Milena Maule - AA 2011-121 Università degli Studi di Torino Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Teorema di Bayes.

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1 Milena Maule - AA 2011-121 Università degli Studi di Torino Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia Teorema di Bayes

2 Milena Maule - AA 2011-122 Definizione di probabilità Esistono 3 definizioni del concetto di probabilità. Immaginiamo che ci sia una partita di calcio e che lo spazio dei tre eventi siano la vittoria della squadra di casa, la vittoria della squadra ospite e il pareggio. Vediamo cosa accade con i tre approcci: teoria classica: esiste 1 probabilità su 3 che avvenga il primo evento teoria frequentista: ci si può dotare di un almanacco e controllare tutte le partite precedenti e calcolare la frequenza di un evento teoria soggettiva (bayesiana): ci si può documentare sullo stato di forma dei calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una probabilità soggettiva (Esempio di Bruno de Finetti)

3 Milena Maule - AA 2011-123 Bayes, Thomas (1702, London - 1761, Tunbridge Wells, Kent)

4 Milena Maule - AA 2011-124 Ragionamento bayesiano Problema: L’1% delle donne di 40 anni che partecipa ad un programma di screening ha un tumore della mammella. L’80% delle donne con un tumore della mammella ha una mammografia positiva. Anche il 9.6% delle donne senza tumore della mammella ha una mammografia positiva. Una donna di 40 anni ha appena partecipato allo screening e ha avuto una mammografia positiva. Qual è la probabilità che abbia davvero un tumore della mammella?

5 Milena Maule - AA 2011-125 Ragionamento bayesiano Soltanto il 15% dei medici a cui viene sottoposto questo problema risponde correttamente (Casscells, Schoenberger, and Grayboys 1978; Eddy 1982; Gigerenzer and Hoffrage 1995) La maggior parte stima una probabilità fra il 70% e l’80%

6 Milena Maule - AA 2011-126 A cosa serve Il teorema di Bayes ci dà la possibilità di calcolare P(E|F) quando conosciamo P(F|E) Ricordiamo che P(F|E) = P(F  E)/P(E) Esempio T = evento: un test per individuare la presenza di steroidi anabolizzanti dà un risultato positivo S = evento: l’atleta fa uso di steroidi anabolizzanti P(T|S) = probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa steroidi P(S|T) = probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che il test è risultato positivo

7 Milena Maule - AA 2011-127 Esempio Una casa farmaceutica dichiara che il test che produce è in grado di individuare l’uso di steroidi anabolizzanti (cioè il test risulta positivo sugli atleti che fanno uso di steroidi) il 95% delle volte. Un vostro amico che gioca nella squadra di rugby è appena risultato positivo a questo test. Qual è la probabilità che faccia uso di steroidi? a)95% b)Al più 95% c)Almeno 95% d)Non è possibile rispondere

8 Milena Maule - AA 2011-128 T = un test per individuare la presenza di steroidi dà un risultato positivo S = evento: l’atleta fa uso di steroidi anabolizzanti Noi conosciamo P(T|S), la probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi = 0.95. Tuttavia questo non ci dice nulla su P(S|T), la probabilità che un atleta usi gli steroidi una volta che è risultato positivo al test P(S|T) potrebbe essere qualsiasi numero fra 0 and 1. Per esempio, se nessuno nella squadra utilizza steoridi, P(S|T) = 0, e il risultato positivo del test deve necessariamente essere un falso positivo D’altro canto, se tutti nella squadra utilizzano steroidi, allora P(S|T) = 1 Abbiamo bisogno di ulteriori informazioni per rispondere alla domanda

9 Milena Maule - AA 2011-129 Domanda Di quali informazioni abbiamo bisogno per calcolare P(S|T) (= probabilità che un atleta usi gli steroidi una volta che è risultato positivo al test), se conosciamo P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi)?

10 Milena Maule - AA 2011-1210 Domanda Di quali informazioni abbiamo bisogno per calcolare P(S|T) (= probabilità che un atleta usi gli steroidi una volta che è risultato positivo al test), se conosciamo P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi)? Risposta Due informazioni: P(S) (= probabilità che un atleta della squadra usi gli steroidi) P(T|S) (= probabilità di un risultato falso positivo)

11 Milena Maule - AA 2011-1211 Una casa farmaceutica dichiara che il test che produce è in grado di individuare l’uso di steroidi anabolizzanti (cioè il test risulta positivo sugli atleti che fanno uso di steroidi) il 95% delle volte. Quello che la casa farmaceutica non ha dichiarato è che il 15% di tutti gli atleti “puliti” risulterà positivo (falsi positivi). Inoltre sappiamo che nella squadra di rugby il 10% degli atleti usa steroidi anabolizzanti. T = un membro della squadra di rugby risulta positivo al test S = un membro della squadra di rugby usa steroidi Proviamo a completare la seguente tabella: P(S)= P(T|S)=

12 Milena Maule - AA 2011-1212 Scegliere fra i seguenti 4 alberi di probabilità quello corretto: usa steroidi non usa steroidi test positivotest negativo

13 Milena Maule - AA 2011-1213 Una casa farmaceutica dichiara che il test che produce è in grado di individuare l’uso di steroidi anabolizzanti (cioè il test risulta positivo sugli atleti che fanno uso di steroidi) il 95% delle volte. Quello che la casa farmaceutica non ha dichiarato è che il 15% di tutti gli atleti “puliti” risulterà positivo (falsi positivi). Inoltre sappiamo che nella squadra di rugby il 10% degli atleti usa steroidi anabolizzanti. T = un membro della squadra di rugby risulta positivo al test S = un membro della squadra di rugby usa steroidi Proviamo a completare la seguente tabella: P(S)=0.10P(S)=0.90 P(T|S)=0.95P(T|S)=0.05 P(T|S)=0.15P(T|S)=0.85

14 Milena Maule - AA 2011-1214 Domanda Una casa farmaceutica dichiara che il test che produce è in grado di individuare l’uso di steroidi anabolizzanti il 95% delle volte. Anche il 15% di tutti gli atleti “puliti” risulta positivo (falsi positivi). Inoltre sappiamo che nella squadra di rugby il 10% degli atleti usa steroidi anabolizzanti. Un vostro amico che gioca nella squadra di rugby è appena risultato positivo a questo test. Qual è la probabilità che faccia uso di steroidi? a)0.4130 b)0.8636 c)0.0950 d)0.2300

15 Milena Maule - AA 2011-1215 Utilizziamo l’albero di probabilità e ricordiamo che P(T  S) = P(T|S) P(S) P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.095 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.005 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.135 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.765

16 Milena Maule - AA 2011-1216 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.095 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.005 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.135 P(T  S) = P(T|S)P(S) = 0.765 Probabilità di avere un test positivo: 0.095 + 0.135 = 0.23 Probabilità di test positivo e uso di steroidi: 0.095

17 Milena Maule - AA 2011-1217 Ricapitolando: Il 23% di tutti i giocatori di rugby risulta positivo al test, ma soltanto il 9.5% usa davvero steroidi anabolizzanti. Quindi la probabilità che un giocatore che è risultato positivo al test usi davvero steroidi anabolizzanti è: P(S|T) = P(steroidi | test positivo) = = 0.095/(0.095 + 0.135) = = 0.095/0.23 = 41.3%

18 Milena Maule - AA 2011-1218 Teorema di Bayes Dati due eventi complementari e mutuamente esclusivi B e B

19 Milena Maule - AA 2011-1219 Teorema di Bayes Notate come abbiamo appena calcolato P(S|T) (= probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che è risultato positivo al test), a partire dalla conoscenza di P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che usa gli steroidi), di P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta che non usa gli steroidi), e di P(S). Nel nostro esempio: P(T|S) = 0.95, P(T|S) = 0.15, P(S) = 0.1, P(S) = 0.9 P(S|T) = (0.95∙0.1)/(0.95∙0.1+0.15∙0.9) = 0.4130