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Integrale indefinito Parte introduttiva.

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Presentazione sul tema: "Integrale indefinito Parte introduttiva."β€” Transcript della presentazione:

1 Integrale indefinito Parte introduttiva

2 Integrale indefinito – I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo definito derivata di f(x) in 𝒙 𝟎 il limite, se esiste, del rapporto incrementale per βˆ†π‘₯ o β„Ž che tende a zero. βˆ†π‘“ βˆ†π‘₯ = 𝑓 π‘₯ 0 +β„Ž βˆ’π‘“( π‘₯ 0 ) β„Ž 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓 π‘₯ 0 = 𝑓 β€² π‘₯ 0 = lim β„Žβ†’0 βˆ†π‘“ βˆ†π‘₯

3 Integrale indefinito – I parte
Cosa ricordare: Sulle derivate: Abbiamo costruito una funzione che associa ad ogni 𝒙 𝟎 , se esiste, la derivata di f(x) nel punto 𝒙 𝟎 . Tale funzione l’abbiamo chiamata funzione derivata o semplicemente derivata di f(x). E l’abbiamo indicata con 𝒇′(𝒙) o anche 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝑓 β€² π‘₯ : π‘₯β†’ lim β„Žβ†’0 𝑓 π‘₯+β„Ž βˆ’π‘“(π‘₯) β„Ž Sfruttando la definizione di derivata e i teoremi abbiamo imparato a calcolare le derivate di funzione Osserviamo per concludere: A partire da 𝑑𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑓 β€² (π‘₯) , moltiplicando per dx, ricaviamo 𝑑𝑓 π‘₯ =𝑓′(π‘₯)βˆ™π‘‘π‘₯. Questa quantitΓ  si chiama differenziale

4 Integrale indefinito – I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Dato il grafico della funzione f(x), vogliamo cercare un possibile grafico della funzione F(x) tale che 𝑑𝐹(π‘₯) 𝑑π‘₯ =𝑓(π‘₯) 1) Indichiamo i punti nei quali la f(x) incontra l’asse x. Ovvero i punti in cui f(x)=0. PoichΓ© f(x) Γ¨ la derivata di F(x), i punti trovati saranno i punti stazionari di F(x). 2) Individuiamo gli intervalli in cui f(x) Γ¨ positiva e f(x) Γ¨ negativa . 3) In tali intervalli la F(x) sarΓ  crescente (se f(x) Γ¨ positiva) e decrescente (se f(x) negativa). 4) Con ulteriori considerazioni possiamo arrivare a Β«disegnareΒ» il grafico probabile di F(x).

5 Integrale indefinito – I parte
Integrazione grafica Integrazione grafica Ripercorriamo quanto fatto e osserviamo che possiamo avere infinite funzioni F(x), ovvero infinite funzioni la cui derivata coincide con f(x)

6 Prime definizioni e teoremi
Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi Prime definizioni e teoremi Definizione Si dice che la funzione F(x) Γ¨ primitiva della di f(x) in un intervallo [a,b]se F(x) Γ¨ derivabile in ogni suo punto e risulta 𝑑𝐹(π‘₯) 𝑑π‘₯ =𝑓(π‘₯). Esempio F(x)=sinx Γ¨ la primitiva di f(x)=cosx; ma anche F(x)=sinx+5 Γ¨ primitiva di f(x). Come osservato nel caso dell’integrazione grafica: se una funzione f(x) ha una primitiva F(x) in [a,b] allora ne ha infinite. Teorema Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.

7 Prime definizioni e teoremi: dimostriamo
Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi: dimostriamo Prime definizioni e teoremi Teorema: Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante. Dimostrazione Tutte (ovvero: se F(x) Γ¨ primitiva allora F(x)+C Γ¨ primitiva) 𝑑 𝑑π‘₯ [𝐹 π‘₯ +𝐢]= 𝑑 𝑑π‘₯ 𝐹 π‘₯ + 𝑑 𝑑π‘₯ 𝐢=𝑓 (π‘₯) Consideriamo F(x)+C e deriviamo Per definizione di primitiva Sole (ovvero: Se F(x) Γ¨ primitiva e G(x) Γ¨ un'altra primitiva di f(x) in [a,b] allora Γ¨ della forma F(x)+C) F(x) Γ¨ primitiva e per definizione F’(x)=f(x), consideriamo una seconda primitiva G(x) Per definizione di primitiva: G(x) Γ¨ derivabile in [a,b] e G’(x)=f(x) Dunque G’(x)=f(x)=F’(x) β†’ G’(x)=F’(x) in [a,b]. Per un corollario al teorema di Lagrange ricaviamo che G(x)=F(x)+C se f(x) e g(x) continue e derivabili in [a,b] e f’(x)=g’(x) per ogni x, allora f(x)=g(x)+costante CVD

8 Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale
Integrale indefinito – I parte Prime definizioni e teoremi: definiamo integrale Prime definizioni e teoremi Il teorema visto: Β«Se F(x) Γ¨ una primitiva di f(x) in [a,b], tutte e sole le primitive di f(x) sono date dalla formula F(x)+C, con C costante.Β» Ha una interpretazione grafica tutte le primitive di una funzione f(x) corrispondono ad una famiglia di curve che si ottengono l’una dall’altra per traslazione, mediante 𝑣 , lungo l’asse y. Definizione L’insieme di tutte le primitive di una funzione f(x) si chiama integrale indefinito della funzione f(x) e si indica con 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ Osserviamo: il simbolo corrisponde ad una S allungata f(x) Γ¨ detta funzione integranda dx indica la variabile rispetto alla quale faremo l’integrazione l’operatore integrale Γ¨ formato dai due simboli 𝑑π‘₯ combinati insieme. E leggeremo "integrale di ____ in di x" Inoltre: dalla definizione: 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ ad una funzione f(x) associa una famiglia di funzioni F(x)+C. PoichΓ© opera/agisce su un insieme (quello delle funzioni) lo chiameremo operatore (anche la derivata Γ¨ un operatore che agisce sull'insieme delle funzioni).

9 Integrale indefinito – I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Teorema L’integrazione Γ¨ l’operazione inversa della derivazione. Dimostrazione: dobbiamo dimostrare A) 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯=𝑓(π‘₯) e B) 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ =𝑓(π‘₯) A) 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙=𝒇(𝒙) Dalla definizione di derivata 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓 π‘₯ = 𝑓 β€² (π‘₯), sostituiamo nell'espressione 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯= 𝑓 β€² (π‘₯) 𝑑π‘₯ Dalla definizione di integrale indefinito dobbiamo cercare la famiglia di primitive di 𝑓 β€² π‘₯ ovvero f(x) (omettiamo la costante additiva) CVD (A) B) 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =𝒇(𝒙) Dalla definizione di integrale indefinito 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯=F(x)+C , sostituiamo in 𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯Β  𝑑 𝑑π‘₯ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑑 𝑑π‘₯ F(x)+C = 𝑑 𝑑π‘₯ F(x) .. Dalla definizione di primitiva 𝑑 𝑑π‘₯ F(x) =𝑓 π‘₯ CVD (B)

10 Integrale indefinito – I parte
Antiderivata Prime definizioni e teoremi Il teorema spiega perchΓ© in molti testi (specie anglosassoni) si parla di antiderivata e non di integrale indefinito. ? Domandiamoci: Si puΓ² sempre trovare una primitiva per f(x)? La risposta Γ¨ NO Attenzione occorrerΓ  distinguere due casi: - esistono casi di funzioni che non hanno una primitiva - esistono casi di funzioni che ammettono una primitiva ma non Γ¨ possibile trovarne l'equazione (o meglio l'espressione analitica). Ad esempio 𝑓 π‘₯ = 𝑒 βˆ’ π‘₯ 2 2 ? Esiste un teorema che garantisce l’esistenza di una primitiva (senza perΓ² dirci come trovarla)? La risposta Γ¨ SI Teorema Se f(x) Γ¨ continua in [a,b] allora Γ¨ integrabile. Non dimostriamo ora questo teorema.

11 Un teorema che garantisca esistenza primitiva
Integrale indefinito – I parte Un teorema che garantisca esistenza primitiva Prime definizioni e teoremi Osserviamo: La continuitΓ  non Γ¨ condizione sufficiente per la derivabilitΓ  (ricordiamo che una funzione f(x) continua non Γ¨ detto che sia derivabile, esempio classico f(x)=|x| in x=0 Γ¨ continua ma non derivabile). La continuitΓ  in [a;b] Γ¨ condizione sufficiente per l’integrabilitΓ  E’ possibile anche indebolire la richiesta: f(x) limitata e monotona in [a;b] allora Γ¨ integrabile in [a;b] f(x) limitata con un numero finito o numerabile di discontinuitΓ  in [a;b] allora Γ¨ integrabile [a;b] Tutto questo lo si giustifica ripensando al legame tra integrale indefinito e definito


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