Luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 database e distribuzioni - misure di sintesi - misure di variabilità descrizione dei dati:

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1 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 database e distribuzioni - misure di sintesi - misure di variabilità descrizione dei dati:

2 database e distribuzioni misure su scala nominale misure su scala ordinale misure su scala a intervalli o a rapporti MODA MODA & MEDIANA MODA, MEDIANA & MEDIA ARITMETICA misure di sintesi luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

3 database e distribuzioni MODA: valore o modalità a cui si associa la massima frequenza esempio abilità sociali frequenze assolute xixi nini scarse (s)4 medie (m)3 buone (b)6 somma (Σ)13 frequenza assoluta maggiore la moda è buone abilità luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

4 database e distribuzioni MEDIANA: valore o modalità che bipartisce la distribuzione ordinata delle modalità x (1) x (2) … x (n) delle modalità x (1) x (2) … x (n) esempio abilità sociali frequenze assolute xixi nini scarse (s)4 medie (m)3 buone (b)6 somma (Σ)13 la mediana è medie abilità x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11) x (12) x (13) (s) - (s) - (s) - (s) - (m) - (m) - (m) - (b) - (b) - (b) - (b) - (b) - (b) luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

5 database e distribuzioni MEDIA ARITMETICA: esempio id.QI A10188 A10293 A103112 B1002121 B100380 C22199 C222100 C223103 C22499 C22588 88+93+112+121+80+99+100+103+99+88 10 x = = 98,3 la media è 98,3 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

6 database e distribuzioni - - qual è la variabile di interesse? - - che tipo di variabile è? - - quali/quante sono le unità statistiche e quali/quante le modalità? - - quali indici di sintesi si possono calcolare? - - qual è lindice di sintesi più appropriato? misure di sintesi luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

7 Esempio 1 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 1. Costruire la distribuzione di frequenza 230somma (Σ) 23097grosso 133 28 modesto 105 43minimo 62 assente NiNi nini modalità (x i ): frequenze cumulate frequenze assolute beneficio al farmaco luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

8 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 2. Trovare la moda 230somma (Σ) 23097grosso 133 28 modesto 105 43minimo 62 assente NiNi nini modalità (x i ): frequenze cumulate frequenze assolute beneficio al farmaco frequenza assoluta maggiore la moda è grosso beneficio luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

9 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 3a. È possibile calcolare la mediana? Sì, perché la variabile è misurata su scala ordinale luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

10 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari? N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1 230/2 = 115 ; 115+1 = 116 le posizioni cercate sono 115 e 116 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

11 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 2. Identificare la mediana 230somma (Σ) 23097grosso 133 28 modesto 105 43minimo 62 assente NiNi nini modalità (x i ): frequenze cumulate frequenze assolute beneficio al farmaco 115 e 116 sono compresi tra 105 e 133 la mediana è beneficio modesto luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

12 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…) 1. Calcolare le frequenze relative 1230somma (Σ) 0.4297grosso 0.12 28 modesto 0.19 43minimo 0.2762assente pipi nini modalità (x i ): frequenze relative frequenze assolute beneficio al farmaco luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

13 0.58 0.46 Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto. Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune. 3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…) 2. Calcolare le frequenze relative cumulate 1230somma (Σ) 0.4297grosso 0.12 28 modesto 0.19 43minimo 0.2762assente pipi nini modalità (x i ): frequenze relative frequenze assolute beneficio al farmaco 1 0.27 PiPi freq. rel. cumulate la frequenza cumulata pari a 0.50 è compresa tra 0.46 e 0.58 la mediana è beneficio modesto luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 Esempio 1

14 Esempio 2 Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse. Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate) 1. Costruire la distribuzione di frequenza ed indicare la moda abilità sociali frequenze assolute xixi nini scarse4 medie10 buone15 somma (Σ)29 frequenza assoluta maggiore la moda è buone abilità luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

15 2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari? N è dispari, si considera la posizione (N+1)/2 (29+1)/2 = 15 la posizione cercata è 15 Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse. Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate) Esempio 2 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

16 29 2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse. Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate) 2. Identificare la mediana la posizione 15 si trova dopo la frequenza cumulata 14 e prima della frequenza cumulata 29 la mediana è buone abilità 29somma (Σ) 15 buone 14 10medie 44scarse NiNi nini xixi frequenze cumulate frequenze assolute abilità sociali Esempio 2 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

17 2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…) Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse. Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate) 1. Calcolare le frequenze relative 129somma (Σ) 0.52 15 buone 0.34 10medie 0.144scarse pipi nini xixi frequenze relative frequenze assolute abilità sociali Esempio 2 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

18 2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…) Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse. Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate) 1 0.48 2. Calcolare le frequenze relative cumulate 129somma (Σ) 0.52 15 buone 0.34 10medie 0.144scarse pipi nini xixi frequenze relative frequenze assolute abilità sociali 0.14 PiPi freq. rel. cumulate la frequenza cumulata pari a 0.50 si trova dopo 0.48 e prima di 1 la mediana è buone abilità Esempio 2 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

19 Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 1. Indicare la moda libri comprati frequenze assolute xixi nini 03 130 227 36 somma (Σ)66 frequenza assoluta maggiore la moda è un libro Esempio 3 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

20 Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari? N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1 66/2 = 33 ; 33+1 = 34 le posizioni cercate sono 33 e 34 Esempio 3 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

21 Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…) 2. Identificare la mediana 66somma (Σ) 6663 60 27 2 33 301 330 NiNi nini xixi frequenze cumulate frequenze assolute libri comprati 33 e 34 si trovano nelle modalità 1 e 2… la mediana è 1.5 si calcola quindi la media tra le due modalità: (1+2)/2 = 1.5 Esempio 3 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

22 +++=+++= xxxx Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si trovino moda, mediana e media aritmetica 3. Calcolare la media aritmetica: 102 18 54 30 0 (x i ) * (n i ) prodotti 6 66somma (Σ) 27 30 3 nini xixi frequenze assolute libri comprati 3 2 1 0 dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene: 102/66 = 1.55 la media aritmetica è 1.55 Esempio 3 luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

23 Misure di dispersione Varianza (σ²) = Deviazione standard (σ) = (scarto quadratico medio) ּ nini ּ nini luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

24 calcolatrici possedute frequenze assolute xixi nini 03 152 219 38 somma (Σ)82 Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. VARIANZA σ² = nini ּ luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

25 calcolatrici possedute frequenze assolute xixi nini 03 152 219 38 somma (Σ)82 VARIANZA σ² = 1. calcolo la media aritmetica nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

26 114 24 38 52 0 (x i ) * (n i ) prodotti 83 82somma (Σ) 192 521 30 nini xixi frequenze assolute calcolatrici possedute VARIANZA σ² = 1. calcolo la media aritmetica 114 / 82 = 1.39 la media è 1.39 nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

27 1.61 0.61 0.39 1.39 X i - X scarti 83 82somma (Σ) 192 521 30 nini xixi frequenze assolute calcolatrici possedute VARIANZA σ² = 2. calcolo gli scarti (in valore assoluto) (media = 1.39) nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

28 2.59 0.37 0.15 1.93 (X i – X)² scarti al quadrato 1.61 0.61 0.39 1.39 X i - X scarti 83 82somma (Σ) 192 521 30 nini xixi frequenze assolute calcolatrici possedute VARIANZA σ² = 3. calcolo il quadrato degli scarti nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

29 20.72 7.03 7.80 5.79 (X i – X)² * n i scarti² * n i 2.59 0.37 0.15 1.93 (X i – X)² scarti al quadrato 1.61 0.61 0.39 1.39 X i - X scarti 83 82somma (Σ) 192 521 30 nini xixi frequenze assolute calcolatrici possedute VARIANZA σ² = 4. calcolo il prodotto di n i per gli scarti al quadrato nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

30 41.34 20.72 7.03 7.80 5.79 (X i – X)² * n i scarti² * n i 2.59 0.37 0.15 1.93 (X i – X)² scarti al quadrato 1.61 0.61 0.39 1.39 X i - X scarti 83 82somma (Σ) 192 521 30 nini xixi frequenze assolute calcolatrici possedute VARIANZA σ² = 5. sommo il prodotto di n i per gli scarti al quadrato e divido per N La varianza è41.34 / 82 = 0.50 nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

31 DEVIAZIONE STANDARD σ = σ = (σ²) = 0.50 = 0.71 la deviazione standard è 0.71 nini ּ Esempio 4 Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute. Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni. luciano giromini – la misura in psicologia, 2009