Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F.

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1 Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F.
3° CONVEGNO NAZIONALE SICUREZZA ED ESERCIZIO FERROVIARIO: TECNOLOGIE E REGOLAMENTAZIONE PER LA COMPETIZIONE Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. G. Cantisani1, G. Loprencipe1, P. Zoccali1 1DICEA – Sapienza, Università di Roma, Via Eudossiana 18, Roma

2 MODELLI TEORICI PROBLEMA DI LAMB (1904)
I modelli teorici presenti in letteratura forniscono un valido ausilio alla comprensione del fenomeno vibratorio, consentendo la caratterizzazione dei parametri coinvolti e l’individuazione del loro range di influenza. PROBLEMA DI LAMB (1904) Analisi della propagazione delle onde elastiche sulla superficie di un semispazio elastico omogeneo e isotropo soggetto ad un carico verticale applicato sulla superficie stessa. Forza verticale (impulso) In letteratura sono presenti vari modelli teorici, i quali forniscono letteratura forniscono un valido ausilio alla comprensione del fenomeno vibratorio, consentendo la caratterizzazione dei parametri coinvolti e l’individuazione del loro range di influenza. Tra i modelli teorici più semplici vi sono quelli legati al problema di Lamb, il quale riguarda l’analisi della propagazione delle onde elastiche sulla superficie di un semispazio elastico omogeneo e isotropo soggetto ad un carico verticale applicato sulla superficie stessa. É possibile inoltre considerare diverse tipologie di carico (impulso, forzante armonica) nonché differenti distribuzioni : carico puntuale, carico lineare uniforme infinitamente esteso. Forzante armonica verticale Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

3 IMPULSO VERTICALE PUNTUALE
Data la complessità della soluzione fornita da Lamb (1904), diversi autori hanno ricercato soluzioni in forma chiusa di più facile utilizzo per il caso di forza verticale puntuale: Pekeris (1955) : calcolo delle componenti verticale ed orizzontale dello spostamento per Mooney (1974) : riprese la soluzione di Pekeris incrementando l’intervallo dei valori del coefficiente di Poisson Kausel (2012) : possibilità di determinare lo spostamento verticale ed orizzontale prodotto dall’applicazione di una forza sia verticale sia orizzontale per Considerando in particolare il caso di un impulso verticale applicato sulla superficie del semispazio, nel corso degli anni diversi autori hanno sviluppato e proposto differenti soluzioni, ognuna delle quali è applicabile per ben definite condizioni al contorno. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

4 Onde R Onde P (compressione) Onde R (Rayleigh) Onde S (taglio) Onde P
Deformazione residua Diagrammando tali soluzioni per un generico punto di osservazione posto a distanza r dalla sorgente, è possibile individuare gli istanti di arrivo delle onde P, delle onde R (a cui corrisponde un asintoto verticale) nonché la conseguente deformazione residua. È possibile quindi confrontare tali informazioni per ricettori posti a differenti distanze dal punto di applicazione della forzante e verificarne le caratteristiche al variare dei parametri fisici e meccanici del terreno nel quale avviene la propagazione. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

5 FORZANTE ARMONICA PUNTUALE
Soluzione generale: R P S in cui x è la distanza dalla sorgente, kP , kS , kR sono i numeri d’onda, ω è la pulsazione della forzante e P il suo modulo, μ è il modulo di resistenza a taglio del terreno ed i coeff. N,M,N1,M1 sono funzioni dei soli numeri d’onda. Considerando invece il caso relativo all’applicazione di una forzante armonica puntuale, è possibile individuare nelle equazioni risolutive, il contributo fornito da ciascuna tipologia di onda: il primo termine infatti fornisce il contributo delle onde superficiali di Rayleigh, il secondo quello delle onde di compressione P, ed il terzo quello relativo alle onde di taglio S. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

6 Soluzione particolare per un semispazio omogeneo e infinito, in cui l’unica condizione al contorno presente è la superficie del terreno: Riscrivendo le equazioni precedenti nel caso di un semispazio elastico omogeneo e infinito, è possibile individuare le differenti leggi di attenuazione proprie per ciascuna tipologia di onda. Si verifica infatti come al crescere della distanza tra il punto di osservazione e la sorgente, il contributo fornito dalle onde di Rayleigh assuma importanza crescente rispetto ai contributi forniti dalle onde di volume. Quest’ultime infatti presentano una legge di attenuazione geometrica in superficie proporzionale all’inverso del quadrato della distanza, mentre per le onde R tale legge risulta essere proporzionale all’inverso della radice della distanza r. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

7 Modelli teorici elementari
Carichi applicati direttamente sulla superficie del semispazio elastico Modelli teorici elementari Necessità di implementare modelli analitici più complessi in cui si tenga conto della presenza della sovrastruttura ferroviaria. Sovrastruttura Tali modelli, seppur importanti per la comprensione preliminare del fenomeno vibratorio, presentano lo svantaggio di non considerare la sovrastruttura ferroviaria Terreno Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

8 MODELLO PREVISIONALE DI KRYLOV
Tra i vari modelli presenti in letteratura vi è quello proposto da Krylov e Ferguson (1994), il quale sembra fornire risultati affidabili. MODELLO PREVISIONALE DI KRYLOV Individua come causa principale di eccitazione per le basse frequenze il meccanismo di pressione quasi-statica generato dal carico trasmesso dalle ruote dei carrelli al sistema sovrastruttura-terreno. Ciascuna traversa, ai fini dell’applicazione del carico, è vista come una singola sorgente puntuale in cui agisce una forza verticale che produce la deflessione. Tale modello prende inoltre in considerazione l’eccitazione parametrica dovuta all’interasse delle traverse mentre trascura il contributo fornito dalle irregolarità delle superfici a contatto. Partendo dalle soluzioni relative al problema di Lamb sono stati sviluppati diversi modelli analitici. Tra i più apprezzati in letteratura vi è il modello previsionale di Krylov. La teoria alla base di tale modello, individua come causa principale di eccitazione per le basse frequenze, il meccanismo di pressione quasi-statica generato dal carico trasmesso dalle ruote dei carrelli al sistema sovrastruttura terreno. Inoltre nelle equazioni risolutive si prende in considerazione anche l’eccitazione parametrica dovuta all’interasse delle traverse mentre si trascura completamente il contributo fornito dalle irregolarità della superficie di scorrimento. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

9 Nel modello di Krylov si tiene conto esclusivamente del contributo fornito dalle onde di Rayleigh in quanto queste trasportano la maggior parte dell’energia vibrazionale (circa 2/3 dell’energia complessiva). FASI PRINCIPALI : Determinazione della funzione rappresentativa della curva di deflessione w(t) in funzione delle caratteristiche della sovrastruttura; Individuazione della funzione di carico P(t) funzione, oltre che della deflessione, anche delle caratteristiche geometriche del treno; Diversi studi hanno messo in evidenza come la maggior parte dell’energia (circa il 67%) trasmessa al terreno dalla forzante sia trasportata dalle onde di Rayleigh. Per tale motivo il modello proposto da Krylov considera esclusivamente il contributo fornito da tali onde, trascurando quello delle onde di volume (P e S). I passi principali per il calcolo dello spettro del livello di velocità verticale sono: 1. Il calcolo dell’espressione della curva di deflessione; 2. L’individuazione della conseguente funzione di carico P(t), funzione oltre che della curva di deflessione w(t) anche delle caratteristiche geometriche del treno; Calcolo dello spettro in frequenza della velocità verticale Vz (ω) applicando la soluzione del problema di Lamb espressa tramite la funzione di Green. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

10 MODELLI AGLI ELEMENTI FINITI
In generale, i vari modelli teorici presenti in letteratura, siano essi riferiti al semplice semispazio o comprensivi della sovrastruttura ferroviaria, presentano una serie di approssimazioni e semplificazioni che non consentono una valutazione corretta del fenomeno vibratorio. MODELLI AGLI ELEMENTI FINITI Benché utili nella valutazione preliminare del livello vibratorio nei ricettori contigui all’infrastruttura ferroviaria, anche i modelli analitici più complessi presentano comunque una serie di approssimazioni che non consentono una piena comprensione e valutazione del fenomeno. Per superare tali limiti è possibile fare ricorso a modelli agli elementi finiti. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

11 MODELLI E.F. Lo sviluppo della modellazione agli elementi finiti e dei relativi programmi di calcolo ha fornito senza dubbio un impulso notevole allo studio delle vibrazioni in ambito ferroviario. Tramite tali modelli è possibile caratterizzare la sovrastruttura ferroviaria da un punto di vista dinamico. È possibile individuare le frequenze critiche per il sistema in esame, eseguendo un’analisi modale della sovrastruttura. Negli ultimi anni, parallelamente ai modelli teorici, sono stati sviluppati vari modelli agli elementi finiti, i quali hanno fornito un notevole impulso allo studio del fenomeno vibratorio. L’importanza di tali modelli, consiste nella possibilità di caratterizzare facilmente da un punto di vista dinamico il sistema in esame, calcolandone ad esempio le frequenze critiche attraverso l’analisi modale, la quale fornisce inoltre informazioni sulla deformata di ciascun modo di vibrare. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

12 Inoltre vi è la possibilità di analizzare la risposta fornita dal sistema all’applicazione di carichi esterni. In genere si determina la ricettanza tramite applicazione di una singola forza unitaria. Inoltre è consuetudine nell’analisi del comportamento dinamico della sovrastruttura ferroviaria determinare la ricettanza, la quale fornisce informazioni sulla risposta del sistema all’applicazione di una forzante armonica unitaria, la cui frequenza si fa variare entro un prefissato intervallo di interesse. FRF per armamento e massicciata con carico unitario applicato sulla traversa. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

13 Tramite i software agli elementi finiti è possibile modellare l’intero sistema sovrastruttura/terreno. Per la pre-validazione del modello previsionale di Krylov è stato realizzato un modello rappresentativo di un tratto in rettifilo di lunghezza pari a 50 m, sul quale è stata eseguita un’analisi dinamica diretta (tramite metodo di risoluzione implicito). Per la validazione e la verifica dei risultati forniti dal modello previsionale di Krylov è stato realizzato un modello agli E.F. tramite il software Abaqus. Il modello è rappresentativo di un tratto in rettifilo di lunghezza pari a 50 m. Sono inoltre stati utilizzati i parametri tipici per la sovrastruttura di una linea AV. Per la realizzazione del modello sono stati impiegati elementi solid 3D hexahedral 8 nodes brick. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

14 Criterio di convergenza
In considerazione della limitata estensione del modello, è stato preso in esame l’avanzamento di una singola carrozza avente le seguenti caratteristiche: Carico: kN Distanza tra gli assi dei carrelli: 7 m Distanza assi singolo carrello: 3 m Velocità: 200 km/h Incremento temporale Criterio di convergenza Tenendo conto della necessità di evitare effetti di bordo e della geometria ridotta del modello, è stato in esame il passaggio di una singola carrozza avente caratteristiche ridotte rispetto ad una in esercizio. La modellazione delle sollecitazioni trasmesse dai carrelli è stata realizzata schematizzando ciascuna ruota come una singola forza verticale in avanzamento lungo il binario. Per l’analisi dinamica è stato utilizzato un incremento temporale pari a 10^-4 secondi, determinato tramite il criterio di convergenza. in cui Le,min è la dimensione minima degli elementi modellati e c è la velocità di propagazione nel mezzo delle onde elastiche. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

15 Al fine di evitare fenomeni di riflessione delle onde elastiche in corrispondenza delle superfici limite del modello, sono state inserite opportune condizioni al contorno assorbenti. dove ρ è la densità di volume del terreno; ni è il numero di elementi concorrenti nel nodo, aventi una faccia posta sul contorno della zona modellata, ortogonale a i ( con i = x, y, z ); A x,k è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia x, del k-esimo elemento; Ay,j è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia y, del j-esimo elemento; Az,i è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia z, del i-esimo elemento; CP e CS sono rispettivamente le velocità di propagazione delle onde P e S. Nello studio del fenomeno vibratorio tramite analisi agli elementi finiti, in considerazione della presenza dei limiti fisici del modello, occorre introdurre opportune condizioni al contorno assorbenti che non consentano la riflessione delle onde vibratorie raggiunte le superfici limite. Nel presente modello sono quindi stati inseriti, in corrispondenza dei nodi estremali, opportuni smorzatori agenti nelle tre direzioni ortogonali. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

16 Per tale motivo si ottengono valori elevati delle accelerazioni.
Visualizzando il campo degli spostamenti ottenuto con il modello agli E.F. si riscontra, superata la fase transitoria iniziale (non considerata nella valutazione del livello di accelerazione), un andamento più regolare il quale presenta una certa simmetria rispetto alla direzione di avanzamento del mezzo. Confrontando quindi i livelli di accelerazione ottenuti in corrispondenza di un ricettore posto a 5 m dalla linea d’asse del binario, con i medesimi calcolati tramite il modello di Krylov, questi presentino risultati confrontabili per intervalli di frequenza non continui e di ampiezza limitata. Si deduce quindi la necessità di effettuare ulteriori analisi al fine di tarare e validare il modello teorico di Krylov. NOTA AGGIUNTIVA: Sono stati considerati valori molto bassi della capacità di dissipazione del terreno, in quanto espressa nei due modelli in maniera differente: tramite coefficiente di dissipazione e di smorzamento nel modello di Krylov; tramite i coefficienti dello smorzamento alla Rayleigh nel modello agli E.F. Non avendo trovato relazioni di correlazioni tra questi parametri si è pensato di adoperare valori minimi al fine di dare stabilità al modello E.F. , evitando di falsare i risultati a causa di adozione di correlazioni imprecise. Per tale motivo si ottengono valori elevati delle accelerazioni. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

17 Vantaggi nell’utilizzo di modelli agli E.F. :
Analisi dettagliata di fenomeni locali Analisi di sistemi più complessi In generale quindi i modelli agli elementi finiti presentano diversi vantaggi. Tra questi vi è la possibilità di analizzare nel dettaglio fenomeni locali; Studiare sistemi più complessi quali gallerie e viadotti ferroviari, ognuno dei quali presenta delle specifiche problematiche (ad esempio fenomeni di risonanza e di fatica nei viadotti dovuti al traffico ferroviario) . Inoltre, attraverso i modelli agli elementi finiti (se ben calibrati) è possibile valutare, ancora in fase preliminare, l’efficacia dei possibili interventi di mitigazione del fenomeno vibratorio. Gallerie ferroviarie Viadotti ferroviari Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

18 Valutazione dell’efficacia degli interventi di mitigazione
Trincea vuota o piena I modelli agli elementi finiti presentano diversi vantaggi. Tra questi vi è la possibilità di analizzare nel dettaglio fenomeni locali; Studiare sistemi più complessi quali gallerie e viadotti ferroviari, ognuno dei quali presenta delle specifiche problematiche (ad esempio fenomeni di risonanza e di fatica nei viadotti dovuti al traffico ferroviario) . Inoltre, attraverso i modelli agli elementi finiti (se ben calibrati) è possibile valutare, ancora in fase preliminare, l’efficacia dei possibili interventi di mitigazione del fenomeno vibratorio. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

19 Tempi di analisi maggiori rispetto ai modelli teorici
Principali svantaggi nell’utilizzo di modelli agli E.F. : Necessità di definire in maniera dettagliata tutti i parametri concorrenti nella descrizione del fenomeno vibratorio Letteratura carente per alcune tipologie di parametri (e.g. capacità dissipativa elementi sovrastruttura) Elevato onere computazionale. Tempi di analisi maggiori rispetto ai modelli teorici I principali svantaggi riguardano l’elevata incertezza sui valori da assegnare ad alcuni parametri concorrenti nella descrizione del fenomeno vibratorio, e l’elevato onere computazionale dovuto alla ricerca di una modellazione il più possibile dettagliata, il che si traduce in tempi di risoluzione considerevolmente maggiori rispetto ai modelli teorici. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13

20 CONCLUSIONI MODELLI TEORICI MODELLI E.F. Modelli previsionali
Possibilità di migliorare i risultati forniti dai modelli teorici MODELLI E.F. Analisi di particolari configurazioni e di effetti locali In conclusione, la ricerca di un modello previsionale sembra passare necessariamente attraverso i modelli analitici, i quali indubbiamente sono di più agevole utilizzo nella pratica progettuale. Questi però, devono essere affiancati da opportuni modelli agli elementi finiti attraverso i quali è possibile non solo verificare l’attendibilità dei modelli teorici, bensì migliorarne i risultati ed analizzare sistemi più complessi e fenomeni locali di cui difficilmente si riesce a tener conto nelle approssimazioni introdotte nei modelli analitici. Inoltre, è auspicabile che si prenda atto della necessità di un incremento delle campagne di misurazioni sperimentali al fine di validare i risultati forniti dai modelli previsionali, siano essi teorici o agli E.F., con l’ulteriore obiettivo di caratterizzare in maniera più dettagliata i parametri caratteristici del fenomeno vibratorio. Appare inoltre necessario ed auspicabile approntare opportune campagne di misurazioni sperimentali al fine di misurare i parametri caratteristici e validare i risultati forniti dai modelli previsionali. Previsione delle vibrazioni ferroviarie: modelli teorici e agli E.F. SEF13