CORSO DI CRITTOGRAFIA Terzo incontro PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

Presentazione sul tema: "CORSO DI CRITTOGRAFIA Terzo incontro PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE"— Transcript della presentazione:

1 CORSO DI CRITTOGRAFIA Terzo incontro PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
ITGS PASCAL-UNIV. PARMA (è stato usato vario materiale di Alessandro Zaccagnini, Alessandro Languasco) Docenti: BAROZZI -SIMEONE CORSO DI CRITTOGRAFIA Terzo incontro

2 CRITTOGRAFIA ASIMMETRICA
Uno dei DOGMI indiscussi della crittografia classica è: LE CHIAVI DI CIFRATURA E DECIFRATURA DEVONO ESSERE TENUTE SEGRETE cioè devono essere note solo alle persone che comunicano tra loro.

3 CRITTOGRAFIA ASIMMETRICA
Con l’avvento di Internet, del commercio elettronico, della home banking etc… si pongono nuovi problemi: Com’è possibile che due persone che non si conoscono e non si fidano una dell’altra si mettano d’accordo sulla chiave di un sistema simmetrico utilizzando Internet? Com’è possibile dialogare in modo sicuro su Internet? Com’è possibile certificare l’identità?

4 PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO
Diffie ed Hellman 1975 A mette il suo messaggio per B in una scatola che chiude con un lucchetto e invia a B. B mette il suo lucchetto alla scatola e la rispedisce ad A. A toglie il suo lucchetto e rispedisce la scatola a B. B toglie il suo lucchetto e legge il messaggio.

5 PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO
Si noti che: la scatola non viaggia mai senza lucchetto né A né B ha dovuto inviare all’altro la chiave del proprio lucchetto.

6 COME REALIZZARE IL PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO?
PRIMA IDEA: Dividere il messaggio in blocchi di lunghezza fissata (k) e trasformarli in un numero intero, usando per esempio il codice ASCII Prendere un numero primo p>nk, ove n è il numero dei caratteri distinti del nostro alfabeto (26 lettere + 10 cifre numeriche + spazio + punteggiatura….), se usiamo il codice ASCII n=256 A prende ogni singolo blocco MZp, sceglie un altro elemento aZp-{0} (il suo lucchetto) e calcola M1=a*M (mod p) B sceglie un elemento bZp-{0} (il suo lucchetto), calcola M2=b*M1 (mod p) e trasmette M2 ad A A toglie il suo lucchetto moltiplicando M2 per a-1, ovvero calcola M3=a-1*M2 (mod p) B toglie il suo lucchetto moltiplicando M3 per b-1 e riottiene M QUESTO METODO NON E’ SICURO INFATTI SE UN INTRUSO RIESCE A LEGGERE I TRE MESSAGGI M1, M2, M3 OTTIENE FACILMENTE M=(M1*M3)*M2-1 (mod p). Infatti: (M1*M3)*M2-1=(a*M*a-1*M2) *M2-1=M*M2*M2-1=M

7 COME REALIZZARE IL PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO?
UN PROTOCOLLO FUNZIONANTE (MASSEY-OMURA): Tutti gli utenti scelgono di comune accordo un numero primo grande p (CHIAVE PUBBLICA). Ciascun utente sceglie due interi d,eZp-1 con la proprietà che d*e=1 (mod p-1). Chiameremo d(A), e(A) i numeri d ed e scelti da A e d(B), e(B) i numeri d ed e scelti da B. A prende il messaggio (o una sua parte) MZp, e calcola M1=Md(A) (mod p) (applica il suo lucchetto) B calcola M2=M1d(B) (mod p) e trasmette M2 ad A (applica il suo lucchetto) A toglie il suo lucchetto calcolando M3=M2e(A) (mod p) B toglie il suo lucchetto calcolando M=M4=M3e(B) (mod p) PUO’ SEMBRARE MIRACOLOSO CHE L’OPERAZIONE DI RIMOZIONE DEL LUCCHETTO COINCIDA CON QUELLA DI CHIUSURA DEL LUCCHETTO STESSO, CIOE’ SIA IL CALCOLO DI UNA POTENZA: I MATEMATICI CHIAMANO QUESTI MIRACOLI COL NOME DI TEOREMI

8 FERMAT: IL PRINCIPE DEI DILETTANTI
Pierre de Fermat nacque a Beaumont-de-Lomagne, vicino a Tolosa. Figlio di un mercante, studiò legge e divenne avvocato al Parlamento di Tolosa, dove si trasferì nel Nello stesso anno sposò la cugina materna Luisa de Long, dalla quale ebbe cinque figli. Lavorava duramente e scrupolosamente, ma nonostante ciò nel tempo libero si occupava di letteratura e, soprattutto, di matematica. Per questo è chiamato "il principe dei dilettanti", poiché, pur dedicandosi alla matematica solo nel tempo libero, la sua influenza sulla storia della disciplina fu notevolissima. Pubblicava le sue idee molto raramente e per lo più sappiamo delle sue scoperte grazie alla corrispondenza scambiata con altri matematici, come Mersenne o Pascal. La conoscenza di altre sue intuizioni, ci viene da suoi commenti in margine a libri che stava leggendo. Per questo motivo spesso il suo lavoro fu imputato ad altri. Morì all'età di 63 anni a Castres. Da Wikipedia

9 IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT
PROBLEMA: trovare l’inverso di un numero in Zp. TEOREMA: Sia p un numero primo qualsiasi ed a un intero, non divisibile per p, allora ap-1=1 (mod p) CONSEGUENZA: ap-2 è l’inverso di a. DIMOSTRAZIONE: Dimostreremo una proposizione equivalente, ovvero che QUALUNQUE SIA L’INTERO a, SE p E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA ap=a (mod p) OVVERO p DIVIDE ap-a

10 IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT
Dimostrazione nel caso di p=3 e a=4. Consideriamo tutte le possibili collane che si possono costruire con 3 (p) perline di 4 (a) colori diversi. Queste sono 43, ovvero nel caso generico ap. A sinistra abbiamo le 4 collane monocrome con 3 perline, a destra le 43-4 collane policrome, suddivise in classi di collane equivalenti per rotazione. Ogni classe contiene esattamente 3 collane e quindi 3 deve dividete 43-4. Cioè p deve dividere ap-a.

11 OSSEY-OMURA FUNZIONA Dimostriamo ora che effettivamente M4=M. M4=Md(A)e(A)d(B)e(B) (mod p)=M(1+k(p-1))(1+h(p-1)) (mod p) = M(1+t(p-1)) (mod p)=M*(Mp-1)t (mod p)=M*1 (mod p)= M (mod p)

12 IL SISTEMA RSA (Rivest-Shamir-Adleman)
Un protocollo che si utilizza molto in internet attualmente è il protocollo RSA che è stato ideato nel 1978 da Rivest, Shamir, Adleman. IDEA: diversa complessità computazionale PRIMALITA’ FATTORIZZAZIONE

13 PRIMALITA’ VS FATTORIZZAZIONE
Il numero RSA-129 è un numero di 129 cifre decimali, fattorizzato nel 1994, creato secondo i criteri proposti da Rivest- Shamir-Adleman, richiede con un computer domestico parecchio tempo per essere fattorizzato (giorni), mentre in pochi secondi un qualunque PC riesce a dire che non è primo. RSA129=

14 IL SISTEMA RSA Ogni utente sceglie in modo casuale due numeri primi p e q distinti ed estremamente grandi (diciamo di circa 300 cifre decimali ciascuno) e pone n=pq Calcola (n)=(p-1)(q-1) Sceglie in modo casuale un intero e tale che 1<e<(n) e MCD(e,(n))=1 Calcola d=e-1 (mod (n)) Ogni utente quindi ha una chiave pubblica: i due valori n ed e; una chiave privata: d

15 IL SISTEMA RSA Anna calcola M1=Me(B) (mod n(B))
MESSAGGIO=M ANNA BRUNO Anna calcola M1=Me(B) (mod n(B)) Bruno riceve M1 e calcola M=M1d(B), così Bruno può leggere il messaggio mandatogli da Anna.