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PubblicatoFederica Rossetti Modificato 10 anni fa
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grafi e reti Ottimizzazione su Reti - Network Optimization Testi :
Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Ahuja, Magnanti, Orlin Linear Programming and Network Flows, Bazaraa, Jarvis, Sherali
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grafi e reti Koenigsberg Bridge Problem
Introduzione alle Reti ed agli algoritmi di rete Flusso su Reti e applicazioni
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
“Teoria dei Grafi” 1736 Leonard Eüler Visitò Koenigsberg La gente si chiedeva se fosse possibile effettuare un percorso con inizio e fine coincidenti attraversando ciascun ponte esattamente una volta Si diceva che fosse impossibile
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D E' possibile partire da A, attraversare ciascun ponte esattamente una volta, e tornare in A?
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D Modellazione (Concettualizzazione): I posti a terra sono “nodi”.
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D Modellazione : i ponti sono “archi.”
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
A 1 2 3 B 4 C 5 6 7 D esiste un “cammino” che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta?
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Definizioni Grafo (o Rete) non orientato Grafo (o Rete) orientato
2 3 4 1 a b c d e Grafo (o Rete) non orientato 2 3 4 1 a b c d e Grafo (o Rete) orientato Rete G = (N, A) Nodi N = {1, 2, 3, 4} Archi A = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (2,4)} in un grafo non orientato (i,j) = (j,i)
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Cammino: esempio: 5, 2, 3, 4. (oppure 5, c, 2, b, 3, e, 4)
nessun nodo è ripetuto. la direzione è ignorata. 2 3 4 a b c 1 5 d e camm. orientato esempio: 1, 2, 5, 3,4 (oppure 1, a, 2, c, 5, d, 3, e, 4) nessun nodo è ripetuto. la direzione è rispettata. 2 3 4 a b c 1 5 d e Ciclo (loop) 1, 2, 3, 1. (oppure 1, a, 2, b, 3, e) un cammino con 2 o più nodi, il primo coincide con l'ultimo. 2 3 4 a b c d 1 e 2 3 4 a b c d 1 e ciclo orientato: 1, 2, 3, 4, 1 oppure 1, a, 2, b, 3, c, 4, d, 1 ciclo in cui la direzione è rispettata.
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circuiti cammini in cui nodi e archi possono essere ripetuti
2 3 4 1 a b c d e 5 cammini in cui nodi e archi possono essere ripetuti esempio di circuito orientato: un circuito è chiuso se il primo e ultimo nodo coincidono.
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alberi Albero: Grafo connesso privo di cicli
2 3 4 1 a b c d e 5 f g 2 3 4 1 Albero: Grafo connesso privo di cicli Foglia: nodo con un solo arco incidente Foglie: 1,2,3 Albero ricoprente di un grafo G(N,A): N nodi N-1 archi
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I ponti di Koenigsberg: Euler 1736
A 1 2 3 provate B 4 C 5 6 7 D esiste un “cammino” che parte da A e termina in A e attraversa ciascun arco esattamente una volta? ciclo euleriano
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aggiungiamo 2 ponti 3 8 1 2 4 5 6 9 7 A B C D ecco il cammino.
A, 1, B, 5, D, 6, B, 4, C, 8, A, 3, C, 7, D, 9, B, 2, A Nota: il numero di archi incidenti in B è il doppio del numero di volte che B compare nel cammino.
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cicli Euleriani 4 1 2 4 3 7 6 5 A C D B 8 9 Il grado di un nodo in un grafo non orientato è uguale al numero di archi incidenti 6 4 4 Teorema. un grafo non orientato possiede un ciclo euleriano se e solo se (1) ogni nodo ha grado pari (2) il grafo è connesso (esiste un cammino tra ogni coppia di nodi).
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Cicli Hamiltoniani un ciclo hamiltoniano è un ciclo che tocca ciascun nodo esattamente una volta noto come traveling salesman tour.
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il gioco di Hamilton Nel 1857 il matematico irlandese, Sir William Rowan Hamilton, inventò un gioco con la speranza di guadagnarci molto l'obiettivo del gioco era più o meno quello di trovare un circuito hamiltoniano. il gioco non ebbe successo commerciale ma la matematica dei cicli hamiltoniani è oggi molto conosciuta
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il gioco di Hamilton start
viene risolto come problema del commesso viaggiatore
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Applicazioni Trasporti Trasporto di beni su reti
Scheduling di flotte di aerei: reti spazio/tempo Produzione Scheduling di beni per la produzione Flusso di prodotti in sistemi inventariati Comunicazioni Progetto e sviluppo di sistemi di comunicazione Flusso di informazioni su una rete Assegnazione del personale Assegnazione di equipaggi allo scheduling di flotte Assegnazione di autisti a veicoli See if I can tie this back to the student’s comments about thesis work.
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