Trasformazioni Geometriche

Presentazione sul tema: "Trasformazioni Geometriche"— Transcript della presentazione:

1 Trasformazioni Geometriche
Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano. (endofunzione) Se in una trasformazione l’immagine di un punto P coincide con il punto P stesso esso è un punto unito L’ identità è la trasformazione che associa a ogni punto del piano se stesso.

2 Isometrie Una trasformazione geometrica si chiama isometria quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’ sono i loro corrispondenti, il segmento A’B’ risulta congruente al segmento AB. Proprietà In un isometria f, a una retta corrisponde una retta L’isometria conserva il parallelismo e l’incidenza delle rette L’isometria conserva l’ampiezza dell’angolo

3 Un po’ di storia ... Fin dai tempi più antichi l’uomo ha osservato le caratteristiche della natura provando a comprenderne regole e segreti. Lo studio dell’organizzazione corporea degli animali e delle piante ha addirittura indotto qualche studioso a proporre una classificazione degli organismi in base alla simmetria, anche se oggi si è compreso che pur esistendo una correlazione fra forma, tipo di simmetria, movimento e modalità di vita, la simmetria non costituisce un parametro sufficiente per la classificazione degli organismi!

4 Felix Klein Nel 1872 il matematico Felix Klein ( ), divenuto professore ad Erlangen, descriveva la geometria euclidea del piano come lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni.

5 Le Isometrie si dividono in:
Traslazioni Simmetrie centrali Simmetrie assiali rotazioni

6 Traslazioni Siano A e B due punti del piano e dato un vettore v, siano A’ e B’ i rispettivi corrispondenti in Tr: Dimostriamo che i segmenti A’B’ e AB sono congruenti Ipotesi: A’= Tr (A); B’= Tr (B) Tesi: A’B’= AB Osserviamo che è AA’//BB’ perche entrambi paralleli a v. Uniamo B con A’ e consideriamo i triangoli ABA’ e A’BB’: essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo AA’= BB’, per ipotesi l’angolo AA’B = ABB’ perche angoli alterni interni delle rette parallele AA’ e BB’ tagliate da BA’, e hanno BA’ in comune . Perciò risulta AB=A’B’ c.v.d. A A’ B B’ v

7 Simmetrie Centrali Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un punto dato O, detto centro della simmetria Le simmetrie centrali sono isometrie perche sussiste il seguente teorema In una simmetria centrale sO a due punti corrispondono due punti aventi la stessa distanza Ipotesi: A’= sO (A); B’= sO (B) Tesi: A’B’ = AB Sia sO la simmetria centrale di centro O che fa corrispondere ad A il punto A’ e a B il punto B’. Si ha AO=OA’ e BO=OB’ , per definizione di simmetria, e l’angolo AOB=A’OB’ , perche angoli opposti al vertice. I triangoli AOB e A’OB’ sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza: ne deriva che A’B’ e AB sono congruenti c.v.d. B O A A’ B’

8 Simmetrie Assiali La simmetria assiale è la trasformazione che associa a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a una retta fissa,detta asse di simmetria . Dimostriamo che la simmetria assiale è un’isometria. Siano A e B due punti del piano e A’ e B’ i rispettivi simmetrici rispetto alla retta a dimostriamo che A’B’=AB cioè la simmetria assiale conserva le distanze Ipotesi: A’=sa(A); B’=sa(B); Tesi: A’B’=AB; Supponiamo ora che né A e né B appartengono all’asse; detti H e K i punti di intersezione con l’asse di simmetria rispettivamente di AA’ e BB’,i triangoli rettangoli AHK e A’HK sono congruenti perché hanno due cateti congruenti e hanno quindi l’angolo AKH=HKA’ e AK=A’K. I triangoli AKB e A’KB’ sono anch’essi congruenti per il primo criterio di congruenza avendo BK=KB’ ,AK=A’K e l’angolo AKB=A’KB’ perché complementari di angoli congruenti si deduce così che A’B’=AB c.v.d. A H A’ B’ K a B

9 Rotazioni La rotazione di centro O e angolo α è la trasformazione che associa ad ogni punto A il punto A’ tale che OA=OA’ e l’angolo AOA’ è uguale a α Dimostriamo che la rotazione è un’isometria Ipotesi: A’=rO (A); B’=rO(B); Tesi: A’B’= AB; Se A e B non sono allineati con P, possono presentarsi due casi: l’angolo AOB> α; (fig.1) l’angolo AOB< α; (fig.2) In entrambi i casi i triangoli AOB e A’OB’ sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli avendo OA=OA’, OB=OB’ e l’angolo AOB=A’OB’ perché somma di angoli congruenti se è l’angolo AOB > α, oppure differenza di angoli congruenti se è l’angolo AOB< α. Perciò sarà A’B’=AB, il che ci assicura che questa rotazione è un isometria. c.v.d. B α A O A’ B’ (fig.2) α O A B B’ A’ (fig.1)

10 Simmetrie nell’ arte

11 Esempi Reali traslazione Simmetria assiale rotazione
Simmetria centrale

12 FINE Con la partecipazione di: Gentile Marcovalerio Patanè Samuel