5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE

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1 5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE
Indice Generale

2 CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA
Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti qo ,qi sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI EQ. DIFFERENZIALE

3 Forma simbolica con operatore
Funzione di trasferimento sinusoidale

4 Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale:
definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico

5 SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI
q0g : soluzione dell’ equazione q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della funzione

6 q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni
iniziali, cioè dai valori di all’ istante t=0 q0p non ha nessuna costante arbitraria per la determinazione di qog esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata

7 Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g un termine del tipo cest
Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2) Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo

8 è estremamente importante
La funzione di trasferimento sinusoidale è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare è estremamente importante

9 QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI
IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA COMPLETAMENTE STRUMENTI DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO SINUSOIDALE

10 DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE
Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo è un’ uscita del tipo cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e fase.

11 Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con esponenziali complessi
per la relazione di Eulero si ha

12 cioè: Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.

13 Dalla eq. precedente si ha inoltre
e quindi

14 STRUMENTO DI ORDINE ZERO
Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA ESEMPIO: POTENZIOMETRO Eb L Xi e0

15 Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero
K STRUMENTO PERFETTO

16 STRUMENTO DI ORDINE UNO
Sensibilità statica Costante di tempo

17 ESEMPIO : Termometro

18 Se consideriamo come qo lo spostamento xo
K= poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature Se consideriamo come qo lo spostamento xo sia KV il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro

19 Risposta al gradino dello strumento del primo ordine

20 Integrale generale della
integrale particolare soluzione completa condizioni iniziali: quindi

21 = Differenza percentuale
quindi  è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2% del valore finale

22 Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine

23 Come per il caso precedente
l’integrale generale è e l’integrale particolare è La soluzione risulta quindi Con le condizioni iniziali: si ottiene

24 Il grafico di questa risposta è il seguente

25 Risposta in frequenza dello strumento del I ordine

26 Risposta all’impulso dello strumento del I ordine
Definizione di impulso Funzione picco p(t)

27 Funzione impulso Per lo strumento del I ordine con ingresso p(t)
Come per il gradino , la soluzione è Valida però solo fino al tempo t = T

28 Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è
All’istante t = T sarà (I) Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è Che ha per soluzione La costante iniziale C si determina con la condizione iniziale (I) , si ottiene

29 E quindi La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa espressione per T  0 e applicando la regola di L’Hopital per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le derivate) si ottiene

30 Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente
Proprietà dell’impulso

31 STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE
Dividendo, al solito , per ao e posti Sensibilità statica frequenza naturale non smorzata rapporto di smorzamento

32 ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA
Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA

33 fi xo dove

34 Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale)
In forma polare si ottiene : Modulo fase