PRIMI ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO

Presentazione sul tema: "PRIMI ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO"— Transcript della presentazione:

1 PRIMI ELEMENTI DI GEOMETRIA NELLO SPAZIO
Adriana Lanza . Liceo “Cavour” Roma

2 LA TERZA DIMENSIONE ESCHER RETTILI

3 L’esperienza sensoriale dei corpi che ci circondano suggerisce l’intuizione delle <<tre dimensioni>> : larghezza, lunghezza, altezza.

4 Un’osservazione più attenta ci porta a precisare questa affermazione, legata al semplice fatto che esistono punti non complanari , ovvero dato un piano, possiamo trovare almeno un punto fuori di esso proprio come i rettili di Escher, che escono dal foglio e da figure piane si trasformano in figure solide

5 Qual è il numero massimo di punti sicuramente complanari?
L’esperienza e l’intuizione ci dicono :tre In Geometria questo fatto viene assunto come postulato Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano

6 SISTEMA DI RIFERIMENTO
Nello Spazio, come nel piano,è possibile introdurre un sistema di riferimento che permette di individuare la posizione di ogni punto. A tale scopo si scelgono tre rette non appartenenti al medesimo piano e passanti per uno stesso punto O Le coordinate sono chiamate ascissa (x), ordinata (y) e quota (z)

7 RIFERIMENTO CARTESIANO NELLO SPAZIO

8 Ecco per esempio la costruzione del punto P(2,2,3)
Inseriti i tre versori fondamentali la costruzione del punto, mediante le tre coordinate, è una facile estensione della costruzione di un punto nel piano cartesiano

9 Tutti conosciamo la difficoltà che si incontra nel rappresentare una figura spaziale su un piano (un foglio, la lavagna o il video di un computer), dove la terza dimensione deve essere simulata

10 ECCO ALCUNE FIGURE , ESEGUITE CON CABRI 3D, CHE RIPRODUCONO SITUAZIONI CHE CREANO SPESSO DIFFICOLTA’ AGLI STUDENTI

11 CUBO INSCRITTO IN UNA SFERA
Come si può far capire che il cubo è inscritto nella sfera?

12 SFERA INSCRITTA IN UN CONO

13 Basta osservare che i due triangoli VHB e VKC sono simili
Quale relazione lega il raggio della sfera all’altezza , al raggio di base e all’apotema del cono? Basta osservare che i due triangoli VHB e VKC sono simili

14 QUALI SONO LE SEZIONI OTTENUTE SU UN CUBO ; CON UN PIANO PERPENDICOLARE AD UNA DIAGONALE?
Triangoli ed esagoni Triangolo ed esagono di area massima

15 La rappresentazione grafica piana di figure solide è oggetto della Geometria Descrittiva e ha costituito per lungo tempo un interessante arco di collegamento tra Arte e Geometria

16 Le tecniche più note, la prospettiva e l’assonometria ,si basano sulle operazioni geometriche di proiezione e sezione, Prospettiva (proiezione centrale) Assonometria (proiezione parallela)

17 PROIEZIONE CENTRALE Non conserva in generale il parallelismo

18 Un celebre disegno prospettico
Raffaello- La scuola d’Atene

19 PROIZIONE PARALLELA Conserva il parallelismo

20 Un mosaico che utilizza la rappresentazione assonometrica
Pietro Cavallini,Annunciazione, 1291, S. Maria in Trastevere, Roma

21 La realizzazione di tali disegni non può tuttavia essere posta alla base di affidabili processi deduttivi poiché è troppo labile il confine tra le immagini di oggetti geometrici propri e la rappresentazione di illusioni ottiche o di disegni impossibili.

22 La nostra consuetudine ad osservare i corpi tridimensionali può indurci ad interpretare in modo ambiguo alcune figure Cosa vedi? Un cubo?....

23 O 3 rombi?

24 O un triedro con gli spigoli tra loro perpendicolari?

25 UN ESEMPIO DI FIGURA AMBIGUA IL CUBO DI NECKER
. Diversamente dalla rappresentazione prospettica di un cubo in cui la superficie della faccia anteriore è più grande di quella della faccia posteriore, il cubo di Necker è disegnato in modo che le due facce siano di uguali dimensioni. Quale faccia è in primo piano? ABB'A' oppure DCD'C'?

26 Doppio orientamento Questa situazione produce sulla retina un'immagine che il cervello può interpretare in due modi che corrispondono a una proiezione del cubo visto da posizioni diverse. Di fronte al problema di quale sia la posizione in cui si trova il cubo, il cervello non “sceglie” e continua a oscillare tra l'una e l'altra.

27 . Louis Albert Necker, studioso svizzero di cristallografia, analizzò per primo il disegno nel 1832 e individuò i fattori che contribuiscono a generare questo paradosso visivo

28 Concavo e convesso L’ ambiguità della rappresentazione bidimensionale di figure tridimensionali, spesso fonte di paradossi, ha ispirato alcune delle opere più famose di Escher un gioco di ombre porta al rovesciamento percettivo tra l'interno e l'esterno della figura.

29 Motivi analoghi si trovano anche in alcuni mosaici dell’antica Roma, come in questo pavimento pompeiano

30 FIGURE IMPOSSIBILI Viceversa, l’abitudine ad interpretare come oggetti spaziali alcune figure bidimensionali, porta alla costruzione delle cosiddette figure impossibili Escher- Belvedere

31 Il Cubo impossibile Il giovane seduto sulla panchina sta osservando una forma cubica impossibile, suggerita dal cubo di Necker, la cui immagine compare nel disegno poggiato sul pavimento

32 DUE INDOVINELLI Un giochino abbastanza facile
Un <<rompicapo>> Usando 6 bacchette uguali tra loro, costruire 4 triangoli equilateri uguali, aventi per lato una bacchetta Soluzione E’ possibile disporre questi due oggetti in modo da costruire una piramide? Soluzione

33 Soluzione del primo indovinello
Si deve “uscire “ dal piano e costruire un tetraedro

34 Soluzione del secondo indovinello
I due solidi sono stati ottenuti tagliando un tetraedro con il piano che contiene i punti medi degli spigoli

35 COSA CAMBIA QUANDO SI GUADAGNA UNA DIMENSIONE?
Qualche esempio

36 ESISTONO SU UNA RETTA 3 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI?
OVVIAMENTE NO Il punto medio M è equidistante da A e da B ma la distanza tra Ae B è diversa da quella tra Aed M o tra B ed M

37 Basta considerare i vertici di un triangolo equilatero
E NEL PIANO ? OVVIAMENTE SI’ Basta considerare i vertici di un triangolo equilatero

38 ESISTONO NEL PIANO 4 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI?
OVVIAMENTE NO Il centro del triangolo equilatero è equidistante dai tre vertici, ma i segmenti OC, OA, OB non sono congruenti ai lati

39 Basta considerare i vertici di un tetraedro regolare
E NELLO SPAZIO? OVVIAMENTE SI’ Basta considerare i vertici di un tetraedro regolare

40 NEL PIANO DUE RETTE CHE NON HANNO PUNTI IN COMUNE, HANNO NECESSARIAMENTE LA STESSA DIREZIONE?
SI’. Poiché , essendo per definizione parallele, formano angoli uguali con l’asse delle ascisse

41 E NELLO SPAZIO? NO, potrebbero essere sghembe

42 Rette Perpendicolari Nel piano esiste una ed una sola perpendicolare ad una determinata retta in un suo punto

43 E NELLO SPAZIO? Ne esistono infinite

44 LA SIMMETRIA ASSIALE Nel piano è una isometria inversa, che cambia il verso di percorrenza delle figure Non esiste alcun movimento rigido, internamente al piano, che porti a far coincidere i due triangoli

45 Nello Spazio invece… è una rotazione!

46 LA SIMMETRIA ASSIALE Si trovano nel lato posteriore del piano!…
La faccia del triangolo A’B’C’ in cui i vertici si presentano in verso orario, come quelli del triangolo ABC

47 PARTE SECONDA PARTE SECONDA
PROPRIETA’ DELLE FIGURE COSTRUZIONI CON CABRI 3D

48 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
Piano per tre punti non allineati Intersezione di due piani Fascio di piani Stella di piani Parallelismo Perpendicolarità

49 PIANO PER TRE PUNTI SCEGLIAMO TRE PUNTI A B C
1° caso: i tre punti appartengono tutti al piano iniziale a

50 2° caso: Se invece solo A e B appartengono al piano iniziale a,
i tre punti individuano un altro piano b a e b hanno in comune la retta AB

51 3° Caso Solo A appartiene al piano iniziale a
Anche in questo caso a e b hanno in comune una retta ( passante per A)

52 FASCIO DI PIANI Ritorniamo al caso N° 2 e, lasciando A e B sul piano a , scegliamo un altro punto D nello spazio A, B e D individuano un terzo piano d passante sempre per la retta AB Spostando il terzo punto possiamo cioè costruire infiniti piani passanti per la stessa retta AB Questo insieme prende il nome di FASCIO DI PIANI

53 STELLA DI PIANI L’insieme di piani passanti tutti per uno stesso punto A si dice invece STELLA

54 POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO
Se una retta ha due punti in comune col piano allora giace sul piano Se ha un solo punto in comune col piano si dice incidente Se non ha punti in comune col piano è parallela al piano, Per costruire una retta parallela al piano, per un punto C fuori di esso, è sufficiente condurre da C la parallela ad una retta del piano

55 PIANI PARALLELI L’osservazione precedente suggerisce che da un punto esterno si possono condurre infinite rette parallele ad un piano a Tutte queste rette giacciono su piano b che non può avere alcun punto in comune con a I piani a e b si dicono paralleli

56 TEOREMA “DEL TETTO” Se due piani secanti contengono due rette tra loro parallele, allora la loro intersezione à una retta parallela alle prime due

57 Perpendicolarità r Nello spazio esistono infinite rette perpendicolari ad una determinata retta r in un suo punto P. Esse giacciono tutte in uno stesso piano , il piano perpendicolare ad r Se r è perpendicolare a due rette del piano passanti per P, è perpendicolare a tutte le rette del fascio di centro P

58 Teorema delle 3 perpendicolari
Se dal piede di una retta perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad una qualunque retta dello stesso piano, quest'ultima retta è perpendicolare al piano delle prime due.

59 VERO o FALSO? Una piramide ha per base un triangolo rettangolo ed uno spigolo perpendicolare al piano di base. Anche le 3 facce laterali sono triangoli rettangoli VERO!

60 VERO o FALSO? Le diagonali interne del cubo sono a due a due perpendicolari FALSO!

61 FINE