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Integrale indefinito Parte introduttiva
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Integrale indefinito β I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo definito derivata di f(x) in π π il limite, se esiste, del rapporto incrementale per βπ₯ o β che tende a zero. βπ βπ₯ = π π₯ 0 +β βπ( π₯ 0 ) β π ππ₯ π π₯ 0 = π β² π₯ 0 = lim ββ0 βπ βπ₯
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Integrale indefinito β I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo costruito una funzione che associa ad ogni π π , se esiste, la derivata di f(x) nel punto π π . Tale funzione lβabbiamo chiamata funzione derivata o semplicemente derivata di f(x). E lβabbiamo indicata con πβ²(π) o anche π
π
π π(π) π β² π₯ : π₯β lim ββ0 π π₯+β βπ(π₯) β Sfruttando la definizione di derivata e i teoremi abbiamo imparato a calcolare le derivate di funzione Osserviamo per concludere: A partire da ππ(π₯) ππ₯ = π β² (π₯) , moltiplicando per dx, ricaviamo ππ π₯ =πβ²(π₯)βππ₯. Questa quantitΓ si chiama differenziale
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Integrale indefinito β I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Dato il grafico della funzione f(x), vogliamo cercare un possibile grafico della funzione F(x) tale che ππΉ(π₯) ππ₯ =π(π₯) 1) Indichiamo i punti nei quali la f(x) incontra lβasse x. Ovvero i punti in cui f(x)=0. PoichΓ© f(x) Γ¨ la derivata di F(x), i punti trovati saranno i punti stazionari di F(x). 2) Individuiamo gli intervalli in cui f(x) Γ¨ positiva e f(x) Γ¨ negativa . 3) In tali intervalli la F(x) sarΓ crescente (se f(x) Γ¨ positiva) e decrescente (se f(x) negativa). 4) Con ulteriori considerazioni possiamo arrivare a Β«disegnareΒ» il grafico probabile di F(x).
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Integrale indefinito β I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Ripercorriamo quanto fatto e osserviamo che possiamo avere infinite funzioni F(x), ovvero infinite funzioni la cui derivata coincide con f(x)
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Prime definizioni e teoremi
Integrale indefinito β I parte Prime definizioni e teoremi Prime definizioni e teoremi Definizione Si dice che la funzione F(x) Γ¨ primitiva della di f(x) in un intervallo [a,b]se F(x) Γ¨ derivabile in ogni suo punto e risulta ππΉ(π₯) ππ₯ =π(π₯). Esempio F(x)=sinx Γ¨ la primitiva di f(x)=cosx; ma anche F(x)=sinx+5 Γ¨ primitiva di f(x). Come osservato nel caso dellβintegrazione grafica: se una funzione f(x) ha una primitiva F(x) in [a,b] allora ne ha infinite. Teorema Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.
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Prime definizioni e teoremi: dimostriamo
Integrale indefinito β I parte Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Prime definizioni e teoremi Teorema: Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante. Dimostrazione Tutte (ovvero: se F(x) Γ¨ primitiva allora F(x)+C Γ¨ primitiva) π ππ₯ [πΉ π₯ +πΆ]= π ππ₯ πΉ π₯ + π ππ₯ πΆ=π (π₯) Consideriamo F(x)+C e deriviamo Per definizione di primitiva Sole (ovvero: Se F(x) Γ¨ primitiva e G(x) Γ¨ un'altra primitiva di f(x) in [a,b] allora Γ¨ della forma F(x)+C) F(x) Γ¨ primitiva e per definizione Fβ(x)=f(x), consideriamo una seconda primitiva G(x) Per definizione di primitiva: G(x) Γ¨ derivabile in [a,b] e Gβ(x)=f(x) Dunque Gβ(x)=f(x)=Fβ(x) β Gβ(x)=Fβ(x) in [a,b]. Per un corollario al teorema di Lagrange ricaviamo che G(x)=F(x)+C se f(x) e g(x) continue e derivabili in [a,b] e fβ(x)=gβ(x) per ogni x, allora f(x)=g(x)+costante CVD
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Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale
Integrale indefinito β I parte Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Prime definizioni e teoremi Il teorema visto: Β«Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.Β» Ha una interpretazione grafica tutte le primitive di una funzione f(x) corrispondono ad una famiglia di curve che si ottengono lβuna dallβaltra per traslazione, mediante π£ , lungo lβasse y. Definizione Lβinsieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con π(π₯) ππ₯ Osserviamo: il simbolo corrisponde ad una S allungata f(x) Γ¨ detta funzione integranda dx indica la variabile rispetto alla quale faremo lβintegrazione lβoperatore integrale Γ¨ formato dai due simboli ππ₯ combinati insieme. E leggeremo "integrale di ____ in di x" Inoltre: dalla definizione: π(π₯) ππ₯ ad una funzione f(x) associa una famiglia di funzioni F(x)+C. PoichΓ© opera/agisce su un insieme (quello delle funzioni) lo chiameremo operatore (anche la derivata Γ¨ un operatore che agisce sull'insieme delle funzioni).
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Integrale indefinito β I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Teorema Lβintegrazione Γ¨ lβoperazione inversa della derivazione. Dimostrazione: dobbiamo dimostrare A) π ππ₯ π(π₯) ππ₯=π(π₯) e B) π ππ₯ π(π₯) ππ₯ =π(π₯) A) π
π
π π(π) π
π=π(π) Dalla definizione di derivata π ππ₯ π π₯ = π β² (π₯), sostituiamo nell'espressione π ππ₯ π(π₯) ππ₯= π β² (π₯) ππ₯ Dalla definizione di integrale indefinito dobbiamo cercare la famiglia di primitive di π β² π₯ ovvero f(x) (omettiamo la costante additiva) CVD (A) B) π
π
π π(π) π
π =π(π) Dalla definizione di integrale indefinito π(π₯) ππ₯=F(x)+C , sostituiamo in π ππ₯ π(π₯) ππ₯Β π ππ₯ π(π₯) ππ₯ = π ππ₯ F(x)+C = π ππ₯ F(x) .. Dalla definizione di primitiva π ππ₯ F(x) =π π₯ CVD (B)
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Integrale indefinito β I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Il teorema spiega perchΓ© in molti testi (specie anglosassoni) si parla di antiderivata e non di integrale indefinito. ? Domandiamoci: Si puΓ² sempre trovare una primitiva per f(x)? La risposta Γ¨ NO Attenzione occorrerΓ distinguere due casi: - esistono casi di funzioni che non hanno una primitiva - esistono casi di funzioni che ammettono una primitiva ma non Γ¨ possibile trovarne l'equazione (o meglio l'espressione analitica). Ad esempio π π₯ = π β π₯ 2 2 ? Esiste un teorema che garantisce lβesistenza di una primitiva (senza perΓ² dirci come trovarla)? La risposta Γ¨ SI Teorema Se f(x) Γ¨ continua in [a,b] allora Γ¨ integrabile. Non dimostriamo ora questo teorema.
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Un teorema che garantisca esistenza primitiva
Integrale indefinito β I parte Un teorema che garantisca esistenza primitiva Prime definizioni e teoremi Osserviamo: La continuitΓ non Γ¨ condizione sufficiente per la derivabilitΓ (ricordiamo che una funzione f(x) continua non Γ¨ detto che sia derivabile, esempio classico f(x)=|x| in x=0 Γ¨ continua ma non derivabile). La continuitΓ in [a;b] Γ¨ condizione sufficiente per lβintegrabilitΓ Eβ possibile anche indebolire la richiesta: f(x) limitata e monotona in [a;b] allora Γ¨ integrabile in [a;b] f(x) limitata con un numero finito o numerabile di discontinuitΓ in [a;b] allora Γ¨ integrabile [a;b] Tutto questo lo si giustifica ripensando al legame tra integrale indefinito e definito
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