Corso di Ricerca Operativa a.a. 2001/2002 Ottimizzazione della produzione di un Mulino per la Macinazione di cereali.

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1 Corso di Ricerca Operativa a.a. 2001/2002 Ottimizzazione della produzione di un Mulino per la Macinazione di cereali

2 Studenti: Manuel CdL Ing Meccanica V.O. Andrea CdL Ing. Meccanica V.O. Università degli studi di Cagliari

3 Indice degli Argomenti 1Fasi di lavorazione 2Obiettivi 3Definizione dei Costi 4Definizione delle variabili 5Definizione dei vincoli 6Definizione della funzione obiettivo 7Soluzione ottima 8Analisi di Sensitività 9Conclusioni e commenti

4 Fasi di lavorazione 1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali 2)Trattamento 3)Macinazione 4)Controllo di qualità in uscita 5)Insacchettamento 6)Distribuzione

5 Fase 1 Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali Lo scopo è misurare la percentuale di: umidità radioattività corpi estranei e rilevare la presenza di: fattori di contaminazione -fattori microbiologici -fattori macrobiologici -fattori chimici

6 Fase 2 Trattamento Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi: prepuliturapulituraumidificazioneriposo

7 Fase 3 Macinazione Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi: spazzolaturamacinazione

8 Fase 4 Controllo di qualità in uscita Si eseguono 2 controlli: omogeneità del colore omogeneità delle dimensioni

9 Fase 5 Insacchettamento Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentari

10 Fase 6 Distribuzione I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite lutilizzo di elevatori mobili e,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o vendita

11 Obiettivi Lobiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un profitto massimo.

12 Definizione dei Costi Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese: Irap £ 150000 Ici £ 21000 Irpeg £ 395000 Energia elettrica £ 220000 Acqua £ 15000 Acquisto sacchi £ 220000 Trasporto £ 310000 Manutenzione £ 50000 Costo del personale £1250000 Ammortamenti £ 280000 Altri costi £ 50000

13 0.0236286250 Farina per mangimi (mais) 0.15300550250Farina polenta 0.05100330230 Farina per mangimi (orzo) 0.12240510270Farina 00 0.13260550290Semola per pasta 0.0360350290 Semola grossa Profitto (euro) Profitto (lire) Prezzo di vendita (lire/Kg) Prezzo di acquisto (lire/Kg) Tipi di farina o semola

14 Definizione delle variabili Le variabili che prenderemo in considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi tipi di cereali Chiamiamo: x1-semola per pane x1-semola per pane x2-semola per pasta x2-semola per pasta x3-farina 00 x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo) x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polenta x5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais) x6-farina per mangimi (mais)

15 Definizione dei vincoli Vincoli di Produzione 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000 x1<=2000 x1<=2000 x2<=6000 x2<=6000 x3<=6000 x3<=6000 x4<=1000 x4<=1000 x5<=2000 x5<=2000 x6<=1000 x6<=1000

16 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 12000 x1>=1500x2>=4500x3>=5000x4>=500x5>=1000x6>=500 Vincoli di mercato

17 Definizione della Funzione Obiettivo Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6

18 Soluzione Ottima LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000

19 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3400.000000 0.000000 3) 4600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.000000 7) 1400.000000 0.000000 8) 100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.000000 10) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.00000

20 Analisi di sensitività NO. ITERATIONS= 8 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE COEF INCREASE DECREASE X1 60.000000 200.000000 INFINITY X1 60.000000 200.000000 INFINITY X2 260.000000 340.000000 20.000000 X2 260.000000 340.000000 20.000000 X3 240.000000 20.000000 INFINITY X3 240.000000 20.000000 INFINITY X4 100.000000 290.000000 INFINITY X4 100.000000 290.000000 INFINITY X5 300.000000 INFINITY 170.000000 X5 300.000000 INFINITY 170.000000 X6 36.000000 94.000000 INFINITY X6 36.000000 94.000000 INFINITY

21 NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE COEF INCREASE DECREASE X1 60.000000 200.000000 INFINITY X1 60.000000 200.000000 INFINITY X2 260.000000 340.000000 20.000000 X2 260.000000 340.000000 20.000000 X3 240.000000 20.000000 INFINITY X3 240.000000 20.000000 INFINITY X4 100.000000 290.000000 INFINITY X4 100.000000 290.000000 INFINITY X5 300.000000 INFINITY 170.000000 X5 300.000000 INFINITY 170.000000 X6 36.000000 94.000000 INFINITY X6 36.000000 94.000000 INFINITY

22 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE RHS INCREASE DECREASE 2 12000.000000 3400.000000 INFINITY 2 12000.000000 3400.000000 INFINITY 3 20000.000000 INFINITY 4600.000000 3 20000.000000 INFINITY 4600.000000 4 28800.000000 200.000000 2800.000000 4 28800.000000 200.000000 2800.000000 5 1500.000000 500.000000 100.000000 5 1500.000000 500.000000 100.000000 6 2000.000000 INFINITY 500.000000 6 2000.000000 INFINITY 500.000000 7 4500.000000 1400.000000 INFINITY 7 4500.000000 1400.000000 INFINITY 8 6000.000000 INFINITY 100.000000 8 6000.000000 INFINITY 100.000000 9 5000.000000 1000.000000 100.000000 9 5000.000000 1000.000000 100.000000 10 6000.000000 INFINITY 1000.000000 10 6000.000000 INFINITY 1000.000000 11 500.000000 500.000000 66.666664 11 500.000000 500.000000 66.666664 12 1000.000000 INFINITY 500.000000 12 1000.000000 INFINITY 500.000000 13 1000.000000 1000.000000 INFINITY 13 1000.000000 1000.000000 INFINITY

23 Tramite lanalisi di sensitività possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di alcune condizioni: Variazione nel vettore dei costi Variazione nei termini noti Variazione nella matrice dei vincoli Aggiunta di una variabile Aggiunta di un vincolo

24 Variazione nel vettore dei costi Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal mercato perfettamente concorrenziale.

25 Variazione nei termini noti I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono modificati alcuni termini noti: I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono modificati alcuni termini noti: max z = 60. x 1 + 260. x 2 + 240. x 3 + 100. x 4 + 300. x 5 + 36. x 6 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 13000 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 13000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 19000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 19000 4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800 4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800

26 5) x1 >= 1500 5) x1 >= 1500 6) x1 <= 2000 6) x1 <= 2000 7) x2 >= 4500 7) x2 >= 4500 8) x2 <= 6000 8) x2 <= 6000 9) x3 >= 5000 9) x3 >= 5000 10) x3 <= 6000 10) x3 <= 6000 11) x4 >= 500 12) x4 <= 1000 12) x4 <= 1000 13) x5 >= 1000 13) x5 >= 1000 14) x5 <= 2000 14) x5 <= 2000 15) x6 >= 500 16) x6 <= 1000 16) x6 <= 1000

27 Soluzioni del nuovo problema: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000

28 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2400.000000 0.000000 2) 2400.000000 0.000000 3) 3600.000000 0.000000 3) 3600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.000000 4) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.000000 6) 500.000000 0.000000 7) 1400.000000 0.000000 7) 1400.000000 0.000000 8) 100.000000 0.000000 8) 100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.000000 9) 0.000000 -20.000000 10) 1000.000000 0.000000 10) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.000000 11) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.000000 12) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.000000 14) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.000000 15) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.000000 16) 500.000000 0.000000

29 Tale variazione restringe il campo intorno allottimo ma, di fatto,lascia inalterati tutti gli altri risultati: in corrispondenza della soluzione ottima i valori della funzione obiettivo, delle variabili decisionali e di quelle duali restano immutati. Rimangono uguali anche i valori delle slacks di tutti i vincoli ad eccezione, ovviamente, di quelli modificati. Il comportamento è lo stesso continuando a modificare i due vincoli nella stessa direzione; dunque aumentare la produzione minima e diminuire quella massima non determina variazioni purché tali modifiche non superino il limite costituito dai 15400 Kg di derivati che rappresentano la soluzione ottima.

30 II)Consideriamo il seguente problema in cui viene modificato il termine noto 4): max 60. x 1 + 260. x 2 + 240. x 3 + 100. x 4 + 300. x 5 + 36. x 6 subject to 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 12000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 20000 4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 32400

31 5) x1 >= 1500 6) x1 <= 2000 7) x2 >= 4500 8) x2 <= 6000 9) x3 >= 5000 10) x3 <= 6000 11) x4 >= 500 12) x4 <= 1000 13) x5 >= 1000 14) x5 <= 2000 15) x6 >= 500 16) x6 <= 1000

32 Si ottiene: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3806000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 6000.000000 0.000000 X3 6000.000000 0.000000 X4 800.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 1000.000000 0.000000

33 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5300.000000 0.000000 3) 2700.000000 0.000000 4) 0.000000 33.333332 5) 0.000000 -6.666667 6) 500.000000 0.000000 7) 1500.000000 0.000000 8) 0.000000 193.333328 9) 1000.000000 0.000000 10) 0.000000 173.333328 11) 300.000000 0.000000 12) 200.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 266.666656 15) 500.000000 0.000000 16) 0.000000 2.666667

34 Dunque lora giornaliera di straordinario fa salire il profitto massimo da £ 3492000 a £ 3806000(+ 8.99%). Anche la quantità ottima di derivati da produrre passa dai 15400 Kg ai 17300 Kg con un incremento del 12.34%. Stavolta le variabili duali positive sono cinque in corrispondenza dei vincoli 4), 8), 10), 14), 16). Un incremento della funzione obiettivo si ottiene aumentando la quantità massima di farina per polenta che deve essere prodotta ogni giorno e, in misura minore, aumentando le quantità massime producibili di semola per pasta e farina 00. Nettamente inferiore il miglioramento in seguito a una maggiore attività lavorativa del mulino e quasi trascurabile quello legato a una maggiore disponibilità di farina di mais per mangimi.

35 Variazione nella matrice dei vincoli I coefficienti delle variabili non possono essere mutati. Non è dunque possibile apportare alcuna modifica alla matrice dei vincoli

36 Aggiunta di una variabile (attività) Nel seguente caso,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche semi di soia. 350520170Farina di soia Profitto (lire/Kg) Prezzo di vendita (lire/Kg) Prezzo di acquisto (lire/Kg) Tipo di farina o semola

37 Il problema che si ottiene è il seguente: max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6 + 350 x7 subject to 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >= 12000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 <= 20000 4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 + 2 x7 <= 28800

38 5) x1 >= 15006) x1 <= 2000 7) x2 >= 45008) x2 <= 6000 9) x3 >= 500010) x3 <= 6000 11) x4 >= 50012) x4 <= 1000 13) x5 >= 100014) x5 <= 2000 15) x6 >= 50016) x6 <= 1000 17) x7 >= 10018) x7 <= 1000 end

39 Si ottiene: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 10 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3582000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 4900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000 X7 1000.000000 0.000000

40 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2400.000000 0.000000 3) 5600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.000000 7) 400.000000 0.000000 8) 1100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.000000 10) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.000000 17) 900.000000 0.000000 18) 0.000000 90.000000 NO. ITERATIONS= 10

41 Lintroduzione della soia come settimo prodotto da macinare determina, a parità di ore di lavorazione, un incremento del profitto massimo giornaliero da £ 3492000 a £ 3582000(+2.58%).

42 Conclusioni In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile produrre la quantità ottima, con un utile giornaliero di £ 531000 pari a £ 12744000 mensili e £ 152928000 annuali, lazienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al giorno. Tuttavia lazienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto.

43 Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale. La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a £ 3806000 con un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno il profitto passa a £ 3856000 e lincremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, lenergia, lacqua, lassicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.

44 Ai fini dellottimizzazione del profitto anche lintroduzione della produzione di un cereale pregiato come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando lutile netto di un 2.6% circa. Cè da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le fette di mercato sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta. Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nellanalisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla produzione ottima.