Esiste uno strumento che permetta, dall’ equazione della retta, di stabilirne la posizione rispetto al semiasse positivo delle ascisse?

Presentazione sul tema: "Esiste uno strumento che permetta, dall’ equazione della retta, di stabilirne la posizione rispetto al semiasse positivo delle ascisse?"— Transcript della presentazione:

1 Come può essere disposta una retta in un piano in cui sia assegnato un R.C.O.?

2 Esiste uno strumento che permetta, dall’ equazione della retta, di stabilirne la posizione rispetto al semiasse positivo delle ascisse?

3 Partiamo con un esempio
Determiniamo l’ equazione della retta passante per i punti A(1,1) e B(2,3) applicando la formula che permette di ricavare l’ equazione della retta passante per due punti Sostituendo le coordinate dei punti si ottiene AB:

4 Sviluppando i calcoli si ottiene l’ equazione 2x-y-1=0
L’ equazione della retta espressa nella forma 2x-y-1=0 è denominata implicita. In alternativa esiste un’ altra modalità detta esplicita perché essa si ottiene da quella implicita esplicitando la y in funzione della x Esprimiamo l’ equazione in forma diversa ricavando la y. Otteniamo y=2x-1 Questa è detta forma esplicita dell’ equazione della retta.

5 Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3)
Consideriamo due punti della retta per esempio A(1,1) e B(2,3). Calcoliamo il rapporto tra le differenze delle ordinate e delle ascisse dei punti: Nell’ equazione y=2x-1 chiamiamo 2 coefficiente angolare della retta e -1 ordinata all’ origine della retta Cosa rappresentano 2 e -1? 2

6 Cioè 2 rappresenta il rapporto tra gli incrementi che la y e la x dei punti della retta subiscono quando passano da A a B. Se consideriamo altri due punti della retta il rapporto cambia? Consideriamo ad esempio i punti C(-1, -3) e D(3,5) 2 Abbiamo ottenuto di nuovo 2. Questo numero è invariante comunque si scelgano due punti della retta

7 E il numero -1 cosa rappresenta? Osserviamo il grafico della retta

8 y 2 (2,3) (1,1) x -1 è l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate

9 Osserviamo che la retta in questo caso forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto

10 Come è disposta nel piano una retta con coefficiente angolare negativo?

11 Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1)
Consideriamo ora la retta y=-2x+3 e due suoi punti: A(-2,7)e B (1,1) .Il rapporto tra gli incrementi delle ordinate e delle ascisse è y -2<0 L’ angolo è ottuso x

12 Più in generale: Consideriamo una retta in posizione generica nel piano rispetto al riferimento cartesiano ortogonale di equazione è ax+by+c=0

13 Come sappiamo la sua equazione ax+by+c=0 dove a, b, c, sono rispettivamente pari a:

14 L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta
Se b l’equazione ax+by+c=0, può scriversi: by=-ax-c, e dividendo ambedue i membri per b, otteniamo Posto e y=mx+q l’ equazione (*) diventa L’ equazione y=mx+q è detta equazione esplicita della retta

15 è detto coefficiente angolare della retta
è detto ordinata all’ origine della retta

16 Quale è il significato di m?

17 Essendo a=yB-yA e b=xA-xB, risulta m= m rappresenta cioè il rapporto tra le ordinate e le ascisse di due qualunque punti della retta

18 cioè il coefficiente angolare m della retta passante per i punti A(xA,yA) e B(xB,yB) è uguale al rapporto degli incrementi che le ordinate e le ascisse dei punti subiscono passando da A a B. Tale rapporto è invariante per ogni coppia di punti presi a piacere sulla retta r .

19 In particolare Se m>0 la retta a forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo acuto Angolo acuto

20 Se m<0 la retta a forma col semiasse positivo delle ascisse un angolo ottuso
Angolo acuto Angolo ottuso

21 Cosa succede se b=0, cioè se xA=xB?

22 Se b=0 , essendo non si può determinare il valore di m.

23 E se m=0?

24 In tal caso l’equazione y=mx+q diventa y=q e questa rappresenta una retta parallela all’ asse delle ascisse y=q q

25 In quale punto una retta di equazione y=mx+q interseca l’asse delle ordinate?

26 Ricordiamo che tutti e soli i punti dell’ asse delle ordinate hanno ascissa nulla. Vediamo cosa succede nell’ equazione della retta se x=0

27 Ecco quindi che il numero q rappresenta l’ ordinata del punto in cui la retta interseca l’ asse delle ordinate