CALCOLO COMBINATORIO.

Presentazione sul tema: "CALCOLO COMBINATORIO."— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO COMBINATORIO

2 INDICE Che cos’è il calcolo combinatorio?
Concetto di raggruppamenti semplici e di raggruppamenti con ripetizione Disposizioni Combinazioni Permutazioni

3 PROBLEMI DS DR PS PR CS CR
In quanti modi diversi 3 ragazzi di una compagnia di 5 amici si possono sedere su 3 poltrone libere di un cinema? Quanti numeri di 4 cifre si possono comporre con le cifre 1,2,3,4,5,6? Quanti anagrammi si possono comporre con le lettere della parola ROMA? E con la parola ALA? Quanti terni si possono fare con i 90 numeri del Lotto? In quanti modi diversi 7 caramelle identiche possono essere distribuite tra 4 bambini? E se le caramelle fossero diverse? DS DR PS PR CS CR

4 CHE COS’E’? Il calcolo combinatorio è un particolare ramo della matematica applicata avente come scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti diversi che si possono comporre prendendo una determinata quantità di elementi in un assegnato insieme, in modo che siano rispettate determinate regole. VEDI ESEMPI

5 DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2)
PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che non si ripetono 1° modo COPPIE ORDINATE: ab ac ba bc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: ab ac bc 1° modo: si parla di DISPOSIZIONI ° modo: si parla di COMBINAZIONI DISPOSIZIONI semplici (D3,2) COMBINAZIONI semplici (C3,2) avanti

6 DISPOSIZIONI con ripetizione (D’3,2)
PROBLEMA: Raggruppare gli elementi a-b-c a gruppi di 2 con elementi che possono ripetersi 1° modo COPPIE ORDINATE: aa ab ac bb ba bc cc ca cb 2° modo COPPIE PER LE QUALI NON IMPORTA L’ORDINE: aa ab ac bb bc cc DISPOSIZIONI con ripetizione (D’3,2) COMBINAZIONI con ripetizione (C’3,2) indietro

7 I RAGGRUPPAMENTI POSSONO ESSERE:
SEMPLICI: quando gli oggetti sono tutti diversi CON RIPETIZIONE: quando gli oggetti vi figurano una o più volte

8 “NOMI” DEI RAGGRUPPAMENTI
DISPOSIZIONI: quando l’ordine degli elementi è importante. COMBINAZIONI: quando l’ordine degli elementi non ha alcuna importanza .

9 TIPI DI RAGGRUPPAMENTI
semplici Disposizioni con ripetizione Combinazioni Permutazioni con oggetti identici

10 COME CALCOLARE IL NUMERO DI DISPOSIZIONI?

11 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE DISTINTE CHE SI POSSONO FORMARE? 1 2 3 4 12 ; 13 ; 14 21 ; 23 ; 24 31 ; 32 ; 34 41 ; 42 ; 43 Il n° di disposizioni semplici di 4 oggetti distinti presi a 2 a 2 è: D4,2 = 4*3 = 12

12 IN GENERALE: il n° di DISPOSIZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Dn,k= n(n-1)(n-2) ….. (n-k+1) con n>k (cioè il prodotto di k numeri naturali decrescenti a partire da n) PROBLEMI

13 PROBLEMA: DATE LE 3 CIFRE 1,2,3 QUANTI SONO I NUMERI DI 2 CIFRE CHE SI POSSONO FORMARE? 2 3 1 11 , 12 ; 13 21 ; 22 ; 23 31 ; 32 ; 33 Il n° delle disposizioni con ripetizione di 3 oggetti a gruppi di 2 è : D’3,2=3*3=32=9

14 IN GENERALE: il n° delle DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è D’n,k= nk PROBLEMI

15 COME CALCOLARE IL NUMERO DI COMBINAZIONI?

16 PROBLEMA: DATE LE 4 CIFRE 1,2,3,4 QUANTE SONO LE COPPIE DI NUMERI DISTINTI CHE SI POSSONO FORMARE? 1 2 3 4 1-2 ;1-3 ; 1-4 2-3 ; 2-4 3-4 Le combinazioni semplici di 4 oggetti presi a 2 a 2 sono : C4,2= D4,2 / 2 = 4*3 / 2 =6

17 Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k
IN GENERALE: il n° di COMBINAZIONI SEMPLICI di n oggetti distinti presi k per volta è Cn,k = Dn,k / k! = ( ) con n>k n k PROBLEMI

18 PROBLEMA: DATE LE 2 LETTERE a,b QUANTE SONO LE COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE DI TALI OGGETTI PRESI A 3 A 3? a a a a a b a b b b b b Il n° di combinazioni con ripetizione di n oggetti distinti presi a 3 a 3 è : C’2,3= ( ) = ( ) = 4 2+3-1 3 4 3

19 IN GENERALE: il n° delle COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE di n oggetti distinti presi k per volta è C’n,k= (cioè è il prodotto di k fattori crescenti a partire da n, diviso k! ) n(n+1)….. (n+k-1) K ! PROBLEMI

20 CHE COSA SONO LE PERMUTAZIONI?

21 PERMUTAZIONI SEMPLICI
ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA APE P E A P E A E P A E P A E P A E P E A P E A A P E A P E P A E P A Il n° delle permutazioni di 3 oggetti distinti è: P3 = D3,3 = 3*2*1 = 6

22 Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i possibili raggruppamenti contenenti la totalità degli n oggetti e che differiscono solo per l’ordine Pn = Dn,n Pn = n! PROBLEMI

23 PERMUTAZIONI CON OGGETTI IDENTICI
ESEMPIO: COSTRUIRE E CONTARE GLI ANAGRAMMI (anche privi di senso) DELLA PAROLA ALA L A A L A A A L A A L A A L A A L A A L A A A L A A L L A A L A uguali a 2 a 2 LE PERMUTAZIONI DI 3 OGGETTI , 2 DEI QUALI IDENTICI, SONO: P3(2) = P3/2! = 3

24 IN GENERALE: se tra gli n oggetti dati ve ne sono α uguali tra loro, β uguali tra loro… il numero delle permutazioni degli n oggetti assegnati risulta: Pn(α, β ) = n! α! * β! PROBLEMI

25 E ora risolviamo i problemi formulati all’inizio della presentazione !!!!!