Crittografia e numeri primi

Presentazione sul tema: "Crittografia e numeri primi"— Transcript della presentazione:

1 Crittografia e numeri primi
Piano Lauree Scientifiche Crittografia e numeri primi IV incontro lunedì 29 novembre 2010

2 Costruzione del messaggio cifrato 1:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Elimino gli spazi : Questomessaggiononèpiùsegreto. Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura, Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri… Questomessaggiononepiusegreto

3 Costruzione del messaggio cifrato 2:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Questomessaggiononepiusegreto Dvido il testo in blocchi di tre lettere : Que sto mes sag gio non epi use gre to Aggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z) Que sto mes sag gio non epi use gre toz

4 Costruzione del messaggio cifrato 3:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Que sto mes sag gio non epi use gre toz Traduco il messaggio utilizzando la tabella : Que sto mes sag gio non epi use gre toz

5 Costruzione del messaggio cifrato 4:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. Applico la funzione (Codice Cesare): f : Z  Z | [m]  [m]+ [k] k=909090

6 Costruzione del messaggio cifrato 5:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto. → = → → = → 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220

7 Costruzione del messaggio cifrato 6:
Testo da cifrare: Questo messaggio non è più segreto.

8 f-1 : Z1000000 Z1000000 | [m’]  [m’]+ [k’]
Decifratura del messaggio cifrato 7: Testo da decifrare: Determino la funzione inversa di decifratura f-1 : Z  Z | [m’]  [m’]+ [k’] k’= k= = =090910

9 Decifratura del messaggio cifrato 8:
Testo da decifrare: → = → = 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310 Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre

10 f : Z1000000 Z1000000 | [m] [a] [m]+ [b]
Costruzione del messaggio cifrato 9: Questo messaggio non è più segreto. Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine: f : Z  Z | [m] [a] [m]+ [b] Devo verificare che MCD([a],[n])=1 Devo calcolare [a]-1 Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]

11 Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola
MCD (1191, 46) a b resto = * quoziente + 1191 46

12 a b resto = * quoziente + 1191 46 41 25 5 1 8 MCD (1191, 46) = 1

13 Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
MCD =

14 Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
MCD 1 = 41 – 5*8 41 – (46 – 41*1)*8 41 – 46*8 + 41*8 41*9 – 46*8 (1191 – 46*25)*9 – 46*8 1191*9 – 46*225 – 46*8 1191*9 – 46*233 In conclusione si può riscrivere: 1 = * + MCD s a t b Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è _______

15 Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
MCD 1 = 41 – 5*8 41 – (46 – 41*1)*8 41 – 46*8 + 41*8 41*9 – 46*8 (1191 – 46*25)*9 – 46*8 1191*9 – 46*225 – 46*8 1191*9 – 46*233 In conclusione si può riscrivere: 1 = 9 * 1191 + – 233 46 MCD s a t b Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]

16

17 Quanti sono gli elementi invertibili di Z5?
Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo 5?

18 Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Zn?
Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p  [a]  [p] modulo n?

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20 Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 3) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

21 { _______________________ }. Quanti sono? ______________
Fai l’elenco degli a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 5) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z15)? ________________

22 Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 3) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________ Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________

23 { _______________________ }. Quanti sono? ______________
Fai l’elenco degli a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 7) > 1: { _______________________ }. Quanti sono? ______________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1 (quanti sono cioè gli invertibili in Z21)? ________________

24 Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p  q
Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per p? ________________ Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono divisibili per q? ________________

25 Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono
coprimi con n? _____________________________ Quanti sono gli elementi invertibili in Zn?

26 Elevamento a potenza

27 Potenze in Z5

28 Potenze in Z5 1 2 4 3 x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3 Osservazioni: gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca ci sono colonne particolari [1] le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…

29 Perché [m]2 non funziona?
[1]2=[1] [n-1]2= (n-1)2=n2-2n+1

30 [x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3 = =([x]4)2[x]3= =[1]2[x]3=[x]3
Potenze in Z5 [x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3 = =([x]4)2[x]3= =[1]2[x]3=[x]3

31 Potenze in Z7 1 2 4 3 6 5 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 1 2 4 3 6 5

32 Potenze Modulo 10 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 2 4 8 6 3 9 7 5

33 Potenze in Z11 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 12

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35 Potenze modulo 21 x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 x^11 x^12
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 x^11 x^12 x^13 x^14 x^15 x^16 x^17 x^18 x^19 x^20 1 2 4 8 16 11 3 9 6 18 12 15 5 20 17 7 10 13 19 14

36 Decifratura con Potenze in Z5
Quale potrebbe essere la funzione di decifratura? x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3

37 Decifratura con Potenze in Z5
x 1 2 3

38 Decifratura con Potenze in Z5
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 1 2 4 3

39 Teorema di Fermat