Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11
PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.1
PROCESSI ALEATORI : VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’. : E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA

ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO ALEATORIO SE LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLE USCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.

ESEMPIO : SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA CONVERTITORE A/D). PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T sec SENZA MEMORIA ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE T INTERA SEQUENZA DI 0 E 1.

ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA. SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO ALEATORIO. T

STATISTICHE DEL I ORDINE SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ; DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA). IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE E DENSITA’)

STATISTICHE DEL II ORDINE
Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO STATISTICHE DEL II ORDINE SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE : CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A. IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINE SUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE IL PROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE, OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.

VALORE MEDIO VARIANZA FUNZIONE DI COVARIANZA FUNZIONE DI CORRELAZIONE (PROC. COMPLESSI) FUNZIONE DI CORRELAZIONE (PROC. REALI) SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI

STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE TRASLAZIONI TEMPORALI. ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO : STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).

STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t . SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L

ESEMPIO 1 SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L. V.A. GENERICA. V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E E INDIPENDENTI TRA LORO E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI) : AUTOCORRELAZIONE CROSS-CORRELAZIONE (1)

NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA : CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO SCAMBIO DI V.A.). NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA : SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :

MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA : SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA : POTENZA DEL PROCESSO 2 POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO

INOLTRE SI NOTI CHE : SEMPRE SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO CONOSCERE : VALOR MEDIO VARIANZA COVARIANZA

SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE : DOVE : SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE PERI AL VALORE , QUINDI : E ANALOGAMENTE PER

ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI : RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t  E’ UNA DENSITA’. IN GENERALE : t

E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI. SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC) DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).

+1 PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO. SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA DIVERSA SEQUENZA. IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO. SI CALCOLI IL VALOR MEDIO : t -1

DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI : ANALOGAMENTE :

QUINDI : LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO  PROCESSO NON STAZIONARIO. SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

QUINDI (LEGGE DI BAYES) : DOVE MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO

ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).

ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :

DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA : POICHE’ IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE DATO CHE ORA IL PROCESSO E’ S.S.L. OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.

ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA (PROCESSO TELEGRAFICO) SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON : DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LO ZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI. IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.

LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE. LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA : DATO CHE PER PROCESSI REALI : VALORE MEDIO

OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA POCA “MAMORIA” SE GRANDE. OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’ PARI SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c . MA SE ALLORA :

PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI DIM : MA ALLORA

POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]). LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2 CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE ALLORA :

QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE: ALLORA SE E SI HA CHE :

OSSIA : CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’ LA MEMORIA DEL PROCESSO.

ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO : TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE: ALLORA : y(t) 1 t +1 -1

INOLTRE : IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E ALLORA E

ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE SI CONSIDERI : IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CON QUINDI : V.A. QUALUNQUE V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2 E t t

CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’ PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO. QUINDI :MEMORIA PERIODICA  COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO   ”MEMORIA STRUTTURALE”

RUMORE BIANCO E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE : CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA : LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )

NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( ) SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.

PROCESSO BINARIO SEMICASUALE SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO : LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA T. I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’. L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER TUTTE LE REALIZZAZIONI). IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI INDIPENDENTI TRA LORO).

ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).

SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA : E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI : 1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI  INDIPENDENTI

2) SI SCELGA E (NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE SCRIVERE ) QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO. T T T t

SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA : SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA : ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA ANCHE DALLA POSIZIONE DI  PROCESSO NON STAZIONARIO.

ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE PROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE : CADENZA FISSA T. 2 VALORI EQUIPROBABILI FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’ UNIFORME). ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI

DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE. OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO. FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE MEDIA DI INSIEME DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI

IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL PRODOTTO VALE SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).

SI RICORDA CHE : DOVE : E QUINDI : ….. ….. …..

SI SUPPONGA : ALLORA E  INTERVALLI DIVERSI  IN QUANTO E PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 .

EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE). ALLORA E  STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO T- ////////////

MA : ( CON UGUAL PROBABILITA’)

QUINDI : SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE : OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.

AD ESEMPIO, LA STIMA LINEARE: QUINDI SE x E y SONO DUE CAMPIONI DELLO STESSO SEGNALE ( ). CHE E’ LA STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (EQM).

ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE CONDIZIONATO SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO : PROCESSO BINARI CASUALE CON CONDIZIONAMENTO DEL VALORE CORRENTE SU QUELLO SUCCESSIVO. CONSEGUENZA : LA MEMORIA DEL PROCESSO CAMBIA  DIVERSA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE. SI SUPPONGA : IN QUESTO CASO CONVIENE SCINDERE IL PROBLEMA, OSSIA CONSIDERANDO VALORI DI  VIA VIA CRESCENTI. ISTANTE CORRENTE ISTANTE PRECEDENTE

10CASO : ANALOGAMENTE AL CASO PRECEDENTE INFATTI : x(t) x(t+) x(t) x(t+) PROBABILITA’ 0.5x0,8=0.4 0.5x0.2=0.1

ALLORA : QUINDI : ORA PER =T , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NON E’ NULLO, QUINDI E’ POSSIBILE FARE PREVISIONE

20CASO : ORA t E t+ POSSONO APPARTENERE A INTERVALLI ADIACENTI OPPURE NON ADIACENTI. INTERVALLI ADIACENTI  t IN 2T-  (\\\\\\\\) INTERVALLI NON ADIACENTI  t IN -T (||||||) \\\\\\\\\\\\ ||||||||||

ALLORA : DOVE : E

SI RICAVA CON UN GRAFO : AD ESEMPIO, SE ALLORA LA PROBABILITA’ CHE E’ 0.8x0,8+0.2x0.2=0.68 E CHE E ANALOGAMENTE PER 0.8 0.8 0.2 0.8 0.2 0.2

QUINDI : 60%36% -2T T T T COSI’ ALL’ AUMENTARE DI  ,LA MEMORIA DIMINUISCE.

OSS. : SI NOTI CHE LA CONDIZIONE OSSIA UNA MEMORIA CHE IMPONE PIU’ PROBABILI CAMBI DI SEGNI, SI OTTERRA’ T 3T 2T

ESEMPIO : PROCESSO MULTILIVELLO CASUALE SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO : OSSIA : UNA SERIE DI IMPULSI RETTANGOLARI DI DURATA T. AMPIEZZA MULTIPLA DI V E SIMMETRICA RISPETTO ALLO ZERO  MEDIA NULLA. LIVELLI EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI TRA INTERVALLI SUCCESSIVI N=2M LIVELLI.

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE : MA (COME NEL CASO DI PROCESSI CASUALI SENZA MEMORIA) POICHE’ INTERVALLI EQUIPROBABILI

POICHE’ : CON PROBABILITA’ 1/M. SI NOTI CHE LA MEDIA RAPPRESENTA ANCHE LA POTENZA DEL SEGNALE, QUINDI : SEMPRE -T T NEL CASO DI DUE PROCESSI E SI PUO’ CALCOLARE LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE CHE ESPRIME LA DIPENDENZA TRA I DUE PROCESSI.

ESEMPIO : PROCESSO ALEATORIO COMPLESSO QUESTO PROCESSO E’ UNA ASTRAZIONE CHE SERVE PER RAPPRESENTARE PROCESSI REALI . V.A. AVENTI MEDIA NULLA MEDIA DEL PROCESSO E SCORRELATE E VARIANZA

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE : E’ SSL.

PROCESSI ALEATORI E STAZIONARI LA CONOSCENZA DI E E’ SUFFICIENTE PER TROVARE IL PROBLEMA E’ ANALOGO AL CASO DELLA DEFINIZIONE DI UNA V.A. y DATA LA V.A. x E LA RELAZIONE SI TRATTERANNO SOLO SISTEMI LTI . CARATTERIZZATI DALLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO O ANALOGAMENTE

ESEMPIO DI SISTEMI NON LTI : QUADRATORE HARD LIMITER

SE E’ NOTO E STAZIONARIO, ALLORA SI CONOSCE IL VALORE MEDIO E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE , QUINDI IL VALOR MEDIO DI E’:

LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE : LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

SE SI EFFETTUA IL CAMBIO DI VARIABILE ALLORA : CON UN ULTERIORE CAMBIO

ESEMPIO (FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE) SE SI HA UN SISTEMA LTI CON SCONOSCIUTA, ALLORA PONENDO IN INGRESSO UN RUMORE BIANCO CON CORRELATORE E CON LO SCHEMA DI FIGURA OTTENGO : OSSIA LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL SISTEMA (A MENO DI UNA COSTANTE)

ESEMPIO (FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE) SI CONSIDERI UN INTEGRATORE IDEALE (PASSA-BASSO), CON IN INGRESSO UN RUMORE BIANCO : RUMORE BIANCO

DOVE : SI OSSERVI CHE : E’ L’ ENERGIA DELLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL FILTRO

SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI UN PROCESSO ALETAORIO LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ DEFINITO COME L’INTEGRALE DI FOURIER DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE. E PERMETTE DI CONOSCERE LA DISTRIBUZIONE DELLA POTENZA DEL PROCESSO IN FREQUENZA. ANALOGAMENTE, LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

POICHE’ LA POTENZA DEL SEGNALE EQUIVALE A : L’ INTEGRALE DI HA SIGNIFICATO DI POTENZA (DOVRA’ ESSERE QUINDI SEMPRE POSITIVA ) . INOLTRE, E’ SEMPRE REALE E PARI POICHE’ E’ PARI E REALE. DATO IL SIGNIFICATO DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA SI HA CHE :

SI CONSIDERI PERCIO’ IL PROCESSO E LO SI FACCIA PASSARE IN UN BANCO DI FILTRI PASSA-BANDA IDEALI IN MODO DA COPRIRE TUTTO LO SPETTRO DELLE FREQUENZE. 1

PERTANTO L’ N-ESIMO FILTRO SARA’ DISPOSTO ALLORA LE USCITE RAPPRESENTANO LA SCOMPOSIZIONE DEL PROCESSO IN FREQUENZA. QUINDI DATO CHE : 1

SI CALCOLI LA POTENZA DI TRA E ,OVVERO E ALLORA DATO CHE IN FREQUENZA RISULTA ( IMPORTANTE )

QUINDI DALLA (2) SI HA : OSSIA LA PORZIONE DI POTENZA DEL SEGNALE ASSOCIATA ALLA BANDA CONSIDERATA.

ALTRA DIMOSTRAZIONE : PER DEFINIZIONE DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA , L’ INTEGRALE DI SU UN DOMINIO LIMITATO DEVE FORNIRE LA POTENZA RELATIVA A QUEL DOMINIO. INFATTI SE CONSIDERIAMO UNA BANDA COMPRESA TRA E , ALLORA SI DEVE VERIFICARE CHE : SI CONSIDERI ALLORA : POTENZA DI TRA E E E 1 CON

SARA’ UN PROCESSO COSTITUITO DALLE COMPONENTI DI COMPRESE TRA E ALLORA PER DEFINIZIONE MA DATO CHE ALLORA

QUINDI UN PROCESSO ALEATORIO SI PUO’ CARATTERIZZARE EQUIVALENTEMENTE COME : IN OGNI CASO, E RAPPRESENTANO LA MEMORIA DEL PROCESSO.

ESEMPIO : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE OSSIA QUANDO SI DIMEZZA E, ESSENDO , IL COEFF. DI CORRELAZIONE E’ RIDOTTO DEL 50%. LA TRASFORMATA DI FOURIER DI E’ : MAX = FUNZIONE DI CAUCHY 0.5 MAX

RAGGIUNGE LA META’ DEL SUO VALORE MAX QUANDO SI VEDE CHE 2  FORNISCE ANCHE UN PARAMETRO DELLA LARGHEZZA IN FREQUENZA (OSSIA DELLA MEMORIA )  ELEVATO  POCA MEMORIA NEL TEMPO E BANDA GRANDE ( AUTOCORRELAZIONE IMPULSIVA )  PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE . FORNISCE INFORMAZIONI SULLE POSSIBILITA’ DI UN SEGNALE DI PASSARE SU UN CANALE. SI CONSIDERI UN CANALE CON BANDA PASSANTE 02 MHz SUL QUALE SI VUOLE TRASMETTERE UN SEGNALE BINARIO CASUALE CON INTERVALLO =1  sec. 1  sec

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’ (SE I DUE LIVELLI SONO EQUIPROBABILI E IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA) : SI PUO’ CALCOLARE LA  IL TRIANGOLO PUO’ ESSERE RICAVATO DALLA CONVOLUZIONE DI 2 RETTANGOLI : CHE IN FREQUENZA VALE :

ALLORA E’ IL PRODOTTO DI 2 SINC, CIOE’ : ORA E’ POSSIBILE CONFRONTARE LA CARATTERISTICA DEL CANALE CON LO SPETTRO DEL SEGNALE. SI VEDE CHE PER IL CANALE : MENTRE IL LOBO PRINCIPALE DEL PROCESSO E’ TALE CHE : QUINDI LA BANDA UTILE DEL FILTRO COMPRENDE OLTRE AL LOBO CENTRALE ANCHE I PRIMI LOBI LATERALI.

ESEMPIO : CANALE CON RUMORE I CANALI REALI PRESENTANO ANCHE IL PROBLEMA DEL RUMORE OLTRE CHE DELLA LIMITAZIONE IN BANDA.  ALLORA SI VUOLE SAPERE SE UN SEGNALE PUO’ PASSARE ATTRAVERSO IL CANALE E SE VIENE AFFETTO DAL RUMORE INTRINSECO AL CANALE STESSO. LA PRIMA VERIFICA E’ ANALOGA AL CASO PRECEDENTE. PER LA SECONDA, SI DEVE STABILIRE SE LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DEL RUMORE E’ SUFFIC. PIU’ BASSO DI QUELLO DEL SEGNALE. CANALE L.T.I.

IN CASO CONTRARIO, OVVERO SE SONO CONFRONTABILI, SI DEVE SPOSTARE IN BANDA IL SEGNALE IN MODO DA TROVARE ALL’ INTERNO DELLA BANDA DEL CANALE, UNA ZONA DOVE IL RUMORE HA DENSITA’ BASSA. SI CONSIDERI UN SEGNALE AVENTE PARI A : CANALE AVENTE BANDA UTILE PARI A 10 MHz 0.5 2 MHz

RUMORE COMPRESO IN BANDA 0.55 MHz AVENTE AMPIEZZA CONFRONTABILE CON QUELLA DEL SEGNALE. ESISTE UNA BANDA UTILE TRA 5 E 10 MHz ( SENZA RUMORE ). SI EFFETTUA UNA MODULAZIONE CON FREQUENZA DI PORTANTE 7.5 MHz DEL TIPO : 5 7.5 MHz 10 MHz

ALLORA SI AVRA’ IN FREQUENZA : LA TRASMISSIONE AVVIENE SENZA PROBLEMI DI RUMORE. NECESSITA’ DI UN DEMODULATORE CHE RIPORTI IN BANDA BASE. 5 7.5

ERGODICITA’ PROCESSO ALEATORIO  INSIEME DI REALIZZAZIONI STATISTICA DEL PROCESSO RICHIEDE MEDIE D’ INSIEME ERGODICITA’ E’ UNA PARTICOLARE PROPRIETA’ DEI PROCESSI CHE PERMETTE DI APPROSSIMARE LE MEDIE D’ INSIEME SENZA CALCOLARLE DIRETTAMENTE, MA LAVORANDO SU UNA SOLA REALIZZAZIONE  CIASCUNA REALIZZAZIONE CONTIENE TUTTA L’ INFORMAZIONE RIGUARDO IL PROCESSO (OVVERO TUTTA LA STORIA). MEDIA D’ INSIEME  MEDIA TEMPORALE

ESEMPI : 1) PERCHE’ SE TAGLIO CON FINESTRE NEL TEMPO UNA REALIZZAZIONE QUALSIASI NON SI CAPISCANO LE V.A (SONO COSTANTI ENTRO UNA REALIZZAZIONE) 2) PROCESSO BINARIO CASUALE (ERGODICO) SI PARLERA’ DI PROCESSI ERGODICI NELLA MEDIA E NELL’ AUTOCORRELAZIONE NON ERGODICO

STIMA DI DOVE : E’ UNA REALIZZAZIONE GENERICA DEL PROCESSO E’ UNA V.A. , QUINDI SI PUO’ VALUTARE MEDIANTE LA MEDIA E LA VARIANZA (STIMA NON POLARIZZATA E ASINTOTICAMENTE STABILE) VERIFICA (NON POLARIZZAZIONE) : PROCESSO STAZIONARIO

VERIFICA (STABILITA’) : QUINDI, PONENDO  E NELLE IPOTESI DI PROCESSO STAZIONARIO SI PUO’ NOTARE CHE LUNGO TALE RETTA LA FUNZIONE INTEGRANDA E’ COSTANTE.

INOLTRE, DATO CHE SIA  CHE  VARIANO DA -T A +T  -2T   +2T. INCREMENTANDO  DI UN TRATTO d , OSSIA -=d  E CALCOLANDO L’ AREA DELLA STRISCIA RISULTANTE, SI PUO’ TRASFORMARE L’ INTEGRALE DOPPIO IN SEMPLICE. QUINDI L’ AREA DELLA STRISCIA VALE E

PERCIO’ RICORDANDO CHE E NEL CASO ALLORA ASSUME VALORE MASSIMO PER =0 FINO AD ANNULLARSI. QUINDI SE SI HA UN PROCESSO CON FUNZ. DI AUTOCORRELAZIONE LIMITATA, OSSIA

E’ GARANTITO CHE COSI’ SI E’ DIMOSTRATO CHE UN PROCESSO ERGODICO NELLA MEDIA OVVERO LA STIMA DELLA MEDIA CONVERGE ALLA MEDIA VERA QUANDO T CRESCE.

STIMA DI PROCESSI ERGODICI NELL’ AUTOCORRELAZIONE E’ NECESSARIO CONOSCERE UNA REALIZZAZIONE DI CHE DURI ALMENO 2T+ . SICCOME L’ INTERVALLO DI OSSERVAZIONE E’ T , SI PREFERISCE RIDEFINIRE TALE STIMA COME :

TALE STIMA E’ NON POLARIZZATA, INFATTI : TALE STIMA VALE PER E SI PONE PER (NON SI CONOSCE IL PROCESSO AL DI FUORI DI T).  POLARIZZAZIONE POICHE’ FORZO IL VALORE PER I VALORI MIGLIORI LI OTTENGO PER  PICCOLI. SI DIMOSTRA CHE LA STIMA E’ POCO STABILE AL CRESCERE DI  .

STIMA INDIRETTA DI SI OSSERVA CHE DOVE E’ PARI AL PRODOTTO DI REALE PER UNA FINESTRA TEMPORALE UNITARIA DI DURATA 2T. QUINDI : COSTANTE

CHE IMPLICA UNA PERDITA DI RISOLUZIONE . COSI’ SE SI VUOLE AVERE UNA RISOLUZIONE IN FREQ. PARI A , ALLORA : DOVE E’ LA LARGHEZZA DEL LOBO PRINCIPALE DEL SINC.

STIMA DIRETTA DI SI DEVE VERIFICARE LA STABILITA’ ASINTOTICA E LA NON POLARIZZAZIONE.

SI DIMOSTRA IN MANIERA ANALOGA AL CASO PRECEDENTE CHE QUESTO EQUIVALE A CONSIDERARE (COME PER STIMA INDIRETTA) IN QUESTO CASO, SI DEVE EFFETTUARE LA TRASFORMATA DI FOURIER DEL PRODOTTO TRA E UN TRIANGOLO SIFFATTO PER PER SI INTRODUCE POLARIZZAZIONE PER

QUESTA VOLTA IL LOBO PRINCIPALE HA LARGHEZZA (FINESTRA DELL’ INTEGRALE DI FOURIER E’ QUI ’ [ 0,T ], ANZICHE’ [ -T,T ] COME PER LA STIMA INDIRETTA.  PERDITA DI RISOLUZIONE MAGGIORE DI QUELLA DELLA STIMA INDIRETTA: SEBBENE PIU’ COMODA, LA STIMA DIRETTA NON E’ ASINTOTICAMENTE STABILE . BENSI’ RESTA DELLO STESSO ORDINE DI , CIOE’ LA DEVIAZIONE STANDARD DELLO STESSO ORDINE DI IN INTERVALLO DELL’ ORDINE DEL 100% DEL VALORE VERO. * (SENZA DIMOSTRAZIONE) * FISSATO

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.102.1
RIMEDIO : CALCOLO DELLA STIMA SU N INTERVALLI DI LUNGHEZZA T/N. IN TAL MODO, LA STIMA VIENE CALCOLATA COME MEDIA DELLE STIME PARZIALI E LA RELATIVA VARIANZA SI RIDUCE DI UN FATTORE 1/N. (  SI RIDUCE DI )

LA RISOLUZIONE PERO’ E’ PEGGIORATA DI UN FATTORE N. IL LOBO PRINCIPALE DIVENTA NOTE : 1) SE HO REALIZZAZIONI MOLTO LUNGHE, DIVIDO IL PROCESSO IN FINESTRE (COMPATIBILMENTE CON LA RISOLUZIONE) E SU OGNI SEGMENTO CALCOLO LA CON LA STIMA DIRETTA.  OTTENGO BUONA STABILITA’ SE MEDIO I VARI RISULTATI. 2) SE TROVO UNA CON UN SALTO (IMPULSO) NELL’ ORIGINE

STIME DISCRETE DI E SEGNALI DETERMINISTICI CAMPIONATI RICOSTRUZIONE : BANDA DEL SEGNALE x(t) IN .

UN PROCESSO ALEATORIO E’ A BANDA LIMITATA SE LA SUA DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA E’ A BANDA LIMITATA. IN REALTA’, E’ LA FUNZIONE DETERMINISTICA CHE E’ A BANDA LIMITATA, QUINDI CAMPIONABILE E RICOSTRUIBILE PERFETTAMENTE. PER CONTRO, SI POSSONO RICOSTRUIRE SOLO STIME DI REALIZZAZIONI DEL SEGNALE ORIGINARIO x(t).

SI DIMOSTRA CHE TALE STIMA CONVERGE IN MEDIA QUADRATICA AL PROCESSO ORIGINALE NEL SENSO DELLE PROBABILITA’ (PUO’ DIFFERIRE IN ALCUNI CASI CHE HANNO PERO’ PROBAB. =0). L’ ERRORE DELLA STIMA HA POTENZA NULLA. LA BANDA DI , SI PUO’ STIMARE SPERIMENTALMENTE PRIMA DI STIAMARE CON BANDA DI MISURATORE DI POTENZA STIMA DI MISURATORE DI POTENZA ES 

STIMA DISCRETA INDIRETTA ANALOGA AL CASO CONTINUO CON QUINDI, LO SPETTRO STIMATO: DOVE TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER CHE RISULTA ESSERE LA RISOLUZIONE

STIMA DISCRETA DIRETTA L’ INTERVALLO T E’ STATO DIVISO IN SOTTINTERVALLI DI DURATA TALE STIMA E’ EFFETTUATA PER CIASCUN SOTTINTERVALLO LUNGO  IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE VALE E SICCOME , LA RISOLUZIONE RISULTA ESSERE PEGGIORE DELLA PRECEDENTE. STIMA:

FILTRO DI WIENER SI CONSIDERI DI AVERE UN SEGNALE SOMMATO AD UN RUMORE : CON s(t) E n(t) SEGNALI ALEATORI SSL NOTI STATISTICAMENTE, OSSIA E NOTE. SI SUPPONGA INOLTRE E E INDIPENDENTI. ALLORA SI VUOLE TROVARE UN FILTRO TALE CHE SI OTTENGA IN USCITA UNA STIMA DEL SEGNALE. (E’ NATO COME PB. DI STIMA ANTICIPATA: NOI SEMPLIFICHIAMO IN STIMA IN TEMPO REALE).

COME CRITERIO DI BONTA’ DELLA STIMA SI ADOTTA IL MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (MEQM). SI RICORDA CHE DATO UN INSIEME DI V.A E SI VUOLE STIMARE UNA V.A y IN MODO LINEARE, ALLORA  CRITERIO DI ORTOGONALITA’ , OVVERO MINIMO

NEL CASO IN OGGETTO DOVE (CAUSALE) RAPPRESENTANO TUTTI I VALORI DELL’ OSSERVAZIONE DA - ALL’ ISTANTE PRESENTE t (CAUSALITA’). MA x(t-z)  INFINITE xi

CONSIDERIAMO I SINGOLI PRODOTTI E SCAMBIANDO GLI OPERATORI DI MEDIA E INTEGRALE, SI OTTIENE DA CUI E PONENDO ALLORA

PERTANTO MA ALLORA DALLA (1) : EQUAZIONE DI WIENER =0 EQUAZIONE DI WIENER-HOPF

E’ POSSIBILE EFFETTUARE STIME ANTICIPATE O CON PREVISIONE (z>t, t>0) OPPURE STIME RITARDATE (z> -t). SI TRATTERANNO SOLO FILTRI NON CAUSALI (z QUALUNQUE) (V. DOPO) USO x(t-z)  (-,t- t ] PER STIMARE s(t) USO x(t-z)  (-,t+ t]

ESEMPIO : FILTRO NON CAUSALE SI CONSIDERI UN FILTRO NON CAUSALE: UN FILTRO COSI’ UTILIZZA VALORI DELL’ INGRESSO CHE DEVE ANCORA OSSERVARE

SE INVECE CONSIDERO * - < z < +  ALLORA SI PUO’ TRASFORMARE CON FOURIER L’ EQUAZIONE DI WIENER E POICHE’ I PROCESSI SONO INDIPENDENTI DA CUI FILTRO DI WIENER * RITARDO INFINITO

DATO CHE H() E’ FORMATO DAL RAPPORTO DI FUNZIONI REALI E PARI, SARA’ ANCH’ ESSO REALE E PARI. ANTITRASFORMATO FORNIRA’ UNA h(t) REALE E PARI (OSSIA NON CAUSALE). ESEMPIO : ALLORA PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE RUMORE BIANCO SIMILE ALLO SPETTRO DEL SEGNALE s(t). SI PUO’ RENDERE IL FILTRO DI WIENER CAUSALE IMPONENDO UN RITARDO t0 E CONSIDERANDO TALE ISTANTE COME ORIGINE (STIMA CON RITARDO).

h(t) E’ NON CAUSALE PERO’, ESSENDO h(t) 0 PER t<t0 POSSO RENDERLO CAUSALE INTRODUCENDO UN RITARDO t0 E TRONCANDO h(t) PER t<t0 . QUINDI: STIMA CON RITARDO t0 t0 ASPETTO L’ ISTANTE t+ t0 PER FARE LA STIMA USANDO I VALORI DA x(t) A x(t+ t0) CHE RISPETTO A t, SONO VALORI “FUTURI”

LO STESSO TIPO DI PROBLEMA SI PUO’ AFFRONTARE NEL DISCRETO: QUESTO PROBLEMA SI PUO’ RISOLVERE ANCHE CON IL FILTRO DI KALMAN (PIU’ VELOCE PERCHE’ DI TIPO RICORSIVO). E’ LA STIMA (MEQM) CHE SI VUOLE

FILTRO A MASSIMO S/N SI VUOL RILEVARE UN SEGNALE IMPULSIVO IMMERSO NEL RUMORE. AMPIEZZA DEL SEGNALE E POSIZIONE SCONOSCIUTI. NOTA : IL FILTRO DI WIENER CERCA DI AVERE UN SEGNALE VICINO A , CIOE’ NE VUOLE SALVARE LA “FORMA”. IN QUESTO CASO VOGLIO (S/N) MAX. MODELLO : DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA DEL RUMORE RAPPORTO AMPIEZZE RAPPORTO POTENZE S/N= SIGNAL to NOISE RATIO= SNR

COMPON. SEGNALE COMPON. RUMORE EVENTUALE RITARDO INTRODOTO DALLA h(t) COSI’ : IMPULSO NON NOTI

DATE QUESTE IPOTESI, IL SEGNALE IN FREQUENZA VALE CHE HA ENERGIA PARI A QUINDI PER RILEVARE L’ IMPULSO, IL FILTRO H(f) DEVE MINIMIZZARE IL RUMORE IN CORRISPONEDENZA DI UN ISTANTE , MASSIMIZZANDO L’ ENERGIA DELL’ IMPULSO IN: DOVE COMPONENTE SEGNALE DI

SI VUOLE DETERMINARE IL PICCO A DEL SEGNALE ALL’ ISTANTE IN TERMINI DI H(f) E P(f). SE E{n(t)}=0 COMP.RUMORE DI

E ASSUMENDO IL RUMORE A MEDIA NULLA, INDIPEND. DAL SEGNALE, SI HA : INFATTI DOVE COMP.RUMORE DI

SI VUOLE MASSIMIZZARE IL RAPPORTO TRA LA POTENZA (L’ AMPIEZZA AL QUADRATO) DI PICCO A2 E LA VARIANZA DEL RUMORE, OVVERO DOVE H(f) E’ INCOGNITO (NON CONOSCO INOLTRE E

SI APPLICA LA DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ : IN QUESTO CASO, QUINDI FUNZIONI ARBITRARIE

E SI OTTIENE IL VALORE MASSIMO QUANDO V(f) E’ PROPORZIONALE A W(f) . QUINDI, SE SI AVRA’ (MAX DELLA DISEGUAGLIANZA DI SCHWARTZ)

IN TAL MODO : DOVE K E’ UNA COSTANTE ARBITRARIA ESSENDO PROPORZIONALE A E INVERSAMENTE PROPORZIONALE A , IL FILTRO ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE IL SEGNALE E’ ALTO E DE-ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE LO SPETTRO DEL RUMORE E’ ALTO.

NEL CASO DI RUMORE BIANCO : E LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DIVENTA : IL NOME MATCHED FILTER (O FILTRO ADATTATO) PROVIENE PROPRIO DA CHE HA LA FORMA DELL’ IMPULSO ROVESCIATO E RITERDATO DI (VEDI TEORIA DELLA DECISIONE). PUO’ SUCCEDERE CHE IL FILTRO ADATTATO POSSA RISULTARE NON CAUSALE E QUINDI NON REALIZZABILE (EVENTUALMENTE, REALIZZABILE CON INTRODUZIONE DI RITARDO).

ES. SEGNALE SINUSOIDALE IN RUMORE ORIG. CAUSALE  STAZIONARIO ERGODICO. DOMANDA : STIMA DI DA UNA REGISTRAZIONE DI y(t). INCOGNITE (COSTANTI) V.A. UNIF. DISTRIB. IN [0,2] (“ORIG. CAUSALE”) GAUSSIANO, BIANCO, ADDITIVO (INDIP. SEGNALE)

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