Equazioni differenziali Applicazioni Economiche

Presentazione sul tema: "Equazioni differenziali Applicazioni Economiche"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni differenziali Applicazioni Economiche
Facoltà di Economia Equazioni differenziali Lineari ed Applicazioni Economiche LEZIONE 2 prof. Beatrice Venturi matematica per economisti Beatrice Venturi

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI APPLICAZIONI ECONOMICHE
LINEARI APPLICAZIONI ECONOMICHE matematica per economisti Beatrice Venturi Matematica per economisti Beatrice Venturi

3 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma: La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente : matematica per economisti Beatrice Venturi

4 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Esempi matematica per economisti Beatrice Venturi

5 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Consideriamo il seguente problema a valori iniziali: y′-xy=0 y(0)=1 matematica per economisti Beatrice Venturi

6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
[Plot] matematica per economisti Beatrice Venturi

7 Diapositiva sommario ESEMPIO ECONOMICO Modello di crescita di Domar
matematica per economisti Beatrice Venturi

8 matematica per economisti Beatrice Venturi
Diapositiva sommario dove la propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo matematica per economisti Beatrice Venturi

9 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Equazioni differenziali lineari: omogenee a coefficienti non costanti Esempio matematica per economisti Beatrice Venturi

10 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
matematica per economisti Beatrice Venturi

11 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Abbiamo ottenuto l’integrale generale associato all’equazione omogenea (1). matematica per economisti Beatrice Venturi

12 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti non costanti matematica per economisti Beatrice Venturi

13 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Moltiplichiamo entrambi i termini per: matematica per economisti Beatrice Venturi

14 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
matematica per economisti Beatrice Venturi

15 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
INTEGRALE GENERALE DELLA (2) matematica per economisti Beatrice Venturi

16 matematica per economisti Beatrice Venturi
IL PROBLEMA DI CAUCHY Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare che soddisfi n equazioni iniziali del tipo : matematica per economisti Beatrice Venturi

17 matematica per economisti Beatrice Venturi
sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy. matematica per economisti Beatrice Venturi

18 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Questo tipo di equazioni possono essere classificate in: omogenee; lineari non omogenee (1° e 2° caso); matematica per economisti Beatrice Venturi

19 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti costanti l’equazione omogenea ad essa associata è matematica per economisti Beatrice Venturi

20 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Ipotizziamo la soluzione di questa del tipo matematica per economisti Beatrice Venturi

21 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
sostituendo l’espressione in parentesi prende il nome di polinomio caratteristico matematica per economisti Beatrice Venturi

22 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Caso a) se le radici sono distinte l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie. matematica per economisti Beatrice Venturi

23 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Caso b) se le radici sono coincidenti l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove sono due costanti arbitrarie matematica per economisti Beatrice Venturi

24 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
DEL SECONDO ORDINE Caso c) se le radici , sono complesse coniugate l’integrale generale della equazione omogenea ha la seguente forma dove la forma reale si ricava utilizzando il teorema di Eulero matematica per economisti Beatrice Venturi

25 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Esempi Integrale generale della omogenea matematica per economisti Beatrice Venturi

26 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
matematica per economisti Beatrice Venturi

27 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
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28 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Da cui l’integrale particolare e quello generale matematica per economisti Beatrice Venturi

29 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Problema di Cauchy matematica per economisti Beatrice Venturi

30 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
x(t)= matematica per economisti Beatrice Venturi

31 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
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32 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
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33 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
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BIBLIOGRAFIA M. KLINE : “Storia del pensiero matematico”. DIRKSJ.STRUIK : “Matematica : un profilo storico”. COURANT/ROBBINS : “Che cos’è la matematica”. BENCINI/GERONIMO : “Il pensiero matematico”. DODERO/BARONCINI : “Itinerari di matematica”. Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica. matematica per economisti Beatrice Venturi