LA STRATEGIA DI GIGI Gigi, studente modello del MARTINI, decide di tentare di racimolare qualche soldo per poter fare una vacanza memorabile dopo l'esame.

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2 LA STRATEGIA DI GIGI Gigi, studente modello del MARTINI, decide di tentare di racimolare qualche soldo per poter fare una vacanza memorabile dopo l'esame di maturita'. Gli si presenta l'opportunità di partecipare a due iniziative commerciali scegliendo un certo numero di Quote-Lavoro (QL), o parti di esse, per ciascuna delle iniziative. Ogni quota dell'iniziativa 1(I1) richiede un investimento di 1 euro mentre, l'iniziativa 2 (I2) non richiede alcun investimento ma corrisponde al valore di 1 euro. Gigi ha a disposizione 1 euro e una media di 7 ore al giorno di lavoro (pensa di utilizzare il reddito proveniente dall'iniziativa 2 per investire nell'iniziativa 1). La QL della I1 richiede un impegno orario medio di 3 ore al giorno La QL della I2 richiede un impegno orario medio di 1 ora al giorno Gigi pensa di poter ottenere un guadagno di 20 euro a quota da I1 e 10 euro a quota da I2. Il suo obiettivo e', ovviamente, quello di massimizzare il guadagno giornaliero e vuole saper quante QL prendere, di ciascuna iniziativa, per raggiungere il suo obiettivo.

3 Impegno risorse risorseiniziativa 1 iniziativa2disponibilita risorse euro 1 -11 ore 3 17 guadagno 20 10 Variabili decisionali x 1 : numero di quote della I1 x2 : numero di quote della I2 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1vincoli finanziari 3 x1 + x2 < 7vincoli temporali x1 > 0, x2 > 0

4 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Individuare linsieme di soluzioni (scelte) ammissibili per i vincoli non-negativita x1 > 0, x2 > 0

5 Individuare linsieme di soluzioni ammissibili per i vincoli finanziari x1 - x2 < 1 Posizione limite retta: x1 - x2 = 1 intersezione asse x1 (x2=0) (1, 0) intersezione asse x2 (x1=0) (0, -1) MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita

6 quale parte del piano corrisponde a x1 - x2 < 1 ???? Individuare linsieme di soluzioni ammissibili per i vincoli finanziari x1 - x2 < 1 Facile ! Basta individuare da che parte sta lorigine O (0,0) rispetto alla retta: x1 - x2 = 1 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita

7 x1=0 e x2=0 soddisfano la disequazione x1 - x2 < 1 ? MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita SI la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.

8 Individuare linsieme di soluzioni ammissibili per i vincoli temporali 3 x1 + x2 < 7 Posizione limite: retta 3 x1 + x2 = 7 intersezione asse x1(7/3, 0) intersezione asse x2(0, 7) MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita

9 quale parte del piano corrisponde a 3 x1 + x2 < 7 ???? Facile ! Basta individuare da che parte sta lorigine O (0,0) rispetto alla retta: 3 x1 + x2 = 7 Individuare linsieme di soluzioni ammissibili per i vincoli temporali 3 x1 + x2 < 7 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita

10 x1=0 e x2=0 soddisfano la disequazione 3 x1 + x2 < 7 ? MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita SI la parte ammissibile per questo vincolo e quella dalla parte di O.

11 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Determinata la regione (poligono) di ammissibilita (tutte le soluzioni che soddisfano i vincoli), occorre determinare la soluzione ottima ovvero quella per cui il valore di z = 20 x1 + 10 x2 sia il piu grande possibile

12 Cominciamo con assegnare a z il valore 40 ovvero z = 20 x1 + 10 x2 = 40 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Tracciamo la retta col solito sistema

13 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Assegnamo ora a z il valore 60 ovvero z = 20 x1 + 10 x2 = 60 Tracciamo la retta col solito sistema

14 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Il valore di z e aumentato Ma puo crescere ancora! Spostando la retta parallelamente nella direzione della freccia

15 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita Lobiettivo del problema equivale a spingere la retta della funzione obiettivo il piu possibile nella direzione della freccia purche intersechi la regione ammissibile La posizione obiettivo corrisponde alla retta z = 20 x1 + 10 x2 = 70 ovvero al punto X: ( x1=0, x2=7) X( 0, 7)

16 LA STRATEGIA DI GIGI conclusioni soluzione ottima x1 = 0 x2 = 7 F. O. ottima z = 70 numero di Q.L. della I1 numero di Q.L. della I2 Guadagno di GIGI LA STRATEGIA DI GIGI non effettuera alcuna QL dellIniziativa di tipo 1 effettuera 7 QL dellIniziativa di tipo 2 realizzando un guadagno di 70 euro

17 MODELLO MATEMATICO maxz = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 < 1finanziari 3 x1 + x2 < 7temporali x1 > 0, x2 > 0non-negativita MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO max z = 20 x1 + 10 x2 vincoli x1 - x2 + x3= 1 3 x1 + x2 + x4= 7 x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0 Risoluzione geometrica Strategia Risolutiva ALGORITMO CODICE DI CALCOLO slack

18 SITEMA DI 2 EQUAZIONI IN 4 INCOGNITE: 2 si assegnano ad arbitrio (variabili fuori base) e si ricavano le altre due (variabili in base) MODELLO MATEMATICO TRASFORMATO max z = 20 x1 + 10 x2+0x3+0x4 vincoli x1 - x2 + x3 = 1 3 x1 + x2 + x4 = 7 x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0 Scelta ammissibile: variabili fuori base ad arbitrio x1 = 0, x2 = 0 variabili in base calcolate x3 = 1, x4 = 7 valore corrispondente F.O.z = 0 e la soluzione ottima? Sicuramente NO

19 Si dimostra che: Metodo del Simplesso George Dantzig 1947 Soluzioni di base ammissibili vertici del poliedro

20 Identificazione del problema Formulazione del modello matematico Tecnica risolutiva-algoritmo Codice di calcolo-software piattaforma-hardware Rappresentazione e analisi dei risultati

21 20 PRODUZIONE OTTIMA IN UN AZIENDA AVICOLA

22 Indice degli argomenti Presentazione 2 Introduzione 4 Obbiettivi 5 Fasi di produzione 8 Input/output13 Definizione dei costi15 Definizione delle variabili16 Definizione della funzione obbiettivo19 Definizione dei vincoli20 Soluzione ottima21 Parte I

23 Indice degli argomenti Analisi di sensitività in forma descrittiva 27 Analisi di sensitività in forma tabellare32 Analisi statistica37 Rappresentazioni grafiche dei risultati38 Analisi dei risultati44 Tabella riassuntiva dellanalisi dei risultati47 Descrizione del software impiegato48 Parte II

24 IL LAVORO ALLINTERNO DELLAZIENDA SI COMPONE DELLE SEGUENTI FASI: Introduzione 1.acquisto delle uova e del pollame direttamente dagli allevatori 2.pulizia ed imballaggio delle uova 3.lavorazione dei polli 4.distribuzione dei prodotti (destinati a macellerie e supermercati) Lazienda agricola della signora Mara basa la propria attività sulla vendita allingrosso di uova e di pollame Polli&Polli s.p.a.

25 Obiettivi: Determinare la campagna ottima di produzione settimanale Polli&Polli s.p.a.

26 Campagna ottima di produzione settimanale Quante uova Quali tipi di polli Quanti per ogni tipo Polli&Polli s.p.a.

27 Tenendo presente : Le richieste del mercato La disponibilità degli allevatori Le ore di lavoro Profitti ottenibili dalla vendita di ogni prodotto Polli&Polli s.p.a.

28 Fasi di produzione: 1. Acquisto di uova e polli 2. Trattamento uova 3. lavorazione polli 4. Distribuzione del prodotto Polli&Polli s.p.a.

29 Fase 1: ACQUISTO DI UOVA E POLLI Pollo dallevamento Superpesante Pollo Golden Pollo Livornese La sig.ra Mara compra allinizio della settimana uova e polli di 3 diverse qualità da un certo numero di allevatori Polli&Polli s.p.a.

30 Fase 2: TRATTAMENTO UOVA Test per stabilirne la freschezza Pulizia Imballaggio in confezioni plastica in grado di contenerne 6 Polli&Polli s.p.a.

31 Macellazione non più di 2 giorni prima della distribuzione Costi di mantenimento (mangime + veterinario) Conservazione in frigoriferi Fase 3: lavorazione polli Polli&Polli s.p.a.

32 Fase 4: DISTRIBUZIONE DEL PRODOTTO La distribuzione della merce comporta un costo che dipende dalla quantità di uova e pollame prodotta. Polli&Polli s.p.a.

33 Input-Output Polli&Polli mangime Polli e uova Materiale da imballaggio Manodopera Polli&Polli s.p.a. Uova Pollo Golden Pollo Livornese Pollo Superpesante

34 Riassumendo … 8.100 3331/2Manodopera 15.000 150 0Mangime 3.500 00 0 1/6Imballaggio 40 *000 Pollo3 65 0*00Pollo2 80 00*0Pollo1 20.000 000*Uova DisponibilitàPollo3Pollo2Pollo1Uova Polli&Polli s.p.a. Tab. 1 – Dati del problema Relative ad una settimana N° massimo di uova acquistate complessivamente dagli allevatori N° massimo di polli N° contenitori da 6 uova g di mangime a disposizione Ore lavorative espresse in minuti pari a 135 ore/settimana

35 Definizione dei costi Polli&Polli s.p.a. Prodotto Prezzo di vendita unitario Costo produzione unitario Uova 0.50 0.20 Pollo Superpesante 4.00 2.50 Pollo Golden 5.50 3.50 Pollo Livornese 4.50 3.00 Tab. 2 – Prezzi vendita e costi produzione

36 Quale' la produzione settimanale dellazienda avicola che rende massimo il Polli&Polli s.p.a. profitto netto totale

37 Variabili decisionali Polli&Polli s.p.a. X1 -> n° uova prodotte X2 -> n° polli Superpesante prodotti X3 -> n° polli Golden prodotti X4 -> n° polli Livornese prodotti

38 Funzione obiettivo Polli&Polli s.p.a. Prezzo unitario di vendita Costo unitario di produzione Margine di Contribuzione Unitario (MCU) Coefficienti della Funzione Obiettivo

39 Polli&Polli s.p.a. Max z = 0.30x 1 + 1.50x 2 + 2.00x 3 + 1.50x 4 Funzione Obiettivo Profitto netto totale

40 Definizione dei vincoli Polli&Polli s.p.a. Vincoli di mercato Vincoli di produzione Vincoli di trasporto

41 I Vincoli di produzione Polli&Polli s.p.a. 1) x1 <= 20000 2) x2 <= 80 3) x3 <= 65 4) x4 <= 40 5) (1/6) x1 <= 3500 6) 150 x2 + 150 x3 + 150 x4 <= 15000 7) 0.5 x1 + 3 x2 + 3 x3 + 3 x4 <= 8100

42 I Vincoli di mercato Polli&Polli s.p.a. 8) x1 >= 13000 8) x1 >= 13000 9) x2 >= 20 9) x2 >= 20 10) x3 >= 18 11) x4 >= 12

43 Vincolo sul trasporto Polli&Polli s.p.a. 12) x2 + x3 + x4 <= 100

44 Soluzione ottima: Polli&Polli s.p.a. 650.50 650.50 VARIABILE VALORE VARIABILE VALORE X1 15600.000000 X1 15600.000000 X2 20.000000 X2 20.000000 X3 65.000000 X3 65.000000 X4 15.000000 X4 15.000000 Con Valore:

45 Demo Lindo/PC Release 6.1(17set01) Lindo System, Inc. 1415 North Dayton St. Chicago, IL 60622 http://www.lindo.com Caratteristiche tecniche Dimensioni massime del modello: Costanti 150 Variabili 300 Variabili intere 50 Descrizione del software

46 Scopo del lavoro è la pianificazione dellacquisizione delle materie prime e della produzione per una fabbrica che lavora bentonite e produce lettiere per gatti. Si presume che nelle successive 4 settimane il costo della lavorazione della bentonite aumenti. Si deve, dunque, lavorare la maggior quantità di materie prime al più presto. Il problema principale dellazienda è che ha a disposizione un unico magazzino di 60˙000 m3, nel quale devono essere stoccati sia le materie prime che il prodotto finito.

47 Lazienda ricava la bentonite e le materie prime necessarie da 4 miniere, ognuna con caratteristiche differenti: A Villaspeciosa (bentonite tipologia 1) B Uras (bentonite tipologia 2) C Basso Sulcis 1 (urasite) D Basso Sulcis 2 (silicato di calcio)

48 Lazienda commercializza sei diversi tipi di lettiera: 1) LindoCat (agglomerante) 2) LindoCat (compatta) 3) SignorGatto (agglomerante) 4) SignorGatto (compatta) 5) GattoRicco (profumata - colorata) 6) Gattuso

49 Ciascun prodotto (A, B..) necessita di una diversa proporzione di ciascuna materia prima (1, 2,…), secondo percentuali date dalla seguente tabella: ABCD 115254020 225401520 34020 425 5550405 6505540

50 Ogni tipo di materia prima e ogni tipo di prodotto hanno un diverso ingombro: Materia prima Volume A120 B130 C200 D180 Prodottovolume 180 290 3105 4120 5125 6100 Volume occupato per unità di materia prima Volume occupato per unità di prodotto

51 Tabella costi di lavorazione per unità di materia prima: Materie prime I Sett.II Sett.III Sett.IV Sett. A18243041 B40506580 C23273444 D12192839 Materie prime I Sett.II Sett.III Sett.IV Sett. A18243041 B40506580 C23273444 D12192839

52 Minima quantità di prodotto vendibile al giorno (tonn.) Prodotto Quantità 111 24 318 57 63 712

53 Variabili decisionali Le variabili decisionali del problema sono: le quantità di materia prima a_js acquisita ogni settimana (s) (4X4 = 16 variabili); Le quantità x_is di prodotto i fabbricato nelle 4 settimane (6X4 = 24 variabili);

54 Funzioni obiettivo Lo scopo è quello di minimizzare la seguente funzione obiettivo: min + 18 a_1_1 + 40 a_2_1 + 23 a_3_1 + 12 a_4_1 + 24 a_1_2 + 50 a_2_2 + 27 a_3_2 + 19 a_4_2 + 30 a_1_3 + 65 a_2_3 + 34 a_3_3 + 28 a_4_3 + 41 a_1_4 + 80 a_2_4 + 44 a_3_4 + 39 a_4_4

55 Vincoli di capacità Il primo vincolo è la capacità del magazzino: Q 60˙000 m 3 ; Il secondo insieme di vincoli (4) implica che le quantità restanti in magazzino al termine di ogni settimana non eccedano la capacità del magazzino stesso; Tali quantità sono date dalla differenza tra il materiale entrante e quello uscente; I materiali entranti ed uscenti si accumulano di settimana in settimana; I vincoli vanno riferiti allinizio di ogni settimana e includono la lavorazione del materiale e le rimanenze di magazzino delle settimane precedenti

56 Materiale entrante: Materie prime acquistate (a_js x Volume occupato dallunità di materia prima j) Prodotti fabbricati (x_is x Volume occupato dal prodotto i. Materiale uscente: Materia prima trasformata in prodotto (variabile x per i coefficienti di composizione di ogni prodotto)

57 + 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1 - Q <= 0 I Sett. - 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1 + 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1 + 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2 - Q <= 38815 II Sett. - 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1 - 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2 + 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1 + 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2 + 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3 - Q <= 77630 III Sett. - 86.50 x_1_1 - 58.00 x_2_1 - 45.00 x_3_1 - 37.50 x_4_1 - 35.00 x_5_1 - 48.50 x_6_1 - 86.50 x_1_2 - 58.00 x_2_2 - 45.00 x_3_2 - 37.50 x_4_2 - 35.00 x_5_2 - 48.50 x_6_2 - 86.50 x_1_3 - 58.00 x_2_3 - 45.00 x_3_3 - 37.50 x_4_3 - 35.00 x_5_3 - 48.50 x_6_3 + 120 a_1_1 + 130 a_2_1 + 200 a_3_1 + 180 a_4_1 + 120 a_1_2 + 130 a_2_2 + 200 a_3_2 + 180 a_4_2 + 120 a_1_3 + 130 a_2_3 + 200 a_3_3 + 180 a_4_3 + 120 a_1_4 + 130 a_2_4 + 200 a_3_4 + 180 a_4_4 - Q <= 116445 IV Sett

58 Altri vincoli Un nuovo insieme di vincoli impone che la materia prima lavorata (a) sia sufficiente a realizzare i prodotti finiti (x). Tali vincoli vanno valutati per ogni settimana e per ogni materia prima (16 vincoli totali).

59 Quantità di bentonite del tipo 1 (A) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane + 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1 - a_1_1 <= 0 I Sett. + 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1 + 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2 - a_1_1 - a_1_2 <= 0 II Sett. + 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1 + 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2 + 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3 - a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 <= 0 III Sett. + 0.15 x_1_1 + 0.25 x_2_1 + 0.40 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.50 x_6_1 + 0.15 x_1_2 + 0.25 x_2_2 + 0.40 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.50 x_6_2 + 0.15 x_1_3 + 0.25 x_2_3 + 0.40 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.50 x_6_3 + 0.15 x_1_4 + 0.25 x_2_4 + 0.40 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.50 x_6_4 - a_1_1 - a_1_2 - a_1_3 - a_1_4 <= 0 IV Sett

60 Quantità di bentonite del tipo 2 (B) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane + 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1 - a_2_1 <= 0 I Sett. + 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2 - a_2_1 - a_2_2 <= 0 II Sett. + 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2 + 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3 - a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 <= 0 III Sett. + 0.25 x_1_1 + 0.40 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.50 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.25 x_1_2 + 0.40 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.50 x_5_2 + 0.05 x_6_2 + 0.25 x_1_3 + 0.40 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.50 x_5_3 + 0.05 x_6_3 + 0.25 x_1_4 + 0.40 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.50 x_5_4 + 0.05 x_6_4 - a_2_1 - a_2_2 - a_2_3 - a_2_4 <= 0 IV Sett

61 Quantità di Urasite (C) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane + 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1 - a_3_1 <= 0 I Sett. + 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2 - a_3_1 - a_3_2 <= 0 II Sett. + 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2 + 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3 - a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 <= 0 III Sett. + 0.40 x_1_1 + 0.15 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.40 x_5_1 + 0.05 x_6_1 + 0.40 x_1_2 + 0.15 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.40 x_5_2 + 0.05 x_6_2 + 0.40 x_1_3 + 0.15 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.40 x_5_3 + 0.05 x_6_3 + 0.40 x_1_4 + 0.15 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.40 x_5_4 + 0.05 x_6_4 - a_3_1 - a_3_2 - a_3_3 - a_3_4 <= 0 IV Sett

62 Quantità di Silicato di calcio (D) lavorate per realizzare i prodotti (1,2,..) nelle 4 settimane + 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1 - a_4_1 <= 0 I Sett. + 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1 + 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2 - a_4_1 - a_4_2 <= 0 II Sett. + 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1 + 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2 + 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3 - a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 <= 0 III Sett. + 0.20 x_1_1 + 0.20 x_2_1 + 0.20 x_3_1 + 0.25 x_4_1 + 0.05 x_5_1 + 0.40 x_6_1 + 0.20 x_1_2 + 0.20 x_2_2 + 0.20 x_3_2 + 0.25 x_4_2 + 0.05 x_5_2 + 0.40 x_6_2 + 0.20 x_1_3 + 0.20 x_2_3 + 0.20 x_3_3 + 0.25 x_4_3 + 0.05 x_5_3 + 0.40 x_6_3 + 0.20 x_1_4 + 0.20 x_2_4 + 0.20 x_3_4 + 0.25 x_4_4 + 0.05 x_5_4 + 0.40 x_6_4 - a_4_1 - a_4_2 - a_4_3 - a_4_4 <= 0 IV Sett

63 Lultimo insieme di vincoli impone che le quantità di prodotti fabbricati siano sufficienti a soddisfare la domanda del mercato; va valutato per ogni prodotto e per ogni settimana (24 vincoli totali).

64 Risultati della ricerca I dati sono stati inseriti nel programma Lindo e sono stati ottenuti i seguenti risultati:

65 Fasi di lavorazione 1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali 2)Trattamento 3)Macinazione 4)Controllo di qualità in uscita 5)Insacchettamento 6)Distribuzione

66 Fase 1 Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali Lo scopo è misurare la percentuale di: umidità radioattività corpi estranei e rilevare la presenza di: fattori di contaminazione -fattori microbiologici -fattori macrobiologici -fattori chimici

67 Fase 2 Trattamento Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi: prepulitura pulitura umidificazione riposo

68 Fase 3 Macinazione Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi: spazzolatura macinazione

69 Fase 4 Controllo di qualità in uscita Si eseguono 2 controlli: omogeneità del colore omogeneità delle dimensioni

70 Fase 5 Insacchettamento Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentari

71 Fase 6 Distribuzione I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite lutilizzo di elevatori mobili e,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o vendita

72 Obiettivi Lobiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un profitto massimo.

73 Definizione dei Costi Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese: Irap £ 150000 Ici £ 21000 Irpeg £ 395000 Energia elettrica £ 220000 Acqua £ 15000 Acquisto sacchi £ 220000 Trasporto £ 310000 Manutenzione £ 50000 Costo del personale £1250000 Ammortamenti £ 280000 Altri costi £ 50000

74 Tipi di farina o semola Prezzo di acquisto (lire/Kg) Prezzo di vendita (lire/Kg) Profitto (lire) Profitto (euro) Semola grossa 290350600.03 Semola per pasta 2905502600.13 Farina 002705102400.12 Farina per mangimi (orzo) 2303301000.05 Farina polenta 2505503000.15 Farina per mangimi (mais) 250286360.02

75 Definizione delle variabili Le variabili che prenderemo in considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi tipi di cereali Chiamiamo: x1-semola per pane x2-semola per pasta x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais)

76 Definizione dei vincoli Vincoli di Produzione 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000 x1<=2000 x2<=6000 x3<=6000 x4<=1000 x5<=2000 x6<=1000

77 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 12000 x1>=1500x2>=4500x3>=5000x4>=500x5>=1000x6>=500 Vincoli di mercato

78 Definizione della Funzione Obiettivo Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6

79 Soluzione Ottima LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000

80 Tramite lanalisi di sensitività possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di alcune condizioni: Variazione nel vettore dei costi Variazione nei termini noti Variazione nella matrice dei vincoli Aggiunta di una variabile Aggiunta di un vincolo

81 Variazione nel vettore dei costi Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal mercato perfettamente concorrenziale.

82 Aggiunta di una variabile (attività) Nel seguente caso,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche semi di soia. Tipo di farina o semola Prezzo di acquisto (lire/Kg) Prezzo di vendita (lire/Kg) Profitto (lire/Kg) Farina di soia 170520350

83 Conclusioni In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile produrre la quantità ottima, con un l'utile giornaliero definito, lazienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al giorno. Tuttavia lazienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto.

84 Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale. La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a ad un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno lincremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, lenergia, lacqua, lassicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.

85 Ai fini dellottimizzazione del profitto anche lintroduzione della produzione di un cereale pregiato come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando lutile netto di un 2.6% circa. Cè da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le fette di mercato sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta. Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nellanalisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla produzione ottima.