Calcolo delle probabilità

Presentazione sul tema: "Calcolo delle probabilità"— Transcript della presentazione:

1 Calcolo delle probabilità
Progetto lauree scientifiche Università dell’Insubria Facoltà di Matematica Como Natalina Drappo Paola Bertoncello

2 Introduzione alla probabilità definizioni Probabilità discreta
Analisi degli esiti di esperimenti aleatori in cui l’insieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile Evento elementare Esito di un esperimento aleatorio Variabile aleatoria testa testa TT Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento Spazio campionario Insieme degli eventi elementari {TT, TC, CT, CC } Evento Risultato del lancio Mano di poker di due monete Sottoinsieme dello spazio campionario {TT, TC, CT}

3 Probabilità classica di un evento E
E = esce almeno una testa IEI = 3 Casi favorevoli _____________ P(E)= Casi possibili Ω = spazio campionario del lancio di due I Ω I = 4 Proprietà P(E) = ¾ monete 0≤P(E) ≤1 Ec= non esce alcuna testa P(Ec)=1-P(E) IEcI = 1 P(Ec) = 1/4 E כֿ F → P(E) > P(F) Ω F= esce una testa = {TC, CT} E F TC CC TT CT IFI=2 P(F)=1/2

4 Strumenti matematici per lo studio della probabilità
Disposizione semplice Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n Elenco degli studenti seduti nella prima fila Primi tre classificati di una gara Problema: quante disposizioni si presentano nell’estrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse? Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24

5 Altri esempi e relative soluzioni:
Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono · 89 · 88 ·87 · 86 > Regola: Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1) Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · ottengo: n! _____ D k,n = (n-k)!

6 Disposizione con ripetizione
Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione Pin del telefono Lancio di tre dadi Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre? Soluzione: 9 possibilità per la prima cifra Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93

7 Altri esempi e relative soluzioni:
Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2)8 Regola: Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = nk … nota il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è · 262 =

8 Permutazione (semplice)
Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi È una n-disposizione semplice di n elementi Ordine di arrivo ad una gara Posizione dei libri in una libreria Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe? Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho 25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25! Regola Le permutazioni di n elementi sono Pn = n!

9 Combinazioni Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n = possibili sottoinsiemi Studenti interrogati Estrazioni del lotto Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25? Soluzione: Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21! Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo l’ordine corrispondono alla stessa composizione Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4! Le combinazioni sono 25! ____ 21!4!

10 ( ) Altri esempi e relative soluzioni: 90! 84!6! ______ Regola:
Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è 90! 84!6! ______ Regola: Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n è n! ______ C k,n = (n-k)!k! Definisco coefficiente binomiale il valore n! n k ______ ( ) = (n-k)!k!

11 Probabilità composta definizioni
Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo. A, B eventi indipendenti  P(A B) = P(A) · P(B) ∩ A ={TT, TC} B = {TC, CC} CC X, Y variabili indipendenti TT TC CT  I Ωx J Ωy si ha A ∩ A ∩ P(I J) = P(I) · P(J) ∩ Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado

12 P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) ∩
Regole Dati due eventi E e F CCT P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F) ∩ TCC E CTT TTC TTT E = esattamente due teste TCT F F = la prima è testa Ω CTC CCC con E ∩ F = Φ ho TTT TCC TTC P(E F) = P(E) + P(F) ∩ F E CTC TCT E = esattamente due teste CCT Ω CTT CCC F = esattamente una testa Nota: nel caso di tre eventi P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) + ∩ ∩ + P(E∩F∩G)

13 Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento
Diagramma ad albero struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati Ogni foglia può discendere da un solo predecessore (padre) Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli) Lancio di tre dadi T C I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima V V T C T C V V V V T C T C T C T C

14 ½ ½ ½ ½ Principio di moltiplicazione
Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E P(E) = p P(ei) Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera 1 -1 1 -1 -1 1 … 1 2 3 9 1/10 P(-1,1,9,y)= 1/10 1/26 1 __ a b … w y z 1/26 = 1040

15 Probabilità condizionata e inversa
P(F|E) = Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi che l’evento E si sia già realizzato E = il primo esito è testa F = due esiti su tre sono testa P(F)=3/8 P(F|E)=2/4 CCT F TCC TCC CTT TTC TTC F TTT TCT TCT TTT Ω E CTC E = Ω CCC

16 Regola _______ P(F∩E) P(F|E)= P(E) Riferendosi all’esercizio precedente P(F∩E)=2 P(E)= 4 P(F|E)= 2/4 Nota: F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F) e se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)

17 ½ ½ ½ ½ Problema della probabilità inversa Problema:
L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1? Soluzione Uso il diagramma ad albero: r 3/10 3/5 I P(b)=9/20 b 1/5 2/5 r 1/4 P(r)=11/20 II b 1/4 P(e1) P(e2) P(Ei) i=1…4 Evento elem. Costruisco il diagramma inverso:

18 I P(I|b) = 4/9 b II P(II|b) = 5/9 I P(I|r) = 6/11 r II P(II|r) = 5/11
x = 4/9 I P(I|b) = 4/9 1/5 9/20 b II 1/4 P(II|b) = 5/9 5/9 6/11 I P(I|r) = 6/11 3/10 r 11/20 II 5/11 1/4 P(II|r) = 5/11 Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi: 9/20 · x = P(E2) = 1/5 P(b) P(b∩I) P(I|b) Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dell’urna I condizionata all’aver pescato b

19 Formula di Bayes Problema: Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo stadio Regola P(E|Hi) · P(Hi) P(E|Hi) · P(Hi) ________________ P(Hi|E) = __________ = Σ P(E|Hk) · P(Hk) P(E)

20 Probabilità discreta e continua * * definizioni
Dato uno spazio campionario discreto Ω def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione P : Ω [0,1] che soddisfi 1) P(Ω) = 1 2) P( Ak) = P(Ak) * Finito o numerabile

21 definizione equivalente alla probabilità classica:
Ω finito o numerabile con Ω = { wi } IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω ___ IEI P(E) = A כּ E Ω IΩI definizione equivalente alla probabilità classica: Sia m(x) una funzione m : Ω [0,1] con m(x) =1 detta funzione di distribuzione di Ω Sia E un sottoinsieme di Ω definisco P(E) := m(x) P : Ω [0,1] con P(Ω) = 1

22 Le proprietà sono quelle già viste
le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi per il caso numerabile le somme diventano serie studio della convergenza (esistenza di una somma finita)

23 Caso continuo X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria
Ω = ( 0,2] Si voglia P(E) con E = ( ,2] Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza M: (x,y) (x,y) [-1,1] x [-1,1] con x2 +y2 ≤ 1 L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo equilatero . M è interno alla circonferenza di raggio ½

24 Paradosso di Bertrand:
Nota: Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area π(½)2 P(E) = =1/4 ______ π(1)2 Paradosso di Bertrand: 1/4 1/2 1/3 M:(x;y) P(E) = M:(ρ;θ) A:(1;α) B:(1;β) Nota: Area e integrale

25 definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se Proprietà è monotona non decrescente è continua da destra:

26 P(a ≤ x ≤ b) = P(X E) = definizione
f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale + P(a ≤ x ≤ b) = IR Proprietà Scelta la variabile X non è detto che esista f(x) P(X E) = purché l’integrale esista f(x) non è una probabilità.

27 Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x)
Teorema Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x) Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X, e si ha Da ciò potremmo introdurre un diversa definizione di funzione densità: + f: IR IR t.c.

28 Esempi significativi di distribuzioni e densità
Distribuzione uniforme discreta Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω di dimensione n La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante Attenzione! Sia Ω numerabile e m(x) = costante diverge Distribuzione uniforme continua

29 Funzione di densità gaussiana
______ 1 fx =

30 FINE