L’ellisse come luogo di punti

Presentazione sul tema: "L’ellisse come luogo di punti"— Transcript della presentazione:

1 L’ellisse come luogo di punti
Stefano Lagomarsino: laboratorio 1, costruire e usare ipertesti L’ellisse come luogo di punti Nell’ultima lezione abbiamo presentato le coniche, e in particolare l’ellisse, come sezioni di un cono circolare retto l’ellisse infatti si ottiene sezionando un cono con un piano che forma con il suo asse un angolo minore di 90°, ma maggiore della semiapertura del cono.

2 Ora dimostreremo che l’ellisse può essere definita anche in un altro modo:
Nel piano di un’ellisse, infatti, esistono due punti per i quali la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse è sempre la stessa. Questi due punti si chiamano “fuochi dell’ellisse”.

3 Ma torniamo, per ora, al nostro cono.
Supponiamo di inserire, all’interno del cono, una sfera tangente al piano dell’ellisse ed al cono stesso, nel modo mostrato nella figura. Secondo te, in quanti punti si toccano cono e sfera? Due punti Infiniti punti

4 Hai risposto: due punti
Probabilmente ti ha confuso il disegno. In realtà, se una sfera tocca un cono in due punti, lo tocca anche in infiniti altri punti che stanno tutti su una circonferenza il cui piano è perpendicolare all’asse del cono.

5 Nota anche un’altra cosa: le semirette giacenti sul cono e che partono dal vertice sono tutte tangenti alla sfera, ed i segmenti che vanno dal vertice al punto di tangenza sono tutti uguali. Un’altra domanda: ci sono altre sfere che sono tangenti al cono e al piano? Si No

6 Hai risposto: infiniti punti
Infatti. Il cono tocca la sfera su infiniti punti che stanno tutti su una circonferenza di raggio più piccolo del raggio della sfera. Il piano della circonferenza è perpendicolare all’asse del cono.

7 Hai risposto: No Non nella parte di spazio compresa fra il vertice ed il piano dell’ellisse, però, nell’altra parte dello spazio ce n’è un’altra, più grande della prima. Ovviamente, anche questa circonferenza tocca il cono in infiniti punti. Altra domanda: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse? Uno infiniti

8 Hai risposto: Si Infatti, ce n’è un’altra nella parte di spazio illimitata che si trova dall’altra parte del vertice, rispetto al piano. Ora si chiede: in quanti punti si toccano la sfera e il piano dell’ellisse? Uno Infiniti

9 Hai risposto: uno Infatti fra una sfera ed un piano ad essa tangente ci può essere un solo punto di intersezione, quello più vicino alla sfera stessa. Da notare che ogni retta del piano che passa per tale punto è anch’essa tangente alla sfera.

10 Hai risposto: infiniti
Questo era vero per il cono, ma non può essere vero per il piano. Infatti se ci fossero più punti di tangenza fra piano e sfera, il segmento che unisce tali punti (che per forza appartiene al piano) sarebbe interno alla sfera. Il piano quindi sarebbe in parte interno, in parte esterno alla sfera (e quindi non sarebbe tangente)

11 Fra le due sfere ed il piano dell’ellisse ci sono quindi 2 punti di intesezione.
Chiamiamo tali punti “fuochi dell’ellisse” (e indichiamoli con F1 ed F2). F1 F2

12 Scegliamo ora, a caso, un punto dell’ellisse (chiamiamolo “punto P”)
F1 F2 Scegliamo ora, a caso, un punto dell’ellisse (chiamiamolo “punto P”) tracciamo anche la semiretta che parte dal vertice del cono e passa per il punto dell’ellisse che abbiamo scelto.

13 Non dipende dalla scelta di P dipende dalla scelta di P
F1 F2 B A Indichiamo poi con A e B i punti di contatto fra tale semiretta e le sfere tangenti al piano dell’ellisse. A proposito, secondo te, la distanza fra A e B dipende dalla scelta di P oppure no? Non dipende dalla scelta di P dipende dalla scelta di P

14 Hai risposto: non dipende dalla scelta di P
V B A B’ A’ Infatti il segmento AB è la differenza fra il segmento VB ed il segmento VA, che non dipendono dalla scelta della semiretta.

15 Hai risposto: dipende dalla scelta di P
V Guarda bene: prendi due punti P e P’ sull’ellisse, e considera i corrispondenti punti A’ e B’. I segmenti VA e VA’ sono uguali e sono uguali anche VB e VB’ Allora AB e A’B’ non possono che essere uguali. Quindi la lunghezza di AB non dipende dalla scelta di P. A A’ P P’ B’ B

16 Unisci ora il punto P con i due fuochi
B A Unisci ora il punto P con i due fuochi sta attento perché questo passaggio è cruciale: Secondo te, il segmento PF1 ed il segmento PA sono uguali o diversi? Sono uguali sono diversi

17 Hai risposto: sono diversi
F1 F2 B A Bisogna ammettere che qui la prospettiva è veramente fuorviante. Pero pensaci un attimo: i due segmenti sono entrambi tangenti alla sfera inoltre passano entrambi per P. Giusto?

18 Ora, una sfera stacca segmenti uguali su tutte le tangenti che passano per un punto P (vedi disegno). Di conseguenza i segmenti, anche se sembrano diversi, per un effetto di prospettiva, in realtà sono uguali. P

19 Hai risposto: sono uguali
Giusto, questo era proprio difficile. In effetti i segmenti di tangente condotti da un punto ad una sfera sono tutti uguali fra loro. P

20 Quindi il segmento PA ed il segmento PF1 sono fra loro uguali.
E analogamente anche PB è uguale a PF2 (questo dal disegno si vede ancora meno, ma è sempre vero). Ora fa attenzione Se PA=PF1 e PB=PF2 allora: PF1 + PF2 =AB PF1 + PF2 =PA+PB P F1 F2 B A

21 Hai risposto: PF1 + PF2 =PA+PB
V Questo è vero, ovviamente, ma pensaci, A, P e B stanno sulla stessa retta, e sono consecutivi, quindi la somma dei due segmenti PA e PB è proprio uguale al segmento AB, non ti pare? A P B

22 Hai risposto: PF1 + PF2 =AB
Giustissimo, finalmente siamo arrivati all’ultimo passaggio ...

23 Allora, abbiamo concluso che per ogni punto P dell’ellisse, la distanza PF1, sommata alla distanza PF2, è uguale al segmento AB Ora, come abbiamo visto, la lunghezza di AB è indipendente dalla scelta di P Ma allora, la somma delle distanze del punto P dai due fuochi F1 ed F2 è indipendente dalla scelta di P. A A’ F1 F2 P P’ B B’

24 Conclusione Questo significa che per ogni ellisse esistono due punti (i due fuochi) per i quali è costante la somma delle loro distanze da un qualsiasi punto dell’ellisse. Questo è proprio quello che si voleva dimostrare.