36/37 1/37

6 … e la probabilità che la vincita sia 2X è 1/2.
Par … e la probabilità che la vincita sia 2X è 1/2. La probabilità che non si vinca nulla è 1/2 ... Supponiamo che si punti la somma X sul fatto che dal lancio di una moneta non truccata esca testa: se esce croce non si guadagna nulla, se esce testa si guadagna 2X. Vincita 2X Probabilità 1/2 1/2

7 Par Per valutare le conseguenze di una lotteria possiamo calcolare due caratteristiche della variabile casuale che descrive il suo esito: il valore atteso la varianza

8 Solitamente sommate i voti e li dividete per il numero dei voti.
Par Solitamente sommate i voti e li dividete per il numero dei voti. Come calcolate la vostra media ? Supponete di avere ottenuto questi 9 voti Media = ( ) 20 21 24 29 30 23 / 9 = 24

9 Considerate i diversi voti che avete preso.
Par Considerate i diversi voti che avete preso. Per calcolare la media dei vostri voti, però, potete procedere in questo modo. … e otterrete la media. Moltiplicate ciascun voto per la sua frequenza. Sommate i risultati di questi prodotti ... Calcolate la frequenza con la quale avete ottenuto ciascun voto. Voto 20 21 23 24 29 30 Frequenza 1/9 2/9 1/9 3/9 1/9 1/9 Media 20 · 1/9 21 · 2/9 23 · 1/9 24 · 3/9 29 · 1/9 30 · 1/9

10 … e dividete ogni addendo per il numero dei voti.
Par … e dividete ogni addendo per il numero dei voti. … raggruppate i voti tra loro uguali ... Il risultato non cambia se ordinate i voti in ordine crescente ... Considerate, infatti, come calcolate solitamente la media … 20 21 24 29 30 23 Media = ( ) / 9 = 24 Media = ( ) / 9 = 24 Media = ( 20 · · · · · ·1) / 9 = 24 Media = 20 ·1/ ·2/ ·1/ ·3/ ·1/ ·1/9 = 24

11 … e che la probabilità di prendere questi voti è …
Par … e che la probabilità di prendere questi voti è … Dunque, se calcolate la media dei possibili esiti interpretando le probabilità come loro possibili frequenze, otterrete una valutazione delle prospettive di voto offerte da questo esame. La probabilità di un evento, comunque sia stata calcolata, esprime una convinzione sulla frequenza con la quale quell’evento si verificherà. Come potete valutare le prospettive di voto offerte da questo esame? Questa misura è chiamata valore atteso della lotteria. Supponete ora che vi dicano che in un esame potete prendere uno di questi voti ... Voto 20 21 23 24 29 30 Probabilità 1/9 2/9 1/9 3/9 1/9 1/9 Valore atteso

12 Consideriamo nuovamente l’esempio della roulette.
Par Consideriamo nuovamente l’esempio della roulette. Qual è il valore atteso di questa lotteria? … e sommiamo i risultati così ottenuti. Poiché il valore atteso di questa lotteria, 36/37 X, è inferiore al costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria non è equa. Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ... Vincita 36X Probabilità 36/37 1/37 Valore atteso /37 X 36/37 X

13 Qual è il valore atteso di questa lotteria?
Par Qual è il valore atteso di questa lotteria? Consideriamo ora l’esempio della moneta. Poiché il valore atteso di questa lotteria, X, è uguale al costo che si deve sostenere per parteciparvi, X, si dice che questa lotteria è equa. … e sommiamo i risultati così ottenuti. Moltiplichiamo ciascuna possibile vincita per la sua probabilità ... Vincita 2X Probabilità 1/2 1/2 Valore atteso X X

14 Par Naturalmente, poiché la moneta non è truccata, la probabilità che esca croce oppure testa è sempre 1/2. Nella seconda lotteria si guadagna 4 se esce croce e si guadagna 6 se esce testa. Come si può facilmente calcolare moltiplicando per ogni lotteria il prodotto di ciascuno dei possibili esiti per la corrispondente probabilità e sommando i risultati, entrambe le lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso, 5. In altri termini, poiché i risultati che si possono ottenere dalla prima lotteria sono più variabili, cioè sono più lontani dal valore atteso, la prima lotteria è più rischiosa. La prima lotteria, infatti, mi consente di guadagnare meno se le cose vanno male e di guadagnare di più se le cose vanno bene. Tuttavia, anche se hanno lo stesso valore atteso, le due lotterie sono chiaramente diverse. Nella prima lotteria non si guadagna nulla se esce croce e si guadagna 10 se esce testa. Quindi, per valutare le conseguenze di una lotteria è utile avere anche una misura della variabilità dei suoi risultati, cioè della sua rischiosità. Consideriamo ora due lotterie, che rappresentano due scommesse sul risultato del lancio di una moneta. Lotteria 1 Lotteria 2 Vincita 10 4 6 Probabilità 1/2 1/2 1/2 1/2 5 Valore atteso

15 Lotteria 2 Vincita 10 4 6 1/2 1/2 1/2 1/2 5 Varianza 25 1
Par Il rischio che comporta una lotteria, però, può essere valutato calcolando la media dei quadrati degli scostamenti di ciascun possibile risultato dal valore atteso atteso della lotteria. Questa misura, che è chiamata varianza, è dunque adeguata a misurare la rischiosità di una lotteria: quanto più alta è la varianza, tanto più rischiosa è la lotteria. Questo modo di misurare la rischiosità di una lotteria, quindi, è inadeguato. Per la prima lotteria questa misura risulterebbe uguale a (0 - 5) ·1/2 + (10 - 5) ·1/2 = - 5/2 + 5/2 = 0. Anche per la seconda lotteria, però, questa misura risulterebbe uguale a 0, perché sarebbe uguale (4 - 5) ·1/2 + (6 - 5) ·1/2 = /2 + 1/2 = 0. Un modo per calcolare la variabilità dei risultati potrebbe essere quello di calcolare la media degli scostamenti di ciascun possibile esito dal valore atteso. Infatti queste due lotterie, che sono caratterizzate da una diversa rischiosità perché i possibili risultati hanno una variabilità diversa, risulterebbero ugualmente rischiose. Per la prima lotteria, infatti, questa misura è uguale a (0 - 5)2 ·1/2 + (10 - 5)2 ·1/2 = 25/2 + 25/2 = 25. Per la seconda lotteria, invece, questa misura è uguale a (4 - 5)2 ·1/2 + (6 - 5)2 ·1/2 = 1/2 + 1/2 = 1. Lotteria 1 Lotteria 2 Vincita 10 4 6 Probabilità 1/2 1/2 1/2 1/2 5 Valore atteso Varianza 25 1

16 Lotteria 1 Lotteria 2 Vincita 10 40 25 1/2 1/2 1 25 Varianza 225
Par Da cosa deriva la diversa attitudine al rischio di individui diversi? Le due lotterie, dunque, hanno lo stesso valore atteso, 25, ma comportano un rischio diverso. Poiché il valore atteso è 25 e la varianza è 225, questa è una lotteria equa, anche se rischiosa. Consideriamo, infatti, questa situazione. E’ neutrale rispetto al rischio, infine, un individuo che è indifferente tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma comportano un diverso rischio. Se non partecipa a questa lotteria questo individuo non può vincere nulla, ma è sicuro di avere la somma che avrebbe dovuto pagare per partecipare alla lotteria. Se un individuo, invece, sceglie di partecipare alla prima lotteria è propenso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli sceglie quella più rischiosa, cogliendo l’opportunità di vincere molto e accettando il rischio di perdere molto. Se un individuo sceglie di non partecipare alla prima lotteria è avverso al rischio: tra due lotterie con lo stesso valore atteso egli sceglie quella meno rischiosa, rinunciando all’opportunità di guadagnare molto ed evitando di perdere molto. Allora, se non partecipa a questa lotteria, questo individuo di fatto partecipa a un’altra lotteria, dalla quale può avere 0 con probabilità 0 e 25 con probabilità 1. Un individuo può partecipare a una lotteria che prevede un costo pari a 25, ma promette con probabilità 1/2 una vincita pari a 10 e con probabilità 1/2 una vincita pari a 40. La decisione, ovviamente, dipende dall’attitudine verso il rischio di chi deve scegliere. Chi deve scegliere deciderà di non correre alcun rischio, rinunciando a partecipare alla prima lotteria ... Per sapere se un individuo deciderà di partecipare a una lotteria non è sufficiente conoscere il valore atteso di quella lotteria e la sua varianza. ... oppure deciderà di partecipare alla prima lotteria, affrontando il rischio di ottenere un risultato deludente? Lotteria 1 Lotteria 2 Vincita 10 40 25 Probabilità 1/2 1/2 1 Valore atteso 25 25 Varianza 225

17 Somme Utilità Vincita 10 40 3,162 6,325 1/2 1/2 1/2 1/2
Par L’utilità attesa della lotteria, quindi, è pari a 3,162 ·1/ ,325 ·1/2 = 1, ,162 = 4,743. … e la probabilità di ottenere un’utilità pari a 6,325 è 1/2, perché la probabilità di una vincita pari a 40 è 1/2. Supponiamo di poter misurare l’utilità che un individuo ottiene da ciascuna somma. L’utilità che un individuo può aspettarsi di ottenere dalla partecipazione a una lotteria, cioè l’utilità attesa della lotteria, è uguale alla media delle utilità che egli può ottenere da ciascuno dei possibili esiti della lotteria. … e l’utilità di una vincita pari a 40 è  40 , cioè è circa 6,325. A ciascuna somma, quindi, possiamo far corrispondere un numero che misura l’utilità che ne ottiene un individuo. L’utilità di una vincita pari a 10 è  10 , cioè è circa 3, La regola che fa corrispondere un numero all’utilità ottenuta da ciascuna somma è chiamata funzione di utilità. Supponiamo, per esempio, che la funzione di utilità sia  x. Ciò significa semplicemente che l’utilità che un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero uguale alla radice quadrata di x. Qual è l’utilità che si può ottenere da ciascun esito della prima lotteria che abbiamo considerato, che comporta questi possibili esiti? Nella lotteria che stiamo considerando la probabilità di ottenere un’utilità pari a 3,162 è 1/2, perché la probabilità di una vincita pari a 10 è 1/2 ... Somme Utilità Vincita 10 40 3,162 6,325 Probabilità 1/2 1/2 1/2 1/2 Utilità attesa 4,743

18 Par Quindi, l’utilità che l’individuo può aspettarsi di ottenere dalla seconda lotteria è 5. Poiché l’utilità di una vincita pari a 0 è  0 = 0, in questa lotteria vi è la probabilità 0 di ottenere un’utilità pari a 0. Poiché l’utilità di una vincita pari a 25 è  25 = 5, vi è la probabilità 1 di ottenere un’utilità pari a 5. Qual è invece l’utilità attesa della seconda lotteria, cioè della lotteria alla quale un individuo di fatto partecipa se non partecipa alla prima lotteria? Somme Utilità Vincita 25 5 Probabilità 1 1 Utilità attesa 5

19 Dunque abbiamo la seguente situazione.
Par Dunque abbiamo la seguente situazione. La partecipazione alla prima lotteria, però, comporta un rischio, perché la prima lotteria offre la possibilità di ottenere una vincita più alta, ma comporta anche la possibilità di ottenere una vincita più bassa. Allora, se la funzione di utilità di chi deve scegliere è  x, costui preferirà partecipare alla seconda lotteria, perché l’utilità attesa della seconda lotteria è superiore a quella della prima lotteria. Un individuo, quindi, sceglierà di partecipare alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore. Un individuo può aspettarsi di ottenere la stessa somma se decide di partecipare alla prima lotteria oppure se decide di non parteciparvi, perché le due lotterie sono caratterizzate dallo stesso valore atteso. Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la funzione di utilità  x è avverso al rischio, perché tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella meno rischiosa. Chi valuta questa situazione non è interessato alle somme che può guadagnare: è interessato all’utilità che può ottenere dalle somme che può guadagnare. Lotteria 1 Lotteria 2 Valore atteso 25 25 Varianza 225 Utilità attesa 4,743 5

20 Somme Utilità Vincita 10 40 100 1600 1/2 1/2 1/2 1/2
Par Supponiamo, però, che la funzione di utilità sia x2: l’utilità che un individuo ottiene dalla somma x è misurata da un numero pari al quadrato di x. … l’utilità attesa di questa lotteria è 100 ·1/ ·1/2 = = 850. Quale sarà in queste circostanze l’utilità attesa della prima lotteria? Poiché la probabilità di ottenere un’utilità pari a 100 è 1/2 e la probabilità di ottenere un’utilità pari a 1600 è 1/2 ... … e l’utilità di una somma pari a 40 è 402 = 1600. L’utilità di una somma pari a 10 ora è 102 = Somme Utilità Vincita 10 40 100 1600 Probabilità 1/2 1/2 1/2 1/2 Utilità attesa 850

21 Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.
Par Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria. … e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è 252 = 625. … l’utilità attesa di questa lotteria è 0 · ·1 = = 625. Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità pari a L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 02 = 0 ... Somme Utilità Vincita 25 625 Probabilità 1 1 Utilità attesa 625

22 Par Allora, se la funzione di utilità è x2, abbiamo la seguente situazione. Anche in questo caso chi deve scegliere deciderà di partecipare alla lotteria dalla quale si aspetta di ottenere l’utilità maggiore. Possiamo concludere, quindi, che un individuo che ha la funzione di utilità x2 è propenso al rischio, perché tra due lotterie che hanno lo stesso valore atteso sceglierà quella più rischiosa. In questo caso, però, chi deve scegliere, preferirà partecipare alla prima lotteria, perché l’utilità attesa della prima lotteria, se la funzione di utilità è x2, è superiore a quella della seconda lotteria. Lotteria 1 Lotteria 2 Valore atteso 25 25 Varianza 225 Utilità attesa 850 625

23 Somme Utilità Vincita 10 40 20 80 1/2 1/2 1/2 1/2
Par … e riconsideriamo, per l’ultima volta, la prima lotteria. Supponiamo, infine, che la funzione di utilità sia 2x, cioè che l’utilità che un individuo ottiene dalla somma x sia misurata da un numero pari al doppio di x ... L’utilità di una somma pari a 10 ora è 10 ·2 = … e l’utilità di una somma pari a 40 è 40 ·2 = 80. … l’utilità attesa di questa lotteria è 20 ·1/ ·1/2 = = 50. Poiché la probabilità di ottenere un utilità pari a 20 è 1/2 e la probabilità di ottenere un’utilità pari a 80 è 1/2 ... Somme Utilità Vincita 10 40 20 80 Probabilità 1/2 1/2 1/2 1/2 Utilità attesa 50

24 Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria.
Par Vediamo ora qual è l’utilità attesa della seconda lotteria. … e l’utilità attesa di una vincita pari a 25 è 25 ·2 = 50. … l’utilità attesa di questa lotteria è 0 · ·1 = = 50. Poiché vi è la certezza di ottenere da questa lotteria un’utilità pari a L’utilità attesa di una vincita pari a 0 ora è 0 ·2 = 0 ... Somme Utilità Vincita 25 50 Probabilità 1 1 Utilità attesa 50

25 Par In questo caso per chi deve scegliere è indifferente partecipare alla prima oppure alla seconda lotteria, perché le due lotterie hanno la stessa utilità attesa. Allora, se la funzione di utilità è 2x , abbiamo la seguente situazione. Dunque, un individuo che ha la funzione di utilità 2x è neutrale rispetto al rischio, perché per costui due lotterie che hanno lo stesso valore atteso ma un rischio diverso sono ugualmente interessanti. Lotteria 1 Lotteria 2 Valore atteso 25 25 Varianza 225 Utilità attesa 50 50

26 Par Perché vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e attitudini verso il rischio? In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità rispetto al rischio dipendono dalla funzione di utilità di chi deve scegliere. In particolare, abbiamo visto che vi sono queste corrispondenze tra funzioni di utilità e attitudine al rischio. Funzione di utilità Attitudine al rischio Avversione Propensione Neutralità  x x2 2x

27 Attitudine al rischio 1 1 1 1 1 1 1 1 Utilità 1 Somma
Par Somma Attitudine al rischio Utilità Infine questa curva è concava se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale, cioè l’utilità marginale del denaro, è tanto più piccola quanto più alta è la somma che già possiedo. Possiamo quindi tracciare una curva che rappresenta la funzione di utilità. La funzione di utilità consente di associare a ogni somma l’utilità che può ottenere da quella somma chi la possiede. Questa curva è convessa se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale è tanto più grande quanto più alta è la somma che già possiedo. Questa curva deve passare per l’origine degli assi, perché non ottengo nessuna utilità dal denaro se non ho denaro. Questa curva è una retta se l’utilità addizionale che ottengo da un euro addizionale non cambia quando aumenta la somma che possiedo. Inoltre, questa curva deve essere crescente: quanto più alta è la somma che possiedo, tanto più alta è l’utilità che ottengo dal denaro. 1 1 1 1 1 1 1 1 1

28 Attitudine al rischio Utilità Somma F D G E Utilità attesa Valore
Par Somma Attitudine al rischio Utilità … e vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OF, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OC. … perché questo è sia il valore atteso della lotteria che gli è stata proposta, sia il valore atteso della lotteria alla quale di fatto partecipa se decide di non partecipare alla lotteria che gli è stata proposta. Se decide di non partecipare alla lotteria, però, Rossi può aspettarsi di ottenere un’utilità pari a OD, perché è sicuro di ottenere la somma OB. … e una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OC. Supponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro per un individuo che si chiama Rossi sia concava, cioè che l’utilità marginale del denaro sia decrescente. L’utilità attesa della lotteria, quindi, è OE ·1/2 + OF ·1/2 = OG. Se non partecipa alla lotteria Rossi non ha alcuna probabilità di vincere qualcosa, ma è sicuro di avere la somma OB. Rossi dunque sceglierà di non partecipare alla lotteria, perché l’utilità che egli si aspetta di ottenere dalla lotteria, OG, è inferiore all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OD. Se decide di partecipare alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che ottenga un’utilità pari a OE, perché vi è una probabilità pari a 1/2 che vinca OA ... Poiché OA ·1/2 + OC ·1/2 = OB, indipendentemente da ciò che deciderà di fare Rossi può aspettarsi di ottenere in media la somma OB ... Supponiamo, inoltre, che Rossi debba scegliere se partecipare a una lotteria equa che costa la somma OB. Allora, se la funzione di utilità del denaro è concava, cioè se l’utilità marginale del denaro è decrescente, un individuo è avverso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella meno rischiosa. Se partecipa alla lotteria, invece, vi è una probabilità pari a 1/2 che egli vinca la somma OA ... F D G E Utilità attesa Valore atteso A B C

29 Attitudine al rischio Utilità Somma N P Utilità attesa L M A B C
Par Somma Attitudine al rischio Utilità … e una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità ON, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC. Se non partecipa alla lotteria, Verdi ottiene un’utilità pari a OL, perché ha la certezza di avere la somma OB che non spende per partecipare alla lotteria. Se partecipa alla lotteria, invece, ha una probabilità pari a 1/2 di ottenere l’utilità OM, perché ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA ... Supponiamo, inoltre, che Verdi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi ha deciso di non partecipare. Allora, poiché l’utilità che Verdi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OP, è superiore all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, OL, Verdi sceglierà di partecipare alla lotteria. Quindi, se la funzione di utilità del denaro è convessa, cioè se l’utilità marginale del denaro è crescente, un individuo è propenso al rischio, perché tra due lotterie con lo stesso valore atteso sceglie quella più rischiosa. Dunque, l’utilità che Verdi può aspettarsi di ottenere dalla lotteria è OM ·1/2 + ON ·1/2 = OP. Supponiamo che la la curva che definisce l’utilità del denaro di un altro individuo, che si chiama Verdi, sia convessa, cioè supponiamo che per Verdi l’utilità marginale del denaro sia crescente. N P Utilità attesa L M A B C

30 Attitudine al rischio Utilità Somma S Q Utilità attesa R A B C
Par Somma Attitudine al rischio Utilità Supponiamo inoltre che Bianchi debba decidere se partecipare alla stessa lotteria alla quale Rossi non ha voluto partecipare e alla quale Verdi ha scelto di partecipare. Supponiamo infine che la funzione di utilità di un individuo che si chiama Bianchi sia lineare, cioè supponiamo che l’utilità marginale del denaro per Bianchi sia costante. Anche Bianchi, se non partecipa alla lotteria, può aspettarsi di ottenere la somma OB, dalla quale ottiene l’utilità OQ. … e una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OC, dalla quale otterrebbe l’utilità OS. Se partecipa alla lotteria, però, anche Bianchi ha una probabilità pari a 1/2 di vincere la somma OA, dalla quale otterrebbe l’utilità OR ... Per Bianchi, dunque, l’utilità attesa della lotteria, è OR ·1/ OS ·1/2 = OQ. Quindi, se la funzione di utilità del denaro è lineare, cioè se l’utilità marginale del denaro è costante, un individuo è propenso al rischio, perché per costui due lotterie con lo stesso valore atteso sono ugualmente interessanti, indipendentemente dal rischio che comportano. Allora, poiché l’utilità che Bianchi può aspettarsi dalla partecipazione alla lotteria, OQ, è uguale all’utilità che egli ottiene se non partecipa alla lotteria, per Bianchi è indifferente partecipare oppure non partecipare alla lotteria. S Q Utilità attesa R A B C

31 Concava  x Avversione Convessa x2 Propensione Lineare 2x Neutralità
Par Se ogni euro addizionale è sempre più apprezzato da un individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è convessa, l’individuo è propenso al rischio. Se ogni euro addizionale è apprezzato da un individuo nella stessa misura, cioè se la funzione di utilità del denaro è lineare, l’individuo è neutrale rispetto al rischio. In conclusione la propensione, l’avversione e la neutralità rispetto al rischio dipendono dalla forma della funzione di utilità di chi deve scegliere. Se ogni euro addizionale è sempre meno apprezzato da un individuo, cioè se la funzione di utilità del denaro è concava, l’individuo è avverso al rischio. Funzione di utilità Attitudine al rischio Esempio Concava  x Avversione Convessa x2 Propensione Lineare 2x Neutralità

32 Come si diventa criminali
Par Ricchezza Come si diventa criminali Utilità La ricchezza posseduta da Verdi è OA. Quindi, se Verdi non commette il crimine, la sua ricchezza rimane uguale a OA ed egli può avere un’utilità pari a OL. Se Verdi commette il crimine e non è punito, la sua ricchezza diventa OC, perché egli ottiene la somma AC. Quindi, se Verdi commette il crimine e non è punito, ottiene un’utilità pari a ON. Se la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2, cosicché la probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OP = ON ·1/2 + OM ·1/2. Se Verdi però commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza diventa OB, perché egli deve restituire il guadagno ottenuto illegalmente, AC, e deve inoltre pagare la multa AB. Quindi, se Verdi commette il crimine ed è punito, ottiene un’utilità pari a OM. Supponiamo che un individuo propenso al rischio, che si chiama Verdi, consideri la possibilità di commettere un crimine. Poiché l’utilità che Verdi si aspetta di ottenere se commette il crimine, OP, è superiore all’utilità che ottiene se non commette il crimine, OL, Verdi deciderà di commettere il crimine. N P Utilità attesa L M B A C

33 Come si diventa criminali
Par Ricchezza Come si diventa criminali Utilità … ma se commette il crimine ed è punito, la sua utilità è OE. Se Rossi commette il crimine e non è punito, la sua utilità è OF... Possiamo pensare, dunque, che un individuo avverso al rischio sia meno propenso a delinquere di un individuo propenso al rischio. Naturalmente ciò non significa che un individuo avverso al rischio sceglierà sempre di comportarsi onestamente. Quindi, poiché la probabilità che il crimine rimanga impunito è 1/2 e la probabilità che sia punito è 1/2, l’utilità attesa del crimine è OG = OE ·1/2 + OF ·1/2. Supponiamo che Rossi, che è avverso al rischio, consideri la possibilità di commettere lo stesso crimine che ha deciso di commettere Verdi. Allora, poiché Rossi si aspetta di ottenere dal crimine un’utilità inferiore a quella che ottiene se non commette il crimine, Rossi non commetterà questo crimine. Se anche Rossi ha una ricchezza iniziale pari a OA, se non commette il crimine ottiene un’utilità pari a OD. F D G E Utilità attesa B A C

34 Come si diventa criminali
Par Ricchezza Come si diventa criminali Utilità Quindi, se la probabilità di essere punito è abbastanza bassa, anche un individuo avverso al rischio deciderà di commettere il crimine. Allora l’utilità attesa non è più OG = OE ·1/2 + OF ·1/2. Infatti, se diminuisce la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine aumenta. Supponiamo, per esempio, che la probabilità che il crimine sia punito diventi 1/5 e la probabilità che non sia punito diventi 4/5. Ora l’utilità attesa è OH = OE ·1/5 + OF ·4/5. F H D G G E Utilità attesa Utilità attesa Utilità attesa B A C

35 Come si diventa criminali
Par Ricchezza Come si diventa criminali Utilità Ora, anche se la probabilità che il crimine sia punito è 1/2, l’utilità che Rossi si aspetta dal crimine è OH = OL ·1/2 + OF·1/2 Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, diventi OK ... Un individuo avverso al rischio, inoltre, potrà decidere di commettere il crimine se il crimine è punito poco severamente. … cosicché l’utilità che Rossi ottiene se il crimine è scoperto è OL. In queste circostanze Rossi, anche se è avverso al rischio, sceglierà di commettere il crimine. Supponiamo, infatti, che la punizione del crimine diventi meno severa. F H D L K E Utilità attesa B A C

36 Cap. 2.8 Quanto più bassa è l’utilità attesa di un crimine, tanto meno un potenziale criminale sarà interessato a commettere il crimine. L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito. Per prevenire il crimine, dunque, le autorità possono modificare sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. Come possono essere usate questi strumenti di prevenzione del crimine in relazione all’attitudine verso il rischio del potenziale criminale?

37 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza Come cambia l’utilità attesa se aumenta la probabilità che il crimine sia punito? Se Verdi commette il crimine ed è punito, la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. In generale, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce. L’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x. Riconsideriamo anzitutto il caso di Verdi, che è propenso al rischio. Cosa succede se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x e la probabilità che non sia punito diminuisce di x? G C H (OF - OG) x L (OF - OG) x M F B

38 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza La ricchezza che Verdi ottiene se è punito, però, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. Perché? Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Verdi, se egli commette il crimine ed è punito, non sia più OB ma sia solamente OD, cioè diminuisca di un ammontare pari a DB. Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine. Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine ed il crimine è punito. Quindi se Verdi è punito ora non avrà più alcuna ricchezza. Allora, poiché l’utilità che Verdi ottiene se è punito è diminuita, anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL, cioè a metà fra O e OG. Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK, cioè a metà fra OE e OG. La ricchezza che Verdi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora, nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura minore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita solamente di KL che è inferiore a HK. Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena. Dunque, l’utilità che Verdi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. G C H K L F B E D

39 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza Uguali aumenti della severità della pena, dunque, comportano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine. … comportano diminuzioni sempre più piccole della sua utilità. Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Verdi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito. Se Verdi è propenso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza …

40 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Probabilità della pena Inoltre, questa curva è convessa perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più piccole dell’utilità attesa del crimine. Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più grandi della severità della pena. Infatti, le combinazioni A e B prevedono una pena ugualmente severa, ma la combinazione A comporta una probabilità più alta che il crimine sia punito... Infine, curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono un’utilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso. … e le combinazioni C e B prevedono una pena ugualmente probabile, ma la combinazione C comporta una pena più severa. Questa curva è decrescente perché quando diminuisce la probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena. Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Verdi la stessa utilità attesa dal crimine. Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa ... A B C Severità della pena

41 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza Anche in questo caso, quindi, se aumenta la probabilità che il crimine sia punito l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della probabilità che il crimine sia punito corrispondono uguali riduzioni dell’utilità attesa del crimine. Poiché OF è inferiore a OG, la variazione dell’utilità attesa, cioè (OF - OG) x, è negativa: quando aumenta la probabilità che il crimine sia punito, l’utilità attesa del crimine diminuisce. L’utilità attesa del crimine, quindi, aumenta di OF ·x e diminuisce di OG · x, cioè cambia di un ammontare pari a OF · x - OG · x = (OF - OG) x. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta ancora di x, l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora di OG ·x e cresce di OF ·x, cioè diminuisce ancora di OF ·x - OG ·x = (OF - OG) x. Riconsideriamo ora cosa succede se aumenta la probabilità che il crimine sia punito oppure se aumenta la severità della pena nel caso di Rossi, che è avverso al rischio. Se la probabilità che il crimine sia punito aumenta di x, la probabilità che il crimine non sia punito diminuisce di x. Supponiamo che l’utilità attesa del crimine sia OH. Se Rossi commette il crimine ed è punito la sua ricchezza è OB e la sua utilità è OF, ma se commette il crimine e non è punito la sua ricchezza è OC e la sua utilità è OG. G C H L M F B

42 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza Quindi, se aumenta la severità della pena l’utilità attesa del crimine diminuisce. Inoltre, ad uguali aumenti della severità della pena corrispondono diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine. L’utilità attesa del crimine, invece, è diminuita in misura maggiore rispetto a quanto era diminuita in precedenza, perché è diminuita di KL che è superiore a HK. Supponiamo, per esempio, che la ricchezza di Rossi, se egli commette il crimine ed è punito, ora diventi OD. Poiché è diminuita l’utilità che si ottiene se il crimine è punito, diminuisce l’utilità attesa del crimine, che diventa uguale a OK. Allora, poiché l’utilità che Rossi ottiene se è punito è diminuita, anche l’utilità attesa del crimine diminuisce ancora e diventa OL. La ricchezza che Rossi ottiene se è punito, quindi, è diminuita nella stessa misura nella quale era diminuita in precedenza, cioè è diminuita di OD = DB. Quindi, se commette il crimine ed è punito, Rossi non ha più alcuna ricchezza e non ottiene alcuna utilità. La ricchezza che Rossi può avere se commette il crimine ed è punito diminuisce ancora di OD = DB. Cosa succede se la severità della pena aumenta ancora nella stessa misura nella quale era aumentata precedentemente? Dunque, l’utilità che Rossi ottiene se commette il crimine ed è punito non è più OF, ma è solamente OE. Perché? Consideriamo ora cosa succede se aumenta la severità della pena. Se aumenta la severità della pena, diminuisce la ricchezza che si ottiene se si commette il crimine e il crimine è punito. G C H K L F F B E D

43 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Utilità Ricchezza Per questa ragione uguali aumenti della severità della pena comportano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine. Se Rossi è avverso al rischio, uguali riduzioni della sua ricchezza … … comportano diminuzioni sempre più grandi della sua utilità. Quindi successivi aumenti della severità della pena, che comportano uguali diminuzioni della ricchezza ottenuta da Rossi se commette il crimine ed è punito, comportano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità che egli ottiene se commette il crimine ed è punito.

44 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Probabilità della pena Anche per Rossi questa curva è decrescente, perché quando diminuisce la probabilità della pena l’utilità attesa del crimine non cambia solo se aumenta la severità della pena. Infine, anche per Rossi curve poste più in alto rappresentano combinazioni di probabilità e severità della pena che assicurano un’utilità attesa del crimine inferiore rispetto a quelle che stanno su una curva posta più in basso. Successive riduzioni della probabilità della pena, quindi, devono essere compensate da aumenti sempre più piccoli della severità della pena. Queste combinazioni di probabilità e severità della pena sono rappresentate da una curva come questa ... Per Rossi, però, questa curva è concava, perché uguali diminuzioni della probabilità della pena comportano aumenti sempre uguali dell’utilità attesa del crimine, mentre successivi aumenti della severità della pena determinano diminuzioni sempre più grandi dell’utilità attesa del crimine. Consideriamo ora tutte le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono a Rossi, che è propenso al rischio, la stessa utilità attesa dal crimine. Severità della pena

45 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Probabilità della pena Le combinazione di probabilità e severità della pena che le autorità possono scegliere, perché sono quelle compatibili con la somma che può essere spesa per prevenire il crimine, sono rappresentate da una curva come questa ... Si tratta di una curva decrescente perché per aumentare la spesa necessaria per rendere più probabile la punizione si deve ridurre la spesa che si deve sostenere per punire il crimine. L’inclinazione di questa curva, inoltre, misura di quanto deve diminuire la probabilità della pena quando aumenta la severità della pena se si deve rispettare il vincolo di bilancio. Quando aumenta la severità della pena, la spesa aumenta del costo, PS, che si deve sostenere per aumentare la severità della pena. Allora, se la spesa complessiva deve rimanere invariata, la spesa per rendere probabile la pena deve diminuire di PS. Quindi, se il costo che si deve sostenere per rendere probabile la pena è PP, la probabilità della punizione deve diminuire di PS / PP. Allora, data la somma della quale le autorità dispongono per prevenire il crimine, quale probabilità e severità della pena possono scegliere? Dunque, se supponiamo che i costi PS e PP siano costanti, l’inclinazione della curva è costante e la curva è una retta. Per rendere probabile la punizione del crimine e punire il crimine, però, le autorità devono sostenere un costo. Quindi, per prevenire il crimine, le autorità devono scegliere opportunamente sia la probabilità che il crimine sia punito, sia la severità con la quale è punito. L’interesse del potenziale criminale per un crimine dipende dall’utilità attesa del crimine. L’utilità attesa del crimine, però, dipende dalla probabilità che il crimine sia punito e dalla severità con la quale è punito. Severità della pena

46 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Probabilità della pena Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è A, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, le autorità possono prevenire più efficacemente il crimine aumentando, secondo i casi, la severità della pena oppure la probabilità della pena. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la severità della pena e aumentandone la probabilità. Vediamo ora in quale posizione si trovano le autorità se il potenziale criminale è propenso al rischio. Infatti, se le autorità scelgono la combinazione C, l’utilità attesa del crimine diminuisce. Consideriamo le curve che rappresentano le combinazioni di probabilità e severità della pena che garantiscono la stessa utilità attesa del crimine, ricordando che alle combinazioni rappresentate da curve poste più in alto corrisponde un’utilità attesa del crimine più bassa . A C D B Severità della pena

47 Come si previene il crimine?
Par Come si previene il crimine? Probabilità della pena Infatti, se le autorità scelgono la combinazione B, l’utilità attesa del crimine diminuisce. Se la combinazione di probabilità e severità della punizione inizialmente è D, a parità di spesa le autorità possono rendere meno interessante il crimine riducendo la probabilità della pena e aumentandone la severità. Infatti, se le autorità scelgono la combinazione D, l’utilità attesa del crimine aumenta. Quindi, se il potenziale criminale è propenso al rischio, si può ridurre l’incentivo a delinquere solamente aumentando la severità della pena. Se il potenziale criminale, invece, è avverso al rischio, l’efficacia deterrente della probabilità e della severità della pena cambiano. Quando la combinazione di probabilità e severità della punizione, invece, inizialmente è B, se le autorità a parità di spesa rendono meno severa la punizione e ne aumentano la probabilità il crimine diventa più interessante. D B Severità della pena

48 Fine del capitolo Esci