Metodi di minimizzazione Ricerca del minimo di dove è l’insieme delle variabili (coordinate)

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1 Metodi di minimizzazione Ricerca del minimo di dove è l’insieme delle variabili (coordinate)

2 In una dimensione si può scrivere lo sviluppo in serie: ovvero: doveè la posizione iniziale elo spostamento In più dimensioni: dove:è il vettore delle coordinate iniziali è il vettore degli spostamenti è il vettore gradiente è la matrice Hessiana

3 Ordine del metodo: grado della derivata più alta utilizzata Metodi di ordine 1 utilizzare la derivata 1° significa spostarsi nella direzione della forza, fino a raggiungere

4 Steepest descent spostamento iniziale: spostamenti successivi: Possibile variazione del passo; ad es.: se V diminuisce: se V aumenta:

5 Gradienti coniugati Spostamento iniziale: spostamenti successivi : Fletcher-ReevesPolak-Ribière

6 Direzioni coniugate Ha un funzionamento simile a quello dei gradienti coniugati, ma si basa direttamente sulla grandezza (energia) da minimizzare, senza utilizzare i gradienti; il verso è quello per cui diminuisce la grandezza, e si cerca una combinazione ottimale di direzioni in cui muoversi (direzioni coniugate). Mancando l’informazione data dal gradiente, non si sa quali sono gli spostamenti più efficaci, per cui la convergenza è più lenta; inoltre manca anche l’informazione di convergenza al minimo data dal gradiente che tende a 0. Il metodo viene generalmente utilizzato quando non sono disponibili i gradienti. Non utilizzando alcuna derivata, il metodo può essere definito di ordine 0.

7 Metodi di ordine 2 Newton-Raphson È valido rigorosamente per una funzione quadratica. nella posizione del minimo si avrà: nel caso multidimensionale:diviene il vettore coordinate diviene il vettore gradiente diviene la matrice Hessiana Vantaggi: il minimo è raggiungibile in un solo passo Svantaggi: validità rigorosa solo per funzione quadratica; matrice di grandi dimensioni da invertire.

8 Eigenvector Following method La matrice Hessiana viene diagonalizzata, ottenendo gli autovettori e gli autovalori; ciascun autovettore rappresenta una particolare combinazione di movimenti degli atomi, che risulta indipendente dagli altri autovettori; sulla base degli autovalori si possono scegliere gli autovettori più efficaci per la diminuzione dell’energia.