NUMERI FIGURATI Renato Betti Politecnico di Milano 26 novembre 2008.

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1 NUMERI FIGURATI Renato Betti Politecnico di Milano 26 novembre 2008

2 La teoria elementare dei numeri dovrebbe essere uno dei migliori argomenti per la prima educazione matematica. Richiede poche conoscenze preliminari ed è una materia tangibile e familiare; i processi logici che utilizza sono semplici, generali e in numero limitato, ed è unica fra le scienze matematiche per il suo richiamo alla naturale curiosità umana (G.H. Hardy, 1929) I numeri figurati sbucano inaspettatamente in risultati moderni: Il teorema dei numeri poligonali (Fermat – Cauchy) Il teorema pentagonale (Eulero)

3 I numeri figurati non sono questi….

4 I numeri figurati sono disposizioni di unità in maniera ordinata, secondo figure geometriche…. (numeri poligonali) (oblunghi) (generalizzati) (tetractys)

5 (cubici)(piramidali) 11 358 791127 1315171964 2123252729125 …………………………… Nicomaco di Gerasa (II aC)

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7 n-1 n

8 Numeri poligonali quadrati pentagonali esagonali …………………… numeri triangolari

9 numeri…5,4,3,2,1, triangolari…15,10,6,3,1, quadrati…25,16,9,4,1, pentagonali…35,22,12,5,1, esagonali…45,28,15,6,1, ….……………… Problema: nelle sequenze di numeri poligonali il terzo numero è sempre divisibile per 3 e il quinto numero è sempre divisibile per 5. Questa proprietà è vera anche per gli altri numeri poligonali (ettagono, ottagono etc)? E perché il quarto numero triangolare non è divisibile per 4? Vale la proprietà per il settimo? E in generale quando vale?

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12 Il teorema dei numeri poligonali (Fermat, 1636) Ho trovato della massima importanza la proposizione che ogni numero è composto da uno, da due o da tre triangolari; da uno o da due o da tre o da quattro quadrati; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque pentagonali; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque o da sei esagonali, e così via ad infinitum. Per dimostrare questa proposizione devo dimostrare che ogni primo che supera di ununità un multiplo di 4, come 5, 13, 17, 29, 37, e così via, è composto da due quadrati.

13 Eulero: 1751 Lagrange: 1770 Se

14 Ancora Eulero, 1773: Gauss, 1796: 7 (mod 8) Lequazione ha soluzioni intere Teorema (Legendre):

15 Cauchy, 1813-15: Ogni numero intero è uguale alla somma di 4 pentagonali o una somma simile aumentata di una unità; alla somma di 4 esagonali o ad una somma simile aumentata di una o di due unità; alla somma di 4 ettagonali o ad una somma simile aumentata di una o due o tre unità... e cosi via.

16 Lemma di Cauchy: Siano k ed s due interi negativi dispari tali che e. Allora esistono interi non negativi a, b, c e d tali che: k = k +2 …….. n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4) è somma di m numeri m-gonali k >121, n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4)

17 Il teorema pentagonale (Eulero, 1750) In quanti modi si può scrivere il numero 50 come somma di 7 diversi numeri? (Ph. Naudé il giovane, 1740) Hardy & Ramanujan, 1918: Rademacher, 1937:

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19 Teorema pentagonale (Eulero):

20 Casi eccezionali:

21 La formula ricorsiva di Eulero per il calcolo delle partizioni La formula ricorsiva di Eulero per la somma dei divisori di n

22 Eulero, De partitione numerorum, 1750

23 Bibliografia E. Delucchi, M.D. Froidcoeur, +& C., Bollettino dei docenti di Matematica della Svizzera italiana, n. 55 (2007) G.A. Andrews, Eulers Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine 56, n. 5 (1983) M.B. Nathanson, A short Proof of Cauchys Polygonal Number Theorem, Proc. AMS 99, n.1 (1987) P. Bussotti, A. Scimone, Tutto è poligonale, I. Lantefatto, II. Verso la meta, Lettera Mat. Pristem, in corso di stampa J. Conway, R. Guy, Numbers, Springer 1996 J. Bell, Euler and the Pentagonal Number Theorem, ArXiv: math/051005v2 [math HO]

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